多边贸易中的便利化和内部化最佳战略

其他市场参与者发送对方的订单，并有权进入暗池，则会消费a(b） 分享他的订单。2.2订单簿动态的数学公式本小节将在确定的有限时间范围[0，T]内严格公式化限额订单簿的动态。限价订单簿的任何变更，无论是在买入价和卖出价中，还是在每个价格水平上的可用价格中，都是由以下几种事件之一引起的：限价订单到达、限价订单取消或到期、限价订单执行，以及市场订单到达和立即执行。变动的两个来源是当前最佳价格下的数量变化和价差内的到达量，这反过来又导致价格的所有变化。订单动态中的随机性由以下因素建模。（1） 概率空间(Ohm, F、 P）。（2） 正常数σa和σb。（3）独立的标准布朗运动σawa和σbWb，代表在没有价格变化的情况下qa和qbw的演化。（4） 已知可测函数θa，θb，λa和λb:N→ [0, ∞), 满足θa（1）=θb（1）=0。（5） 非均匀泊松过程处理Na和Nb，强度θa（Pa（t-) - Pb（t）-))θbPa（t）-) - Pb（t）-)在时间t，当价差大于一个勾号时，根据Na和Nb重新发布限价卖出和买入订单a，价格会有小幅度的提升——买入订单的最佳出价加一个勾号，卖出订单的最佳询价减一个勾号。（6） 强度为λa的非齐次泊松过程Ha和HbPa（t）-) - Pb（t）-)λbPa（t）-) - Pb（t）-)在时间t。

根据流动性事件和Hb，交易员在darkpool中发布的买入和卖出订单以中间价完成。（7） 在传播条件下，Na、Nb、Ha和HbA的下一次到达时间相互独立，且与WA和Wb的未来增量无关。（8） 过滤F={Ft}0≤T≤T、 由Wa、Wb、Na、Nb、HAB和Hb过程生成。为了证明问题4.1和问题3.1的适定性，假定扩散中的theorder到达过程的强度一致有界。假设2.1非均匀泊松过程的强度函数θa、θb、λa和λbo满足θi*:= 晚餐∈Rθi（p）< ∞ λi*:= 晚餐∈Rλi（p）< ∞, i=a，b。（2.2）Lehalle（2013）在第4.2节中提出了事件驱动的限价指令簿模型和基于该模型的n最优交易算法研究。与现有作品一致，动态确实捕捉了限价订单簿的主要特征。实证研究（Cont、Stoikov和Talreja，2010年，以及Hasbrouck和Saar，2010年）观察到，非齐次泊松过程更适合于模拟不同价格下的订单到达和取消，而最接近买卖价格的社区中的订单对股价动态的影响最大。对后一种观察的一种解释是，如果限价指令的执行价格与买入价和卖出价相差甚远，那么投机者就更有可能下达限价指令，以防价格突然发生戏剧性变化。因此，如果仅以买入价和卖出价追踪交易量，就可以合理地近似于实际的限价订单簿。我们使用的模型灵感来自Rama Cont和合著者s。

Cont、Kukanov和Stoikov（2014）提出了一种订单流量不平衡模式l来描述订单簿的风格化特征，其中，在最佳价格s之外的每个价格水平上的股票数量是恒定的，只有在最佳出价和要价时，才会出现限价和取消。此外，Cont和de Larra rd（2011年、2013年）已经证明，当买卖价差变化不大时，二维布朗运动是一个合理的模型，可以用来描述第一个限制下的交易量动态。在[0，t]以上的次数，所有订单以当前的要价和出价价格a重新完成的isLi（t）=X0≤s≤{Qi（s）-)≤0}, 0 ≤ T≤ T，i=a，b。（2.3）每次以卖出（卖出）价卖出的数量耗尽时，意味着Li（t）-李（t）-) = 1，这个a（分别为b） 较高（较低）价格水平的股票是e XPO e d，买入（卖出）价格上涨（下跌）一个刻度。每次到达价差内的限价卖出（买入）订单时，意味着Ni（t）- Ni（t）-) = 1、价格较低（较高）的新限额包括a（分别为b） 股票和买卖价格下降（增加）onetick。在其他任何时候，体积都按照布朗运动而移动，价格保持不变。根据上述推理，订单的动态可以用四维过程（Qa、Qb、Pa、Pb）来描述。根据Qi（t）=Qi+σiWi（t）+Zt，体积qa和qb移动(我- 齐（t）-)) d（Li+Ni）（t），0≤ T≤ T，i=a，b.（2.4）价格根据toPa（T）=Pa（0）+La（T）变动- Na（t）和Pb（t）=Pb（0）- Lb（t）+Nb（t），0≤ T≤ T.（2.5）（2.2）和（2.2）中定义的过程（Qa、Qb、Pa、Pb）是马尔可夫过程。图2.2和图2.3绘制了双边订单动态（2.2）和（2.2）的模拟路径。图2.2显示了ask（顶部灰线）和bid（底部暗线）价格。

每一次由于订单损耗而引起的价格变化都有10%的可能性是执行（用圆圈表示），90%的可能性是取消。图2.3显示了正轴和负轴上分别处于ask（顶部灰线的值）和bid（底部暗线的绝对值）价格的成交量。参数为T=600，Pa（0）=20，Pb（0）=15，Qa（0）=Qb（0）=a=b=5，σa=σb=10和θa（Pa（t）- Pb（t））=θb（Pa（t）- Pb（t））=0.5（Pa（t）- Pb（t））.2.3在暗池中执行本小节将严格规定在暗池中的最佳管理员活动。交易者是否在暗池中加入即将到来的流动性事件的决定由下面定义的一组可接受的隐藏顺序策略决定。无论是内化交易者还是常规交易者，可接受的隐藏顺序策略集都是相同的。定义2.1（隐藏订单策略）交易者是否接受隐藏订单的决定由F适应的、右连续的、值为{0,1}的过程haandhb:[0,T]×表示Ohm → {0, 1}. 这个过程在片场上等于零（t，ω）∈ [0，T]×Ohm|铅（t）≥ “爸爸, （2.6）过程HB在集合中等于零（t，ω）∈ [0，T]×Ohm|私人助理（t）≤ PB. （2.7）在任何时候∈ [0，T]、ha（T）和hb（T）不能都等于一。所有这样的过程h=（ha，hb）的集合都表示为h。限制在[t，t]×上的H的子集Ohm 被命名为Ht、t和Ht，简称为HTT。在定义2.1中，Ha和Hb的正确连续性保证，对于每种情况ω∈ Ohm,隐藏顺序在时间范围内被修改了很多次[0，T]。

价值ha（t）=1（hb（t）=1）意味着交易者下了一个隐藏的限制买入（卖出）订单a(b） 与执行方分享价格Pa（t）+Pb（t）/2（分别为Pa（t）+Pb（t）/2); 值ha（t）=0（hb（t）=0）意味着他不放置隐藏顺序。在（2.1）和（2.1）中的集合中，过程HA和HB为零要求交易者的隐藏订单只能以低于价格PA的价格购买，并以高于价格pb的价格出售。假设流动性卖出（买入）事件发生在时间t，这意味着Ha（t）- 哈（t）-) = 1（分别为公顷（吨）- 哈（t）-) = 1). 如果交易者在时间t之前以执行价下了隐藏的限制买入（卖出）指令Pa（t）+Pb（t）/2（分别为Pa（t）+Pb（t）/2） 然后他成功地买下了ashares（销售）B.分享并支付（接受）现金金额A.Pa（t）+Pb（t）/2（分别为BPa（t）+Pb（t）/2). 使用一般的隐藏顺序策略h=（ha，hb）∈ H，交易者的库存和交易隐藏订单的现金金额为IH（t）=阿兹塔（s）-)dHa（s）- bZthb（s-)dHb（s）；Ch（t）=- 阿兹塔（s）-)Pa（t）+Pb（t）/2.dHa（s）+bZthb（s）-)Pa（t）+Pb（t）/2.dHb（s），0≤ T≤ T.（2.8）3最优交易问题假设市场参与者的集体活动构成订单簿动态，如前一节所述。最佳交易者将在这种聚合动态的基础上进行交易。他将主动命令和隐藏命令结合起来。主动订单会立即“内部化”传入的市场订单。他在暗池中的隐藏指令可能不会在下一刻执行，但一旦执行，交易者将收到低于或高于当前报价的价差一半的价格。

灵活地在主动订单和隐藏订单之间进行选择，可以在做出内部化订单的决定（提供价格提升）和他通过库存所面临的自然关联逆向选择之间找到最佳平衡。根据其信息优势，读者被认为是常规的或内化的。今天市场上的大多数交易者，包括欧洲的所有交易者，都是常客。他们观察并仅观察订单簿中的当前记录。一个内化的贸易商的首要任务是观察收到的订单，并在向其他市场参与者展示订单之前立即采取行动。它提供了一个额外的选择，以略低的价格购买或出售，这样就不会对当前的价格产生影响。3.1主动填充显示订单主动交易策略下的订单将以可用的最佳价格完全立即执行，减去必要时向其对应方提供的“价格提升”。交易者通过积极内部化市场订单（包括以最佳可用价格完成的订单），在时间t之前买入和卖出的总股票，用递增过程{Za（t）}0表示≤T≤Tand{Zb（t）}0≤T≤T、 当新的限价指令到达价差范围内时，以旧价格plus/减去价格改善>0填充的限价指令，用过程{βa（T）}0表示≤T≤Tand{βb（t）}0≤T≤Tas指在交易前以旧价格认购的股份占现有股份总数的比例。

如果Za和Zb在时间t内是连续的，则称为“连续再平衡”的主动运输策略Z=（Za，Zb，βa，βb）离散重新平衡，如果Za和Zb是纯跳跃过程；——混合，若扎克伯格和扎克伯格是上述两种的混合物。本小节分别为内化交易者和常规交易者制定了混合主动交易策略（“混合交易策略”）。定义3.1（混合交易策略）（1）内部化交易者可接受的混合交易策略集是所有交易策略Z=（Za，Zb，βa，βb）的集合，满足以下两个标准。（1.1）F适应的c`adl`ag过程{Za（t）}0≤T≤Tand{Zb（t）}0≤T≤皮重在时间间隔[0，T]内不负且不减少。F-适应过程{βa（t）}0≤T≤Tand{βb（t）}0≤T≤t在区间[0,1]内取值。（1.2）对于两个给定的正整数pb<`pa，过程Za在{（t，ω）上∈ [0，T]×Ohm|私人助理（t）≥ 和{（t，ω）上的Zbis fl∈ [0，T]×Ohm|铅（t）≤ pb}；βais过程仅在{（t，ω）上非零∈ [0，T]×Ohm|Pa（t）</Pa，Na（t）- Na（t）-) = 1和Za（t）- Za（t）-) < a} ，且过程βbis仅在{（t，ω）上非零∈ [0，T]×Ohm|Pb（t）>Pb，Nb（t）- Nb（t）-) = 1和Zb（t）- Zb（t）-) < b} 。（2） 常规交易者可接受的混合交易策略集定义为：=Z=（Za，Zb，βa，βb）∈ 津特βa（t）≡ βb（t）≡ 0，尽管如此∈ [0，T].定义3.1中的标准（1.1）定义了内部化交易者的混合交易策略。标准（1.2）中的有界价格要求交易者只在低于价格Pa的情况下买入，在高于价格pb的情况下卖出。实际上，当价格超出正常范围时，任何交易都不会反映出不承担风险或将价格进一步推向外部市场的心理；从技术上讲，它将被用来证明问题4.1的适定性，或者换句话说，价值函数是有限的。

关于βa和βB标准（1.2）的另一项要求意味着，只有当新的限额指令到达价差内时，才有必要在旧价格下填充分数列。考虑到在这一部分中进行优化，可以通过aprice切换策略对每个混合交易策略的影响进行路径复制，如第5节所示。标准（2）中定义的常规交易者的混合交易策略与内化交易者的相同，除了在价差内的订单到达时间，常规交易者不再以旧价格（公式为βA）提交订单≡ βb≡ 0.如果是内化交易员，货币小节的其余部分将以紧凑的公式书写订单簿动态以及交易员的库存和现金金额。可以通过列举所有可能引发买卖价格变化的情况来验证。适应常规交易者的情况只是一个问题≡ βb≡ 0.方程式（2.2）、（2.2）和（2.2）中的订单簿动态现在由贸易商使用允许的混合交易策略Z进行控制。

在[0，t]以上的次数中，所有订单在当前的买卖价格下被耗尽的次数可以表示为li（t）=X0≤s≤{Qi（s）-)-(s)-子（s）-))≤0}，i=a，b。对于i=a，b，变化ua（t）=Pa（t）- Pa（t）-) 和ub（t）=-铅（t）- Pb（t）-)在受控的买卖价格过程中，时间t c可由ui（t）计算=-1，如果Ni（t）- Ni（t）-) = 1和Zi（t）- 子（t）-) < 我0，如果Ni（t）- Ni（t）-) = 1和我≤ 子（t）- 子（t）-) < 齐（t）-) + i、 或者如果t=t和Zi（t）- 子（T）-) < 齐（T）-);子（t）- 子（t）-) - 齐（t）-)/我+ 1.- （倪（t）- Ni（t）-)), 其他的控制量qas和Qbat sk和bid pric es根据Qi（t）=Qi+σiWi（t）移动- Zi（t）+iZt（ui（s））+dLi（s）+Zt{ui（s）≤0}我- （一）-齐（s）-)dNi（s），0≤ T≤ T，i=a，b.受控的要价和投标价pap和pbp根据toPa（T）=Pa（0）+Zt（ua（s））+dLa（s）移动-Zt（微安）-dNa；Pb（t）=Pb（0）-Zt（ub（s））+dLb（s）+Zt（ub（s））-dNb（s），0≤ T≤ T.（3.1）每次T∈ [0，T]，一个混合交易策略给交易者一个sto cksharesIZ（T）=Za（T）的库存- Zb（t）+Ztβa（s）Qa（s）-)dNa（s）-Ztβb（s）Qb（s）-)dNb（s）。（3.2）假设是交易者支付给其对应方的每股溢价，用于在新的更好的价格下，以旧的价格将有限的订单内部化。使用混合交易策略Z，交易者支付给卖方（从买方收到的）表示为CZa（分别为CZb）的股票的现金总额可以通过CZa（t）=ZtPa（s）计算-)dZa（s）+Ztβa（s）Qa（s）-) （Pa（s）-) + ）dNa（s）+Zt广告（私人助理）+A.- 品质保证dPa（s）- 阿德纳(s),（3.3）和CZB（t）=ZtPb（s-)dZb（s）+Ztβb（s）Qb（s）-)铅（s）-) - dNb（s）-Zt屋宇署（屋宇署）+B- Qb（s）dPb（s）- 北区北湾(s).（3.4）在等式（3.1）中，两个积分计算在利差内到达的限价单以旧价格买卖的股份总数。

在每个等式（3.1）和（3.1）中，标识右侧的第一个积分是支付和接收的现金量，前提是所有以最佳可用价格下的订单都是在每次交易前观察到的出价和askprice下执行的，就像价格没有变化且价差内没有到达时一样。第二个积分计算的是，当新的限价订单在预定日期内到达时，以旧价格填写限价订单所支付和收到的现金金额。第三个积分收集了交易深入账簿所支付的额外成本，以及在spre ad内完成到达的限价订单所节省的成本。交易者在时间t时，从混合交易策略Z isCZ（t）=-CZa（t）+CZb（t），0≤ T≤ 交易的目标交易者的总库存和现金量是交易隐藏和显示订单的总和，beinghi，Z（T）=I+Ih（T）+IZ（T）和Ch，Z（T）=C+Ch（T）+CZ（T），0≤ T≤ T、 （3.6）其中，实数与初始库存和初始现金金额有关，过程Ih、Ch、IZ和CZ在等式（2.3）、（3.1）和（3.1）中定义。当使用的交易策略没有歧义时，库存清单Ih、ZAN和现金金额Ch、Zare中的supe rScript被省略。让rI∈ (-∞, ∞) 和rC∈ (0, ∞) 是两个随机数和f:R×N×N→ R（z，pa，pb）7→ F（z，pa，pb）是一个二次增长的可测函数。假设3.1存在一个常数rF>0，因此对于所有z∈ R和所有pb≤ 爸，我们有F（z，pa，pb）≤ 射频（z） +（pa）+（pb）+1和F（z，pa，pb）- F（z，pa，pb）≤ 射频|pa |+| pb |+1（|z |+|z |+1）|z- z |。交易活动通过报酬ξ（I（T），C（T））=rCC（T）+rIF来衡量I（T）、Pa（T）、Pb（T）.