信息集在预测中的作用——及其应用

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英文标题：
《The role of the information set for forecasting - with applications to
  risk management》
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作者：
Hajo Holzmann, Matthias Eulert
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Predictions are issued on the basis of certain information. If the forecasting mechanisms are correctly specified, a larger amount of available information should lead to better forecasts. For point forecasts, we show how the effect of increasing the information set can be quantified by using strictly consistent scoring functions, where it results in smaller average scores. Further, we show that the classical Diebold-Mariano test, based on strictly consistent scoring functions and asymptotically ideal forecasts, is a consistent test for the effect of an increase in a sequence of information sets on $h$-step point forecasts. For the value at risk (VaR), we show that the average score, which corresponds to the average quantile risk, directly relates to the expected shortfall. Thus, increasing the information set will result in VaR forecasts which lead on average to smaller expected shortfalls. We illustrate our results in simulations and applications to stock returns for unconditional versus conditional risk management as well as univariate modeling of portfolio returns versus multivariate modeling of individual risk factors. The role of the information set for evaluating probabilistic forecasts by using strictly proper scoring rules is also discussed.
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中文摘要：
预测是根据某些信息发布的。如果正确指定了预测机制，那么更多的可用信息将导致更好的预测。对于点预测，我们展示了如何通过使用严格一致的评分函数来量化增加信息集的效果，从而得到较小的平均分数。此外，我们还表明，基于严格一致的评分函数和渐近理想预测的经典Diebold-Mariano检验是一种一致的检验，用于检验一系列信息集的增加对$h$步进点预测的影响。对于风险价值（VaR），我们表明，对应于平均分位数风险的平均分数与预期短缺直接相关。因此，增加信息集将导致VaR预测，从而平均减少预期短缺。我们在无条件风险管理和条件风险管理的股票收益模拟和应用中，以及投资组合收益的单变量建模和单个风险因素的多变量建模中，展示了我们的结果。还讨论了信息集在使用严格适当的评分规则评估概率预测中的作用。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> The_role_of_the_information_set_for_forecasting_-_with_applications_to_risk_management.pdf (303.41 KB)

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关键词：Applications Multivariate Quantitative epidemiology information

《应用统计年鉴2014》，第8卷，第1期，595–621页，OI:10.1214/13-AOAS709c数理统计研究所，2014年，Hajo Holzmanna和Matthias EulertPhilipps Universit–at Marburg的预测信息集在风险管理中的应用是基于特定信息发布的。如果预测机制得到了正确的描述，那么大量的可用信息应该会带来更好的预测。对于分数预测，我们展示了如何通过使用严格一致的评分函数来量化增加信息集的效果，其中平均分数较小。此外，我们还表明，基于严格一致的评分函数和渐近理想预测的classicalDiebold–Mariano检验是一种一致的检验，用于检验h步点预测中一系列信息集增加的效果。对于风险价值（VaR），我们表明，对应于平均分位数风险的平均分数与预期短缺直接相关。因此，增加信息集将产生因瓦预测，平均而言，这将导致较小的预期短缺。我们在无条件风险管理和条件风险管理的股票收益模拟和应用中，以及投资组合收益的单变量模型和独立风险因素的多变量模型中，展示了我们的结果。还讨论了使用严格适当的评分规则评估概率预测的信息集的作用。1.导言。制定和评估统计预测是统计学家和计量经济学家的一项基本任务。虽然概率预测由一个完整的预测分布组成，信息量很大[cf.Gneiting，Balabdaoui and Raftery（2007）]，但人们的兴趣通常集中在单值点预测[Gneiting（2011）]。

例如，在定量风险管理中，目标是估计预测分布的某些函数，如风险价值（VaR）或预期短缺[McNeil，Frey and Mbrechts（2005）]。2012年10月收到；2013年12月修订。部分由DFG支持，授予Ho 3260/3-1。关键词和短语。预测、信息集、评分函数、评分规则、风险价值。这是数理统计学会在《应用统计年鉴》2014年第8卷第1期595–621中发表的原始文章的电子版。这本再版在页码和印刷细节上与原版不同。2 H.霍尔兹曼和M.欧勒特预测是根据某些信息发布的。显然，增加信息集应该会导致更好的预测，至少如果预测机制被正确指定的话。我们将这种预测称为侧预测。在这篇文章中，我们展示了如何通过使用严格一致的评分函数[Gneiting（2011）]来量化通过增加信息集对理想预测的改善，从而产生较小的平均分数。此外，我们还表明，基于严格一致的评分函数和渐近理想预测的经典Diebold和Mariano（1995）检验是一种一致的检验，用于检验一系列信息集的增加对h步点预测的影响。作为一个最重要的例子，考虑评估VaR预测。形式上，VaR是损失分布的分位数（高，比如0.99或0.999）。无条件方法将VaR建立在风险因素的无条件分布基础上，因此使用了一个微不足道的信息集，而条件方法指的是通常给定历史数据的条件分布；参见麦克尼尔、弗雷和恩布雷希茨（2005）。

对于条件方法，信息集可能也会有所不同：从投资组合的角度来看，它只包括投资组合回报，而单个风险因素的建模涉及更大的信息集。无条件回溯测试包括检查VaR估计超出的相对频率是否对应于VaR水平。顾名思义，如果定义正确，无条件和有条件方法都能满足这一要求。如果提前一步进行估计，则有条件方法可以通过检查VaR预测的哪些超出独立发生[i.i.d.假设，参见Christo Offersen（1998）、McNeil、Frey和Embrechts（2005）]。然而，单凭超标指标的独立性并不能充分考虑条件法信息集的大小；另见Berkowitz，Christoffersen and d Pelletier（2011）。我们表明，通过评分函数评估（理想的）VaR预测，可以区分来自不同信息集的VaR预测。有趣的是，增加信息集将导致VaR预测，从而导致较小的预期缺口，除非信息集的增加不会导致VaR预测的任何变化。论文的结构如下。一般方法见第2节。为了说明这一点，我们从第2.1节开始，以回归分析为例。我们回顾了一个众所周知的事实，即通过加入额外的变量，从而增加信息集，可以减少（总体，即理想）平均回归函数的均方预测误差。

然后，转向一般预期回归，我们指出，我们随后的结果表明，包含额外变量将减少（理想）预期回归函数的平均不对称度量损失。在第2.2节中，我们展示了一个更大的信息集对发布的影响。通过使用严格一致的评分函数，可以量化信息集在预测某一点预测中的作用。第2.3节涉及使用适当的评分规则评估概率预测时的相同问题。另见Tsyplakov（2011）的注释，其中对Mitchell和Wallis（2011）的论文进行了评论，后者又是对片麻岩的批评性评论，Balabdaoui和Raftery（2007）。在第2.4节中，我们研究了Dieboldand Mariano（1995）检验在信息集嵌套序列和渐近理想预测中的性质。第3节详细讨论了评估VaR预测的方法。我们首先讨论VaR的应用，如交易台的风险控制、基于VaR的投资组合选择和监管用途，以及发布VaR预测的一般策略。在第3.1节中，我们将重点介绍超额指标，这是回溯测试VaR预测的典型工具，在第3节中。2我们转向分位数损失（VaR的严格一致评分函数），并将其预期值与预期短缺联系起来。在第4节中，我们进行了一项模拟研究，并在比较第一种无条件方法与条件方法以及基于投资组合收益与单个风险因素的多变量建模的第二种单变量模型时，应用股票收益序列进行风险价值估计。第5节结束，而技术p屋顶推迟到Anapendix。2.量化信息集的作用。2.1.

回归分析的一个介绍性例子。为了激发接下来的讨论，请考虑回归框架中的一个例子。假设观察到ran dom变量的三重（Y，X，X），其中Y是因变量，E | Y |<∞ X是解释性随机变量。考虑（x，x）上Y的平均回归g（x，x）=E（Y | x=x，x=x），以及Xonly上Y的f（x）=E（Y | x=x）。给定值x，x，在哪个意义上，对于Y的条件平均值，g（x，x）是比f（x）更精确的预测，或者用其他措辞，在哪个意义上，如果信息集从f=σ（x）增加到g=σ（x，x），预测会得到改善？众所周知，如果EY<∞, 我们几乎可以肯定地说是P-a.s.E（（Y）-g（X，X））|X=E（Y | F）-E（（E（Y | G））| F）≤ E（Y | F）-（E（Y | F））=E（（Y）-f（X）| X）因为由条件Jensen不等式（E（Y | f））得到≤ E（（E（Y | G））| F），因此也减少了无条件平方预测误差：E（（Y）-g（X，X）））≤ E（（Y）-4 H.HOLZMANN、M.EULERTPatton和Timmermann（2012）讨论了均值预测的特例，以及在动态环境中增加信息集的影响。现在，自然的假设是，如果我们从简单的均值回归，转移到α期望值上的期望值回归，α6=1/2，或者甚至考虑整个预测分布L（Y | F）和L（Y | G），类似的陈述是否成立。回想一下，具有有限第一矩的分布函数F的α期望τα被定义为τ到αZ的唯一解∞τ（y）-τ）dF（y）=（1）-α） Zτ-∞(τ -y） dF（y）。设gα（x，x）[resp.，fα（x）]表示给定x=x，x=x（resp.，给定x=x）的Y的条件分布函数的α期望值。

我们下面的结果表明，如果EY<∞, 如果我们替换损失的平方（y- m） 对于不对称平方损失的平均值Sα（y，τ）=1τ≥Y-α|（y）-τ） 对于α期望值，则P-a.s.E（sα（Y，gα（X，X））|F）≤ E（Sα（Y，fα（X））|f）以及asE（Sα（Y，gα（X，X）））≤ E（Sα（Y，fα（X）），当且仅当gα（X，X）=fα（X）。这将通过使用以下事实进行推断，即上述损失函数对于函数是严格一致的，如下所述。2.2. Fu-nc-nations和评分函数。我们首先回顾严格一致的评分函数的概念；参见Gneiting（2011）。设Θ是闭子集D上的一组分布函数 R、 我们用它们相关的概率分布来确定，让T:Θ→R是（一维）统计函数。我们让B（Θ）表示Borelσ-代数Θw.r.t.分布函数（或概率测度）弱收敛的拓扑，我们让B表示普通的Borelσ-代数。如果函数T是B（Θ），我们将其称为可测函数T-B-可测量。评分函数是一个可测量的m ap S:R×D→[0, ∞). 然后，如果发布了预测x并实现了预测y，则S（x，y）被解释为损失。对于所有x，与类Θiff相关的函数T是一致的∈ R、 F∈ Θ：EF（S（T（F），Y））≤EF（S（x，Y）），其中Y是具有分布函数F的随机变量，我们假设相关的预期值存在且不存在。因此，真函数T（F）使F下的预期损失最小化。I fEF（S（T（F），Y））=EF（S（x，Y））意味着x=T（F），预测5s的信息集的作用对于T是严格一致的。如果函数T允许一个严格一致的评分函数，那么它被称为可诱导的（相对于类Θ）。

对于均值、分位数和期望值等几个函数，Gneiting（2011）描述了所有严格一致的评分函数，这些函数还满足以下条件：1。S（x，y）≥ 只有当x=y，2时，d才等于0。S（x，y）在x中对所有y是连续的∈ D、 （1）3。偏导数当x 6=y时，x（x，y）存在并且在x中是连续的。注意，为了简单起见，我们不考虑集值泛函。我们的结果可以扩展到包括这些，但配方将变得更加繁琐。因此，在分位数的情况下，我们假设Θ中的所有分布函数都严格递增。Gneiting（2011）还指出，方差或预期短缺等众所周知的函数是不可导出的。Heinrich（2014）对模式泛函得出了相应的否定结果，尽管模式的水平集是凸的。现在让我们考虑一下预测情况。预测是根据某些信息发布的。让(Ohm, A、 P）是概率空间，设F Abe是a（信息集）的次σ代数，让Y：Ohm →R可能是一个随机变量。目的是在定理1中预测Y的条件分布的一个特殊泛函。设FY | F（ω，·）是给定F的y的条件分布函数∈ Ohm, FY | F（ω，·）∈ Θ. 如果T:Θ→ R是可测的，那么T（F）=T（FY | F（ω，·））=Y（ω）是一个F-可测的R.v.如果它是可诱导的（超过Θ），如果S是T的严格一致的评分函数，那么对于任何F-可测的R.v.Z，我们得到（S（^Y，Y）|F）（ω）≤P-a.E.ω的E（S（Z，Y）|F）（ω）∈ Ohm（2） 以及平均得分（S（^Y，Y））≤ E（S（Z，Y））（3）在（2）或（3）中相等，当且仅当^Y=Z，P-a.S。让我们转向一种情况，即可以基于两个不同的信息集F进行预测 G A.

显然，更大的信息集只能产生更好的理想预测，事实上，我们有以下结果。6 H.霍尔兹曼和M.欧勒特推论2。假设F G越来越多的信息集。集合^YF（ω）=T（FY | F（ω，·）），^YG（ω）=T（FY | G（ω，·））。（4） ThenE（S（YG，Y）|G）≤ E（S（^YF，Y）|G），P-a.S.，E（S（^YG，Y）|F）≤ E（S（^YF，Y）|F），P-a.S.，（5）E（S（^YG，Y））≤ E（S（^YF，Y）），当且仅当^YF=^YG，P-a.S.在（5）中的任何不等式中相等。因此，增加信息集总是导致对分数的S项进行更好的理想预测，除非较小的信息集已经对相应的函数给出了相同的预测。最后，我们指出等式^YF=^YG，P-a.s.并不意味着条件分布相等，如下面的例子所示。例1。我们给出一个涉及分位数的例子。对于严格递增的连续分布函数F，让qα（F）表示α分位数α∈ （0，1），设qα为标准范数分布n（0，1）的α分位数。修正α∈ （0,1），σ>1，并设B，X，Xbe独立随机变量为B~ 误码率（1/2），X~N（0，1），X~ N（qα（1- σ） 和setY=BX+（1- B） X.如果F={, Ohm} 是平凡的，G=σ{B}，Y areL（Y | F）=N（0，1）+N（qα（1）的条件分布-σ） ，σ），L（Y | G）=BN（0,1）+（1-B） N（qα（1-σ） ，σ），在这两种情况下，条件α分位数都是常数，等于qα。事实上，为了评估完整的预测分布，需要严格正确的评分规则，如下一节所述。2.3. 概率预测和适当的评分规则。让我们简要地讨论一般正确的评分规则；详细的论述见Gneiting and Raftery（2007）。回想一下，我们识别了分布函数F∈ Θ及其相关概率度量uF∈ Θ. A可测映射：Θ×D→R被称为得分规则。

它被称为适当的，如果为任何形式∈Θ，Eu（S（u，Y））≤ Eu（S（ν，Y））表示所有的ν∈Θ，（6）如果（6）中存在等式，则预测7的信息集的作用是严格正确的，当且仅当u=ν。Gneiting（2011）指出，一个函数T与一个一致的scoring函数S一起，会产生适当的评分规则S（uF，y）=S（T（F），y）。然而，即使S是严格一致的，S也不一定是严格正确的。让我们再来一次(Ohm, A、 P）是一个概率空间，让F A是A（信息集）的次σ代数。一个Markov核GF[from](Ohm, F） to（R，B）]是一个mapp-ingGF：Ohm ×B→ [0,1]，例如：1。对于任何ω∈ Ohm, B 7→ GF（ω，B）（B）∈ B） 是（R，B）上的概率测度，2。对于任何B∈ B、 ω7→ GF（ω，B）是F- B[0，1]-可测量。给定F的（正则）条件分布uY | Fof Y是一个特殊的马尔科夫核[from(Ohm, F） 到（R，B）]，使所有的B∈ B、 E（1Y）∈B | F）（ω）=P-a.e.ω的uY | F（ω，B）∈ Ohm.定理3。让我们严格遵守正确的评分规则。设uY | F（ω，·）是给定F的Y的条件分布。假设对于每个ω，uY | F（ω，·）∈Θ. 对于任何马尔可夫核GF[from(Ohm, F） to（R，B）]，其中GF（ω，·）∈ Θ对于所有ω∈ Ohm, 映射ω7→ S（GF（ω，·），Y（ω））是一个随机变量，我们有它（S（uY | F，Y）| F）（ω）≤P-a.E.ω的E（S（GF，Y）|F）（ω）∈ Ohm（7） 安第斯山脉（S（μY | F，Y））≤ E（S（GF，Y））（8）在（7）或（8）中相等，当且仅当P-a.E.ω∈ Ohm, 分布gf（ω，·）和uY | F（ω，·）重合。Tsyplakov（2011年）在h is对Mitchell和Wallis（2011年）论文的评论中也观察到了这一点，这反过来也是对片麻岩、Balab daoui和Raftery（2007年）的一个关键回应。Gneiting、Balabdaoui和Raftery（2007）讨论了概率积分变换（PIT）在预测评估中的过于主导的作用。如果预测准确，他们将重点放在矿坑的均匀性上。