信息集在预测中的作用——及其应用

例如，在我们对对数回报的风险价值预测的应用中，结果表明，单个风险因素的多变量建模往往比投资组合回报的简单单变量建模更糟糕。因此，制定模型选择标准的目的是在特定评分函数下对特定参数进行最佳预测，例如回归模型中均方误差的AIC，应该是未来研究的主要问题。附录证明。我们从以下众所周知的事实开始，我们证明这一点缺乏参考。引理9。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，让GF：Ohm×B→[0，1]是一个马尔可夫核，其GF（ω，·）∈ Θ对于所有ω∈ Ohm. 然后GF：Ohm → Θ,ω 7→GF（ω，·）是F-B（Θ）可测量。证据对于固定连续有界函数f:D→R、 映射ω7→ZRf（x）GF（ω；dx）（19）是F-B-可测量；seeKlenke[（2008），定理8.37]。弱地形可以用d（u，ν）=supn来度量Zfndu-Zfndν: u, ν ∈ Θ,信息集在预测中的作用，其中（fn）是有界连续函数的适当序列；seevan der Vaart和Wellner（1996），定理1.12.2。度量空间（Θ，d）是可分的；seeKlenke（2008），第252页。因此，对于GF的可测量性，必须显示每个闭合球的前像Bε（u），ε>0，u∈ Θ在量度d中，在GFis下，在F中。现在，Bn，ε（u）=ω ∈Ohm :Zfn（x）GF（ω；dx）-Zfn（x）du（x）≤ε∈ Fby（19）和alsoG-1F（Bε（u））=\\nBn，ε（u）∈ F理论证明1。让uY | F用相应的条件分布函数FY | F表示条件分布。因为通过上述引理，映射uY | F：Ohm → Θ, ω 7→uY | F（ω，·），是F-B（Θ）-可测量，因为假设T是B（Θ）-B-可测量，由此得出^Y（ω）=TouY | F（ω；·）是一个F-可测的随机变量。为了P-a.e。

ω ∈ Ohm,E（S（Z，Y）|F（ω）=ZRS（Z（ω），Y）FY |F（ω，dy）。因为S是严格一致的，对于ω∈ Ohm 我们有Zrs（^Y（ω），Y）FY | F（ω，dy）≤具有等式的ZRS（Z（ω），y）FY | F（ω，dy）当且仅当Z（ω）=^y（ω）。第二条语句后面是期望值。推论2的证明。（5）的第一句话的证明直接来自理论1，因为^yf也是G-可测量的。对于第二个，假设条件期望w.r.t.F.因为对于非负随机变量Z，Z=0 a.s.当且仅当E（Z | F）=0 a.s.时，第二个结论如下。第三，无条件期望。定理3的证明。集合X（ω）=S（GF（ω，·），Y（ω））。通过引理9，X是可测量的。那么对于P-a.e.ω∈ Ohm,E（X | F）（ω）=ZRS（GF（ω，·），y）FY | F（ω，dy）。因为S是严格正确的，对于ω∈Ohm 我们有zrs（FY | F（ω，·），y）FY | F（ω，dy）≤ZRS（GF（ω，·），y）FY | F（ω，dy）26H.HOLZMANN和M.Eulert当且仅当分布FY | F（ω，·）和GF（ω，·）重合。这证明了定理的第一部分，第二部分接着是条件期望值。最终声明是可能性的标准事实。理论证明。SetWn=nnXk=1（S（^Y（h）k，F，Yk）-S（^Y（h）k，G，Yk））=nnXk=1Zk。在另一种情况下，推论2，（5），第3条语句，暗示EZ>0时的th，遍历定理则暗示√nWn→∞, P-a.s.来自（13）和OP(√n） ,，√n（Mn）-Wn）=OP（1），因此，√nMn→∞,P-a.s.也是。在零假设下，fr om推论2，（5），第一个等式语句表示E（Zn | Gn-h） =0表示所有n。因此，设置kXk=（EX）1/2，我们得到∞Xn=0kE（Z | G-n） k=h-1Xn=0kE（Z | G-n） k<∞,以及来自平稳序列的CLT[见Durrett（2005），定理7.6，第416页]√西北→N（0，σ），其中σ如（14）所示。从第（13）页开始(√n） ,，√n（Mn）- Wn）=oP（1），因此，不对称正态性适用于√嗯。命题的证明。我们只知道这一点=> 2.

通过独立性，我们得到了P-a.e.ω∈ Ohm,FY | F（ω，（Z（ω），∞)) = P（I=1 | F）（ω）=P（I=1）=1- α、 所以Z（ω）=qα（FY | F（ω，·））。推论7的证明。这是因为（In）是独立的当且仅当n，In+1和σ（Ik；k）都是独立的≤ n） 他们是独立的。命题的证明。对于严格递增的连续分布函数F，一个简单的计算得出*（qα（F，Y））=-αZqα（F）-∞y-dF（y）。因此，（17）从（5）开始。信息集在预测27次衰退中的作用。作者们要感谢编辑TilmannGneiting以及三位匿名推荐人提供的有益评论，并指出了一些相关参考文献，以及Ste ff en Dereich提供的有益讨论。参考Acerbi，C.和Tasche，D.（2002年）。关于预期短缺的一致性。J.银行金融26 1487–1503。Bao，Y.，Lee，T.-H.和Saltoglu，B.（2006）。评估新兴市场风险价值模型的预测性能：现实检验。J.预测。25 101–128.MR2226780Berkowitz，J.，Ch ristoffersen，P.F.和Pelletier，D.（2011年）。使用桌面级数据评估风险价值模型。管理科学57 2213–2227。Br¨ocker，J.（2009）。可靠性、效率和适当分数的分解。Q.J.罗伊。流星Soc。135 1512–1519.克里斯托弗森，P.F.（1998）。评估区间预测。内特。经济。牧师。39841–862. MR1661906克里斯托弗森，P.F.（2009）。风险价值模型。《金融时报手册》系列（T.Mikosch、J.P.Kreiss、R.A.Davis和T.G.Andersen编辑）753-766。柏林斯普林格。DeGroot，M.H.和费恩伯格，S.E.（1983年）。对预报员的比较和评估。J.罗伊。统计Soc。爵士。D（统计学家）32 12–22。迪博尔德，F.X.（2012）。二十年后预测准确性的比较：Diebold–Mariano试验使用和滥用的个人观点。第号工作文件。

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