分位数贡献的超可加性和估计偏差

如果我们将预期标准化为1，那么Xα的cdf是Fα（X）=1-xxmin-α，我们有：κq（Xα）=qα-1α和ddακq（Xα）=qα-因此，κq（Xα）是α的凸函数，我们可以写为：κq（X）≥mXi=1ωiκq（Xαi）≥ κq（Xα），其中α=Pmi=1ωiα。现在假设X是一个正随机变量，分布未知，只是它的尾部像一个指数未知的幂律衰减。指数的无偏估计，必然带有一定量的不确定性（即，某个平均值周围可能真实值的分布），将导致κq的下偏估计。极端风险倡议-纽约大学工程学院工作论文系列5，因为浓度测量仅取决于分布的尾，这个不等式也适用于幂衰减分布的混合情况，如方程1:P（X>X）~NXj=1ωiLi（x）x-αj（3）指数的最小不确定性会增加浓度指数。通过考虑平均值α>1和两个环绕值α+=α+δ和α，可以得到该偏差的实际估计值-= α - δ. 凸性不等式如下：κq（¨α）=q1-α<q1-α+δ+q1-α-δ因此，在实践中，估计的α约为3/2，有时称为“半立方”指数，将产生类似的结果，即α值更接近ro 1，正如我们在上一节中使用的那样。简单地说，κq（α）是凸的，由二阶效应ln（q）q1控制-α+δ（ln（q）-2（α+δ））（α+δ），α值较低时，这种效应会加剧。为了说明分位数的不平等集中度量是多么不可靠，考虑一下α度量中的标准误差为0.3会导致κq（α）上升0.25。V.较大的总和伴随着bκqt的增加估计量bκqa和总和S=nXj=1Xj之间存在很大的依赖性：如果bκqt增加，则预期总和更大。

事实上，如定理1所示，bκqand是正相关的。对于涉及财富的随机变量的情况，我们观察到如图3所示的条件增长；换句话说，由于分布属于所考虑的尾部，最大值与总和的顺序相同，因此额外的财富意味着更多可测量的不平等。在这种动态下，假设额外的财富将从底层甚至中层产生，这是非常荒谬的。（同样的论点也适用于战争、流行病、规模或公司等。）VI.结论和对浓度的正确估计在发生器的水平上可能很高，但在小单元或小分段中，我们会观察到较低的κq。因此，检查时间序列，我们很容易得到，例如，当财富集中长期存在于过程层面时；而被测单位尺寸的扩大可以作为解释的一部分。即使是对α的估计，在某些领域也可能存在偏差，人们看不到整个情况：在“真实”α存在不确定性的情况下，可以证明，与其他参数不同，使用的参数不是概率加权的累积财富通常比收入更厚，参见[8]。60 00080 000100 000120 0000。30.40.50.60.70.80.91.0ΚHn=104LFig。3：额外财富对^κ指数（标准平均值）的影响，而不是指数截面的最小值[6]。在未经调整的情况下，不得对bκq的同比变化进行分析。

我们注意到，有些理论是建立在不平等性“增加”的基础上的，如[9]，没有考虑到κq的真实性质，没有提及估计的随机性，也没有公布关于不平等性“变化”的理论- 以及κqa和亚单位缺乏一致性。更糟糕的是，对这些理论的否定也忽略了规模效应，通过使用不同样本大小的数据进行反驳，有效地使关于不平等的对话在统计学上缺乏信息。这一错误似乎是文献中关于厚尾数据的常见推断。使用浓度和浓度变化的方法非常值得怀疑。例如，在斯泰文·平克[10]关于世界正在变得不那么暴力的论文中，我们注意到一个错误的推论，即战争造成的破坏集中在一个人口非常少的bκQ，与厚尾性有关。由于战争伤亡和暴力冲突后果的严重性，调整会很快使战争暴力在统计上出现下降的说法失效。A.稳健的方法和详尽数据的使用我们经常面临这样的争论：“根据分位数贡献测量浓度的方法是稳健的，并且基于一整套数据”。遗憾的是，稳健的方法往往会因厚尾数据而失败，参见[6]。但是，除此之外，这里的问题更糟：即使这种“稳健”方法被认为是无偏的，直接百分位数估计方法仍然与静态和特定的人口有关，而不是Chris Giles的《金融时报》，2014年5月23日，“因错误而削弱的小发现”。使用理查森的数据，[10]：“（战争）遵循80:2的规则：几乎所有的死亡都是由2%（他的皇帝）造成的“战争”。

因此，平克和因暴力冲突的定量属性而引用的文献似乎都在使用一种令人敬畏的方法，这种方法会产生严重的偏差，因为百分位估计对厚尾战争有极大的偏差。此外，关于平均值的说法在低指数下是虚假的。极端风险倡议——纽约大学工程学院工作论文系列6汇总。因此，此类技术不允许我们对样本的真实属性做出统计声明或科学陈述。以保险（或者更好的再保险）公司为例。在一年中，几乎没有索赔的“会计”利润不反映公司的“经济”状况，并且基于一年的样本就保险事件中的损失集中度做出报表是徒劳的。“会计”利润不用于预测同比变化，而不是尾部（和其他）事件的风险敞口，即考虑业绩随机性的分析。“会计”（确定性）和“经济”（随机）价值之间的差异对政策制定至关重要，尤其是在厚尾情况下。战争也是如此：我们不会根据样本历史数据中的过去来估计（未来）风险的真实性。B.我们应该如何测量浓度？风险管理者的从业者现在倾向于计算Cvara和其他指标，这些指标是外推的和不可预测的方法，例如来自α指数的信息，使其更接近指数范围的下限，正如我们在定理2的扩展中看到的，并重新驱动相应的κ，或者更严格地说，在各种可能的状态中集成α的函数。

这种调整方法的偏差较小，不会与聚合问题混淆——它们类似于数学金融中的“随机波动率”方法，即通过在标准偏差中添加“微笑”来调整期权价格，与代表波动率的参数的可变性及其测量误差成比例。考虑到“尾”的随机扩展，我们将在“尾”中考虑“尾”的平均值。7.8致谢已故的贝诺·曼德布罗特、布兰科·米拉诺维奇、多米尼克·盖安、费利克斯·萨尔蒙、布鲁诺·杜皮尔、已故的马克·约尔、匿名裁判阿尔伯特·谢里亚夫、布鲁克林卢西亚诺雷斯塔兰特和曼哈顿纳亚的工作人员。参考文献[1]B.Mandelbrot，“帕累托-列维定律与收入分配”，《国际经济评论》，第一卷，第二期，第页。

79–106, 1960.还要注意的是，除了百分位数估计问题外，一些作者（如[11]）在处理删失数据时，使用帕累托插值来获取关于尾部的不充分信息（基于尾部参数），在括号中填充条件平均括号贡献，这与使用完全幂律扩展不同；这种方法保留了显著的偏差。即使使用对数正态分布，通过设置标度参数，在一定程度上也会起作用，因为标准偏差的增加会将概率质量外推到右尾。我们还注意到，这些定理也适用于泊松跳跃，但我们将重点放在应用中的幂律情况上，因为设定泊松跳跃的方法是插值的，并且已证明在样本中比在样本外更容易拟合，见[6]。[2] “《国际经济评论》，第4卷，第1期，第111-115页，1963年，表观指数接近2时，稳定的帕累托收入分配。”。[3] C.Dagum，“收入分配与应用之间的不平等衡量”，《计量经济学》，第48卷，第7期，第1791-1803页，1980年。[4] ——收入分配模式。威利在线图书馆，1983年。[5] S.Singh和G.Maddala，“收入规模分布函数：回复”，《计量经济学》，第46卷，第2期，1978年。[6] N.N.Taleb，“无声风险：关于厚尾巴、（抗）脆弱性和对称暴露的讲座”，可在SSRN 2392310上获得，2014年。[7] M.Falk等人，“关于通过pot方法测试极值指数”，《统计年鉴》，第23卷，第6期，第2013-20351995页。[8] X.Gabaix，“经济和金融中的幂律”，国家经济研究局，技术代表，2008年。[9] T.Piketty，《21世纪的首都》，2014年。[10] S.平克，《我们天性中更好的天使：暴力为何减少》。企鹅出版社，2011年。[11] T.皮凯蒂和E。

Saez，“最高收入的演变：历史和国际视角”，国家经济研究局，技术代表，2006年。