具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、实例和应用

我们根据caplet数据对到期日1、2、，10年，OIS零息债券B（·10.5）确定了最终计量。我们预先确定参数（ux），（ux），（vx）和（vx）的值，以及过程Xc的参数。XCIS的影响我们发现，与选择10年作为最终到期日相比，使用该数字进行校准时，模型的性能稍好。具有多条曲线的仿射LIBOR模型，由ux`（i）和vx`（i）之间的价差确定-1，以及<<ux`（i）和<<vx`（i）-1对于3m和6m男高音帽，我们将通过设置<<ux=·····=<<uxNx来简化-1=常数。常数uc，以及vx，~VxNx和~vx，Vxnx不是由初始术语结构确定的，必须以其他方式确定（例如，通过校准Swaption或Basis Swaption）。它们也不能完全自由选择，必须验证这些程序中的uxk、uxk和vxk、vxk值是否满足必要的不等式，即vxk-1.≥ uxk-1.≥ uxk。考虑到这一点，我们选择这些值的方式是，XC约占LIBOR利率从第4个到期日到第10个到期日的总方差的50%，约占第1个到期日到第3个到期日的总方差的10%。我们通过实验验证了这种特殊的依赖结构选择对以下部分的结果没有定性影响。或者，可以将这些参数校准为衍生工具，如互换期权、基本互换期权或部分由伦敦银行同业拆借利率的依赖结构决定的其他衍生工具。然而，由于利率衍生产品市场仍然高度分割，因此对小规模资产和互换期权的联合校准是一个长期的挑战，参见。

Brigo and Mercurio（2006）或Ladkau、Schoenmakers和Zhang（2013），我们将把这个问题留给未来的研究。0.05 0.10.80.911.11.21.3成熟度=1临界挥发度0.05 0.10.80.911.11.21.3成熟度=2临界挥发度0.05 0.10.60.620.640.660.68成熟度=3临界挥发度0.05 0.10.50.520.540.560.58成熟度=4临界挥发度0.05 0.10.40.450.50.55成熟度=0.05临界挥发度0.10.10.50.480.45临界挥发度=4临界挥发度0.10.350.40.450.5成熟度=7显著波动率0.05 0.10.350.40.450.5成熟度=8显著波动率0.05 0.10.250.30.350.40.45成熟度=9显著波动率模型市场图8.9。3（1-2年到期）和6（2-9年到期）月期欧元银行同业拆借利率的Caplets的市场和模型隐含波动率。32 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.Schoenmakes和D.Skovmand图8.4-8.7中总结的模型结构具有优势，即可以从最长成熟度开始，然后向后，一次一个成熟度依次校准小囊。在校准程序中，使用到期日Txi将每个特殊过程的参数设定为caplet价格，同时选择uxi、Uxian和vxi，vxi以匹配初始OIS和LIBOR利率的相应值。Caplet是pricedusing公式（6.5），参数是使用市场和模型隐含波动率之间的标准最小二乘法来确定的。图8.9显示了小囊填充的结果。我们可以观察到，在整个期限结构中，该模型在不同类型的波动率方面表现非常好，而在期限1-3的极端冲击方面只有小问题。

然而，这些问题主要是表面性的，因为这些价格以及更重要的是，这些合同的增量无论如何都非常接近于零，这使得该地区的任何模型误差在经济上都无关紧要。8.3. 互换期权价格近似。接下来的两节将对第7.1节和第7.2节中推导的交换期权和基本交换期权价格近似公式的有效性进行数值测试。我们将进行MonteCarlo研究，将真实价格与线性边界近似公式进行比较。使用的模型参数来源于前一节中描述的市场数据的校准。让我们将真实价格和近似价格表示为：S+（K，Txpq）=B（0，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp{f（XTxp）≥0},eS+（K，Txpq）=B（0，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp{ef（XTxp）≥0},其中f和f分别在（7.8）和（7.9）中定义。S+（K，Txpq）的蒙特卡罗（MC）估计用^S+（K，Txpq）表示，我们将其称为“真实价格”。我们将形成另一个MC估计量^eS+（K，Txpq），而不是使用傅里叶方法计算+（K，Txpq）。这样做的优点是，当使用相同的实现来计算两个MC估计量时，差异^S+（K，Txpq）-^eS+（K，Txpq）是对线性二次近似引起的误差的估计，模拟偏差的影响最小。掉期期权价格在执行期和到期日之间存在很大差异，因此我们将用隐含波动率（使用OIS贴现）来表示真实价格和近似价格之间的差异，这将更好地证明任何潜在错误的经济意义。我们为三种不同的基础掉期定价。

3m基本期限的结果已展示。所有校准和选择的参数值以及校准矩阵uxj、vxjforj=1、2可根据要求从作者处获得。我们使用每年10个离散步骤的500万条X路径构造蒙特卡罗估计。在每个离散化步骤中，使用Glasserman（2003，§3.4.1）算法模拟连续部分，而使用Glasserman（2003，第137–139页）处理跳跃部分，跳跃大小分布从对数正态变为指数。具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型330.005 0.01 0.015 0.02 0.0250.40.420.440.460.480.5S期权2Y2ystrikei隐含波动率0.005 0.01 0.015 0.02 0.02502468x 10-bp0中的3Swaption 2Y2YStrikeError。01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040.160.180.20.220.24Swaption 2Y8ystrike隐含波动率0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0400.050.10.150.2Swaption 2Y8YStrikeError在bp0中。0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.160.170.180.190.20.210.22Swoption 5Y5ystrikeImpled Volatility 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.020.040.060.080.1Swoption 5Y5YStrikeError in BPTrueApproximationTrueApproxionTrueApproxionFigure 8.10。3m互换期权的隐含波动率和绝对误差。如图8.10所示。6m期互换的相应结果存在误差，误差约为此处所示图表中水平的一半，为简洁起见，已省略。在图8.10的左侧，绘制了真实价格和近似价格的隐含波动率水平。罢工被选择在基础公平互换利率现货价值的60%到200%之间，这是产品报价的正常范围。右侧显示了两个隐含波动率在基点上的差异（即乘以10）。

正如Schrager和Pelsser（2006）中也记录的那样，近似值的误差通常会随着基础掉期中的付款数量而增加。这里的情况也是如此，但在所有情况下，错误的程度都很低。在正常市场中，买卖价差通常在10到300个基点之间（在货币水平上），因此即使是最高的误差也太小，不具有任何经济意义。即使是包含32笔付款的2Y8Y掉期期权也是如此。8.4. 基础互换期权价格近似值。为了测试基交换选项的近似公式，我们将遵循与上一小节相同的方法。也就是说，我们计算了以下两个34 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand期望值的MC估计值：BS+（S，Txpq，Txpq）=B（0，TN）IEN“qXi=p+1Mvxi-1Txp- MuxiTxp-qXi=p+1Mvxi-1Txp- SxMuxiTxp!{g（XTp）≥0}#，fBS+（S，Txpq，Txpq）=B（0，TN）IEN“qXi=p+1Mvxi-1Txp- MuxiTxp-qXi=p+1Mvxi-1Txp- SxMuxiTxp!{eg（XTp）≥0}#，其中Sx=1-δxS，而g和eg在（7.17）和（7.18）中定义。使用相同的实现，我们绘制了以基点衡量的两种价格之间的水平、绝对和相对差异，作为三种不同基础互换价差的函数。在货币水平上，利差的选择范围从50%到200%，即将基础基础基础Swap设置为零值的利差，再次参见（6.4），SAT M:=S（Txpq，Txpq）。数值结果如图8.11所示。我们选择这些到期日来代表两种一般模式。首先，误差往往会随着基差互换的长度而增加，这可以通过比较2Y8Y、5Y5Y和6Y2Y合约的误差来说明。

第二种模式与合同中的大部分付款何时支付有关。我们可以注意到，2Y2Y合同的误差远大于相应6Y2Y合同的误差，尽管两者包含相同的付款数量。此外，我们还可以看到，2Y2Y合同比2Y8Y合同有更大的误差，尽管两者的到期日相同，后者的付款额更多。这种反常的结果可以用利率期限结构的凸性来解释。在图8.8中，我们可以注意到，2Y2Y合同的大部分付款落在条款结构的一个特别弯曲的区域。这将导致更非线性的运动边界，从而导致线性边界近似的相对恶化。然而，必须强调的是，误差仍然处于经济上不明显的水平，在价格水平特别低的地区，最大相对误差为0.4%。备注8.2。命题7.2和命题7.4中的近似公式可用于校准交换选项和基础交换选项。这些近似值的误差界在闭合形式下不可用，因此无法保证整个参数空间的精度。在pricingis中，任何期望的精度都可以通过蒙特卡罗方法实现，这意味着近似公式的精度始终可以通过数值验证。然而，当执行完全校准时（可能需要几百次迭代才能在数值优化过程中实现收敛），蒙特卡罗方法比解析近似慢。

因此，具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型350.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30246810基础互换期权2Y2YS在pct基点0中展开。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.5x 10-3绝对误差扩散在pct基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.10.20.30.4 pct.pct中的相对误差分布0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3020406080基础互换选项2Y8Y分布在pct.基点0中。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.60.811.21.41.6x10-4绝对误差分布（以百分比为单位）。基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.5x 10-3 pct.pct.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.360657075基准互换选项5Y5Y在pct.基准点0中的相对误差分布。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.324681012x 10-5绝对误差分布（以百分比为单位）。基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3012x10-4 pct.pct.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3152025303540基准互换选项6Y2Y在pct中的相对误差分布0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.522.5x 10-5绝对误差分布（以百分比为单位）。基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.5x 10-4 pct.pct.TrueApproximation中的相对误差分布图8.11。3-6百万基差互换期权的基点价格、绝对和相对误差。为了校准互换期权价格，人们更喜欢近似法而不是蒙特卡罗法。然后，可以进行蒙特卡罗模拟（仅一次），以验证近似值对于数值优化找到的参数也是正确的。我们还要提到，在典型的校准程序中，可接受的误差约为2%，远高于近似公式的误差，否则存在数据过度拟合的风险。8.5. 一个简单的例子。本节的目的是提供一个简单的示例，帮助读者直观了解模型的数值实现。

我们提供了一个完整构造且更易于管理的数值示例，用于将模型参数UXK和VXK设置为初始术语结构，读者可以自己复制，而不是第8.3节和第8.4节中的完整校准示例。此外，我们在这个简单的设置中展示了如何计算近似值（S）和（b）。我们首先选择一个简单的双因素模型X=（X，X），dxit=-λi（Xit）- θi）dt+2ηiqXitdWit+dZit，i=1，2，（8.7），其中我们设置i Xiλiθiηiνiui1 0.5000 0.1000 1.5300 0 0.2660 0 02 9.4531 0.0407 0.0591 0.4640 0.0074 0.249936 Z。GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS，和D.Skovmand初始期限结构由零息票率R（T）R（T）=β+β1的Nelson-Siegel参数化构建- E-γTγT+β1.- E-γTγT- E-γT. （8.8）我们将自己的期限限制为两个月，X对应于3个月，X对应于6个月。我们根据以下参数构造初始曲线曲线曲线CurveββγOIS 0.0003 0.01 0.07 0.063m 0.0032 0.01 0.07 0.066m 0.0050 0.01 0.07 0.06特别是，我们使用（8.8）通过表达式LXK（0）=δx构造初始3个月和6个月的伦敦银行同业拆借利率曲线经验(-Rx（Tk-1） Tk-1） 经验(-Rx（Tk）Tk）- 1.,对于x=3m和6m，以及第三个用于构建与systemB（0，Tk）=exp一致的初始OIS曲线-ROIS（Tk）Tk.此外，我们通过以下简单方式构造矩阵uxjand vxjin：k=（uc¨uxk），k=1，Nx（8.9）uxk=uxkδx/δx，k=1，Nx（8.10）vxk=（~vxc-vxk），k=0，Nx- 1（8.11）vxk=（~vxcvxk），k=0，Nx- 1（8.12）和uxNx=uxNx=0，其中¨uxjk，¨vxjk∈ R> 0表示j=1，2。键B（·，4.5）定义了终端测量，因此Nx=18和Nx=9。我们设置uc=0.0065、~vxc=0.007和~vxc=0.0075。然后，可以使用方程（4.4）和（4.6）唯一地确定剩余值，即通过拟合初始项结构。

我们得到了具有多条曲线的仿射LIBOR模型，我们得到了有多条曲线的仿仿射LIBOR模型，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了有多个曲线的，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有0.0010039 0.005132而对于市场，我们可以观察到的序列是CH910.0000.280.009.0000，而对于市场，我们可以观察到的序列是CH910.000280.0010.009.0000.450.009.0000.280.0000.0010.450.0010.280.009.0000.0000.280.0010.450.0000，而对于市场，我们可以观察到的序列是CH910.0010.000280.009.0000.009.0000.0000.0000.280.280.009.0000.009.0000.0000.280.0000.0000.0000；再次参见备注4.5.8.5.1。Swaption近似。让我们考虑一个基于3个月期利率的2年期掉期期权，即第7.1节中p=8和Q=16表示的掉期期权。

我们进行了与第8.3节相同的蒙特卡罗研究，并报告了四种不同打击的结果：打击（K）^S+错误IV（%）IV错误a B0。18.1596 1 1）0 0.0235355 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 1 1 1 1 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2.2144 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10（使用OIS折扣）使用true（7.8）中定义的运动边界错误：=|^S+（K，Tx8,16）-^eS+（K，Tx8,16）|，其中^eS+（K，Tx8,16）表示使用（7.9）中定义的近似行使边界对价格（以基点为单位）进行的估计IV错误=|IV-fIV |，其中fIV表示从^eS+（K，Tx8,16）计算得出的隐含波动率（带OIS贴现）。oA.∈ R和B∈ r确定（7.8）中函数f定义的运动边界的线性近似值：f（y）≈ A+hB，易。应用Singleton和Umantsev（2002年，第432-434页）中的程序，我们首先使用38 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDGaussian近似计算X（1）的上下分位数。我们求解xl和xuinfhqX（1）（0.05），xli= 0和fhqX（1）（0.95），徐= 0.然后，通过拟合直线A+hB，yi=0，通过两点yl=hqX（1）（0.05），xlian和yu=hqX（1）（0.95），xui计算A和B。8.5.2. 基交换近似。让我们也考虑一个2Y2Y基准互换期权。这是一种选择，可以进行基础互换，支付3个月的伦敦银行同业拆借利率加上展期利率，并获得6个月的伦敦银行同业拆借利率，从第2年开始，到第4年结束。