具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、实例和应用

我们再次进行了与第8.4节相当的蒙特卡罗研究，得到了价差^BS+价格误差cD0。0010945 13.778 2.103e-06-7.7191（15.7514）0.0019458 3.7972 4.784e-05-14.0029（15.7694）0.0027971 0.64406 9.364e-05-20.2158（15.7868）0.0036484 0.080951 5.852e-05-26.3597（15.8037），其中o^BS+：=^BS+（S，Tx8,16，Tx4,8）表示使用定义的真实边界点估算价格价格错误：=|^BS+（S，Tx8,16，Tx4,8）-^fBS+（S，Tx8,16，Tx4,8）|，其中类似地，^fBS+（K，Tx8,16，Tx4,8）表示使用（7.18）中定义的近似行使边界对价格（基本点）进行的MC估算C∈ 研发∈ r确定（7.17）中函数g定义的运动边界的线性近似值：g（y）≈ C+hD，易。再次应用相同的程序，我们首先计算X（1）的上分位数和下分位数，并求解xl和xuinghqX（1）（0.05），~xli= 0和ghqX（1）（0.95），~xui= 0.然后，通过拟合直线C+hD，~yi=0，通过两点~~yl=hqX（1）（0.05），~xlian和~~yu=hqX（1）（0.95），~xui计算C和D。这些简单的例子再次强调了第7.1节和第7.2.9节中提出的线性边界近似的准确性。结语和未来研究最后，让我们用一些进一步强调伦敦银行同业拆借利率模型的优点和未来研究的一些主题的评论来结束。考虑以下异国情调的产品：一笔贷款，涉及一个月的名义利率为1美元，结构为T={0=T<T<····<TN}，可选择支付利息。根据以下方案：在T=0时，产品持有人可在一、三、四个月后签订合同支付第一笔利息，或六个月（只要不超过到期日，具有多条曲线的FFINE LIBOR模型）。

接下来，在第一个结算日，持有人可以再次选择一个月、三个月或六个月后（但不超过TN）结算的一个月、三个月或六个月LIBOR。她/他继续工作，直到最后一笔款项在TN结算，并且名义上的款项被退还。显然，在单曲线（危机前）伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）中，该产品在t=0时的价值将为零。然而，在多曲线世界中，该产品的定价非常重要。特别是，这种评估将涉及[Ti，Tj]，0期间任何伦敦银行同业拆借利率的动态≤ 我≤ J≤ Nwhere Tj- 平分一、三或六个月。事实上，本文提出的具有多条曲线的伦敦银行同业拆借利率模型是为这个问题量身定制的，因为它在任何次期限结构上产生了“内部一致”的伦敦银行同业拆借利率和OIS利率。这意味着，对于所有次基期结构，利率具有相同类型的动态，并且在任何前瞻性措施下，驱动过程仍然是有效的。据我们所知，这是文献中唯一一个自然产生这种一致性的多期LIBOR模型，适用于所有不同的时期。然而，该产品定价的全部细节超出了本文的范围。“内部一致性”的特性已经在单曲线模型中有所体现。更准确地说，“经典”伦敦银行间同业拆借利率市场模型中的伦敦银行间同业拆借利率动态是通过基于特定期限结构设定伦敦银行间同业拆借利率系统的“自然”波动结构来确定的。因此，伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）的波动率（例如双周期）很难立即确定，因为它们包含较短周期的伦敦银行同业拆借利率。

相反，在单曲线有效的伦敦银行同业拆借利率模型中，伦敦银行同业拆借利率的动态是通过与不同的基本期限相关的鞅比率来确定的，因此，我们以内部一致的方式同时确定了所有可能的伦敦银行同业拆借利率的动态。然而，这枚硬币的另一面是，正确选择驱动过程，以及对所需的伦敦银行同业拆借利率模型进行有效校准，绝非小事。事实上，这些问题需要开发新的方法，从而提供一个新的研究方向。因此，本文中的校准实验被认为是初步的，只是为了证明具有多条曲线的伦敦银行同业拆借利率模型的潜在灵活性。附录A.终端相关性本附录致力于终端相关性的计算。表达“终端相关性”的含义与Brigo and Mercurio（2006，§6.6）中的相同，即它总结了固定终端时间点两个LIBOR利率之间的依赖程度。在这里，驱动过程是一个整体过程，而不仅仅是第5.4节所述的差异。我们首先介绍一些简写符号Φxk（t）：=φTN-t（vxk-1) - φTN-t（uxk），ψxk（t）：=ψTN-t（vxk-1) - ψTN-t（uxk），Φx，xk，k（t）：=Φxk（t）+Φxk（t），ψx，xk，k（t）：=ψxk（t）+ψxk（t），40 Z.GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS和D.Skovmandk∈ KX和kl∈ kxl表示l=1，2。然后，我们从（4.3）得到1+δxlLxlkl（Ti）=Mvxlkl-1Ti/MuxlklTi=expΦxlkl（钛）+ψxlkl（Ti），XTi, （A.1）对于l=1、2和Ti≤ Txk-1.∨ Txk-1.我们还表示在度量IPNas遵循ΘTi（z）=IEN的情况下，x的矩生成函数呃，XTii= 经验φTi（z）+hψTi（z），Xi.

（A.2）因此我们得到了那个-1Ti/MuxkTii=eΦxk（Ti）ΘTiψxk（Ti）, （A.3）伊恩Mvxk-1Ti/MuxkTi= e2Φxk（Ti）ΘTi2ψxk（Ti）, （A.4）伊恩Mvxk-1Ti/MuxkTi·Mvxk-1Ti/MuxkTi= eΦx，xk，k（Ti）ΘTiψx，xk，k（Ti）. （A.5）在相关性定义中插入上述表达式并进行一些繁琐但简单的计算后，终端相关性的公式如下：Lxk，Lxk（A.1）=CorrMvxk-1Ti/MuxkTi，Mvxk-1Ti/MuxkTi=ΘTiψx，xk，k（Ti）- ΘTiψxk（Ti）ΘTiψxk（Ti）qΘTi2ψxk（Ti）-ΘTiψxk（Ti）qΘTi2ψxk（Ti）-ΘTiψxk（Ti）.参考资料。阿克卡拉。彭博社的OIS贴现和双曲线剥离方法。技术文件，彭博社，2012年。K.阿明和R.贾罗。根据随机利率对外币期权进行定价。《国际货币与金融》，1991年10:310-329。安徒生和皮特堡。利率建模，3卷。大西洋金融出版社，2010年。比安切蒂先生。两条曲线，一个价格。风险，第74-80页，2010年8月。编辑M.比安切蒂和M.莫里尼。金融危机后的利率模型。风险账簿，2013年。T.R.比莱基和M.鲁特科夫斯基。信用风险：建模、估值和对冲。斯普林格，2002年。F.黑色。商品合同的定价。J.Financ。经济。，3:167–179,1976.A.Brace、D.G,atarek和M.Musiela。利率动态的市场模型。数学《金融》，1997年7:127-155。D.布里戈和F.莫丘里奥。利率模型：理论与实践。斯普林格，第二版，2006年。S.Cr\'epey、Z.Grbac和H-N.Nguyen。银行间风险的多曲线HJM模型。数学财务部。经济。，6:155–190, 2012.S.Cr\'epey、Z.Grbac、N.Ngor和D.Skovmand。L’evy HJM多重曲线模型及其在CVA计算中的应用。定量。《金融》，15:401–4192015A。具有多条曲线41S的仿射LIBOR模型。克雷佩、A·麦克里纳、T·M·阮和D·斯科夫曼德。

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Juni 13610623德国柏林电子邮件地址：papapan@math.tu-柏林。deAFFINE LIBOR多曲线模型43 Weierstrass应用分析与随机研究所，德国柏林Mohrenstrasse3910117电子邮件地址：schoenma@wias-柏林。哥本哈根商学院金融系，索尔伯格广场3号，2000弗雷德里克斯堡，登马克电子邮件地址：dgs。fi@cbs.dk