粗糙路径、签名和流上函数的建模

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英文标题：
《Rough paths, Signatures and the modelling of functions on streams》
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作者：
Terry Lyons
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Rough path theory is focused on capturing and making precise the interactions between highly oscillatory and non-linear systems. It draws on the analysis of LC Young and the geometric algebra of KT Chen. The concepts and the uniform estimates, have widespread application and have simplified proofs of basic questions from the large deviation theory and extended Ito\'s theory of SDEs; the recent applications contribute to (Graham) automated recognition of Chinese handwriting and (Hairer) formulation of appropriate SPDEs to model randomly evolving interfaces. At the heart of the mathematics is the challenge of describing a smooth but potentially highly oscillatory and vector valued path $x_{t}$ parsimoniously so as to effectively predict the response of a nonlinear system such as $dy_{t}=f(y_{t})dx_{t}$, $y_{0}=a$. The Signature is a homomorphism from the monoid of paths into the grouplike elements of a closed tensor algebra. It provides a graduated summary of the path $x$. Hambly and Lyons have shown that this non-commutative transform is faithful for paths of bounded variation up to appropriate null modifications. Among paths of bounded variation with given Signature there is always a unique shortest representative. These graduated summaries or features of a path are at the heart of the definition of a rough path; locally they remove the need to look at the fine structure of the path. Taylor\'s theorem explains how any smooth function can, locally, be expressed as a linear combination of certain special functions (monomials based at that point). Coordinate iterated integrals form a more subtle algebra of features that can describe a stream or path in an analogous way; they allow a definition of rough path and a natural linear \"basis\" for functions on streams that can be used for machine learning.
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中文摘要：
粗糙路径理论致力于捕捉和精确描述高度振荡和非线性系统之间的相互作用。它借鉴了LC Young的分析和KT Chen的几何代数。这些概念和统一估计有着广泛的应用，并简化了大偏差理论和伊藤的SDEs理论中基本问题的证明；最近的应用有助于（Graham）自动识别中文笔迹，并（Haier）制定适当的SPDE来模拟随机演变的界面。数学的核心是如何以简洁的方式描述一条光滑但可能高度振荡的向量值路径$x{t}$，以便有效地预测非线性系统的响应，如$dy{t}=f（y{t}）dx{t}$，$y{0}=a$。签名是从路的幺半群到闭张量代数的群元素的同态。它提供了路径$x$的分级摘要。Hambly和Lyons已经证明，这种非交换变换对于有界变化直至适当零修改的路径是可靠的。在给定签名的有界变差路径中，总是有一个唯一的最短代表。这些渐进式总结或路径特征是粗糙路径定义的核心；从局部来看，它们不再需要查看路径的精细结构。泰勒定理解释了任何光滑函数如何在局部表示为某些特殊函数（基于该点的单项式）的线性组合。坐标迭代积分形成了一个更精细的特征代数，可以以类似的方式描述流或路径；它们允许定义粗糙路径，并为可用于机器学习的流函数提供自然的线性“基础”。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Classical Analysis and ODEs        经典分析与颂歌
分类描述：Special functions, orthogonal polynomials, harmonic analysis, ODE\'s, differential relations, calculus of variations, approximations, expansions, asymptotics
特殊函数、正交多项式、调和分析、Ode、微分关系、变分法、逼近、展开、渐近
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Rings and Algebras        环与代数
分类描述：Non-commutative rings and algebras, non-associative algebras, universal algebra and lattice theory, linear algebra, semigroups
非交换环与代数，非结合代数，泛代数与格论，线性代数，半群
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Rough_paths,_Signatures_and_the_modelling_of_functions_on_streams.pdf (928.15 KB)

2022-5-6 05:53:14 上传

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关键词：Mathematical Applications Differential parsimonious Modification

streamsTerry-Lyons上的粗糙路径、签名和函数建模*摘要粗糙路径理论致力于捕捉和精确描述高度振荡和非线性系统之间的相互作用。这些技术特别适用于LC Young的分析和KT Chen的几何代数。概念、理论和统一估计得到了广泛应用；第一次应用对大偏差理论的基本问题进行了简化证明，并大大扩展了伊藤的SDE理论；最近的应用有助于（格雷厄姆）自动识别中文笔迹和（海尔）制定适当的规则，以模拟随机演变的界面。数学的核心是如何简洁地描述一条光滑但可能具有高度振荡和向量值的路径，以便有效地预测非线性系统（如DYT=f（yt）dxt，y=a）的响应。该特征是从路径的幺半群到封闭张量代数的类群元素的同态。它提供了路径x的逐步总结。Hambly和Lyons已经证明，这种非交换变换对于有界变化直至适当零修正的路径是可靠的。在给定签名的边界变异路径中，总是有一个唯一的最短代表。这些渐进式总结或路径特征是定义粗糙路径的核心；在本地，他们不再需要查看路径的详细结构。泰勒定理解释了任何光滑函数如何在局部表示为某些特殊函数（基于该点的单项式）的线性组合。

坐标积分形成了一个更微妙的特征代数，可以用类似的方式描述一条流或路径；它们允许定义粗糙路径，并为可用于机器学习的流函数提供自然的线性“基础”。数学学科分类（2010年）。初级00A05；中学00B10。关键词。粗糙路径，正则结构，机器学习，函数回归，抛物型偏微分方程的数值逼近，舒菲积，张量代数*感谢牛津人学院的支持、ERC高级赠款ESig（协议号291244）提供的支持，尤其是他的同事和学生的贡献，没有他们，这一切都不会发生，此外还有凯利·怀亚特、贾斯汀·夏普、霍雷肖·博迪哈德乔、郝妮和杨丹宇，他们帮助作者完成了他的mss。数据分析是由Gyurko等人引用的论文复制而来，Gyurko Did在分析中，该论文的原始数据可在路透社上获得。2 Terry Lyons内容1路径还是文本？32金融数据或半鞅43路径-简单地无处不在-演化系统54交互系统的简单模型55显著估计（p>1）86对数签名107 ODE方法118走向粗糙路径129坐标迭代积分1410预期签名1511计算预期签名1512签名的特征函数1613矩很复杂1714回归到特征集1715 streams 1916机器学习的明显特征集，1917年业余爱好者首次尝试线性回归到路径法则22从签名学习31。路径还是文本？路径的数学概念包含由连续变量参数化的进化或时序事件序列的概念。

我们对这些物体的数学研究并不鼓励我们广泛地思考发生的巨大范围的“路径”。本次演讲将从分析师的角度出发，我们不希望研究特定的路径，而是希望找到广泛的工具，让我们能够研究各种各样的路径——从捕捉全息的非常“纯”的数学对象到描述金融数据的非常具体的路径。我们的目标是解释过去50年左右我们在有效描述这些路径方面取得的进展，以及这些发展的一些后果。让我们首先注意到，尽管大多数数学家都同意对路径的定义，但大多数数学家对“野外”的各种路径有着相当刻板和有限的想象力。一个关键的观察结果是，在大多数情况下，我们对路径感兴趣，因为它们代表了一些与更广泛的系统相互作用并影响它们的进化。另一个原因是，在大多数标准演示中，内容和影响被锁定在复杂的多维振荡中。图中的路径是一段文本。文本中的每个字符都将ascii编码为一个8位字节，每个字节表示为四个两位字母，每个两位字母表示为一条从中心到正方形四角之一的线（出于视觉原因，该正方形的中心稍微偏移以创建循环）。文本可以很容易地用其他方式表示，可能是不同的字体，每个字符都是位图。每一条溪流在粗粒度上的影响大致相同，尽管细节纹理可能有点不同。4特里·莱昂斯2。金融数据或半鞅序列数据的一个重要来源来自金融市场。

金融市场的一个本质特征是，它们是高维的，但有一个强烈的事件顺序概念。禁止使用未来知识进行购买。大部分信息都与价格有关，应用数学在过去20-30年中取得的重大成功之一来自于通过简单的随机微分方程和半鞅对价格过程的近似，以及对It^o演算的使用。然而，现代市场并不是由简单的定价过程来代表的。大多数订单发生在交易所，那里有大量的出价、出价，交易也不太常见。市场中的许多活动都与做市和提供流动性有关；发布到市场上的决定是基于对行为模式的预期，大多数决定都与任何基本价值观相去甚远。如果一个人对输入代码中有错误的交易者感兴趣，或者理解如何在没有额外费用的情况下交易一个更大的订单，那么半鞅模型有一个错误的焦点。79.579.5279.5479.5679.5879.679.6279.6479.661122334455667788910011111221331441551661771881992102212322432542652762872983093203313423533675386397408419430441452463474485496价格勾500勾买入卖出最后一次成交价格来源：2012年的QuantHouse（www.QuantHouse.com）石油期货图1。一级订单数据的快照图1中的数据是一级订单的快照，显示了石油期货市场在500次变动（大约15分钟）后的活跃程度。人们可以看到出价和价格的变化，尽管交易发生（以及最后执行的价格变化）的频率要低得多。价格的半鞅模型是否能有效地捕捉这种丰富的结构是值得怀疑的。从签名中学习53。

路径——简单地说是无处不在——进化系统在形式上，流是从完全有序的集合I到某个状态空间的映射γ，我们对该流实现的效果（或状态转换）感兴趣。正如我们所注意到的，同一信息流可以接受不同的表述和不同的细节。当全序集I是一个区间且存在合理的路径属性（例如右连续性）时，我们将该流称为路径。尽管如此，许多有趣的流都是独立的和离散的。有一些规范且信息丰富的方法可以将它们转换为连续路径[10]。值得注意的是，即使在这个抽象的层次上，也存在应用于流的自然数学运算和不变性。人们可以重新参数化研究水流的速度，同时重新参数化研究效果的速度。可以将一条流拆分为两个或多个段（副产品）。可以对流进行子采样。一般来说，我们将重点关注以这种子采样方式呈现的流，这些子采样会逐渐降低流中的信息。如果完全有序的集合I，I可以被交错，人们也可以根据离散流的时间戳来合并或交错离散流。所有这些属性都是为完全有序集的属性继承的。如果目标“效应”或状态空间是线性的，那么也有机会转换并连接流或路径[15]，从而获得更丰富的代数结构。关于流，人们可以问的最有趣、最重要的经济问题之一是如何总结（扔掉不相关的信息），以便简洁地捕捉其影响。

我们在表1中给出了几个例子。文本学童精准音频工程师忠实感知网页搜索提供商对读者的兴趣网页点击历史广告商有效广告投放布朗路径数值分析有效模拟粗糙路径分析师RDEsTable 1。举例说明在保持印象的情况下总结流。实际上，非常令人惊讶的是，在这个问题上，人们可以做一些有用的工作，而这并不取决于河流或路径的性质。4.一个交互系统的简单模型我们现在关注一个非常特殊的框架，其中流从一个实区间映射到一个Banach空间，我们将直观地称之为时域，我们将称之为状态空间。我们将在不连续的时间内处理连续路径，但正如我们所提到的，有一些规范的方法可以使用Hoff流程和财务环境将离散的Terry Lyonstick风格的数据嵌入到这个框架中。这一点很重要。还有一个更一般的理论是关于跳跃路径的[Williams，Simon].4.1。受控微分方程。路径是一个区间J=[J]的映射γ-, J+]进入Banach空间E。E的维数很可能是有限的，但我们考虑了它不是有限的可能性。它有界（p-）变量fsup。。。ui<ui+1。。。∈[J]-,J+]Xiγui+1- γu< ∞啜饮。。。ui<ui+1。。。∈[J]-,J+]Xiγui+1- γup<∞p在哪里≥ 1在我们的上下文中，路径γ控制着系统，我们感兴趣的是由y测量的其影响，以及γ和y之间的相互作用。可以使用粗糙路径理论来处理自治和“粗糙”系统的内部相互作用，一个确定性McKeanVlasov类型的具体例子是[4]。另外，需要有一个空间F来承载系统的状态和一系列不同的进化方式。

我们通过空间表示F上的动力学Ohm （F）F上的向量场。每个向量场为国家的发展提供了不同的方式。我们通过线性mapV:Elinear将F中的状态演化的势与控制γ联系起来→ Ohm （F）。我们马上就能看到受控微分方程Dyt=V（yt）dγt，yJ-= aπJyJ-: = yJ+提供了一个精确的框架，允许系统y根据动力学V响应γ。我们称这种系统为受控微分方程。受控微分方程的模型是一个很好的模型。可以定位许多不同类型的对象，以满足定义。除了更明显的应用示例外，人们还可以将有限自动机（在计算机科学意义上）和沿连接提升路径的几何概念视为生成示例。控制微分方程的某些显然微不足道的性质以及控制微分方程的路径；尽管如此，它们在结构上是必不可少的，所以我们现在提到它们。引理4.1（重新参数化）。如果τ：I→ J是一个递增同胚，ifdyt=V（yt）dγt，yJ-= a、 然后，重新参数化的控制产生重新参数化的效果：dyτ（t）=Vyτ（t）dγτ（t），yτ（I-)= a、 从签名学习引理4.2（拆分）。让πJbe表示捕获γ|J变换效应的微分同态∈ J.然后πjc可以通过合成微分方程π[J]来恢复-,t] ，π[t，J+]与在t处拆分区间J并考虑γ|[J]的影响有关-,t] 和γ|[t，J+]分别为：π[t，J+]π[J]-,t] =πJ。通过这种方式，我们可以看到，假设向量场足够光滑，可以唯一且始终地解微分方程，受控微分方程是从路径的幺半群连接到状态空间的微分同态/变换的同态。

通过让π充当函数的运算器，我们可以看到，V的每一个选择都定义了ERemark 4.3（子采样）中路径单纯形的表示。尽管亚采样有很好的表现，它有效地捕获并量化了这些方程的数值分析，但它更微妙，我们在这里没有明确说明。备注4.4。固定V，将γ限制为[0,1]上的光滑路径，并考虑y=a的解y，一般来说，一致拓扑中对集（γ，y）的闭包不是映射图；γ → y是不可闭合的，因此不能很好地定义为连续路径空间中的一个（甚至是一个无界和不连续的）函数。不同的近似值会导致对解决方案的不同看法。4.2. 线性受控微分方程。如果控制γ是固定且平滑的，状态空间是线性的，所有向量场都是线性的，那么响应空间y，随着起始位置a的变化，是一个线性空间，π[S，T]：a=yS→ 这是一个线性自同构。这个例子本质上是Cartan把李代数中的一条路发展为从恒等式开始的李群中的一条路。从我们的观点来看，这是受控微分方程的一个非常重要的特例；它揭示了我们在本文中要讨论的关键对象之一。假设F是Banach空间，a是线性映射E→ HomR（F，F）和γ是E中的一条路径。考虑线性微分方程Dyt=Aytdγt。通过使用Picard迭代进行迭代，得到一个+=∞Xn=0AnZ·ZJ-≤U≤...≤联合国≤J+dγu . . .  dγunγ在区间J=[J]上的特征-, J+]定义4.5。区间J=[J]上有界变差路径（或更一般的弱几何p-粗路径）γ的签名S-, J+]是张量8 Terry Lyons序列（γ| J）：=∞Xn=0Z·Zu≤...≤联合国∈Jndγu . . .

dγun∈∞Mn=0EnIt有时写为S（γ）Jor S（γ）J-,J+。引理4.6。路径t→ S（γ）0，t解出一个由γ控制的线性微分方程。证据这个方程是通用的非交换指数：dS0，t=S0，t dγt.S0,0=1任何线性方程的解都很容易用符号YT=AytdγtyJ表示+=∞桑斯尼！yJ-（1） πJ=∞XAnSnJand我们将在接下来的几节中看到，这个级数收敛得非常好，即使S中的前几个术语在描述Y的反应时是有效的，从而导致γ| J→ S（γ| J）是一个具有一定值的变换。用S来描述线性受控微分方程的解至少可以追溯到陈和费曼。神奇的是，人们可以在不详细了解γ或A.5的情况下估计这些级数（1）收敛的误差。值得注意的估计（p>1）人们应该能够识别和提取描述γ的有限特征序列或系数，以便在不详细了解系统a或路径γ的情况下，准确预测其对广泛不同系统的影响，这似乎很奇怪，甚至违反直觉。但事实就是这样，有一些简单的统一估计可以完全基于控制的长度（或者更一般地说是粗糙路径变化）和A的范数（作为从E到F上线性向量场的映射）来证明序列（1）的收敛性。从引理5.1中学习。如果γ是长度为|γJ |<∞, 然后snj:=Z··Zu≤...≤联合国∈Jndγu . . .  dγun≤|γJ | nn！给出统一的误差控制yJ+-N-1XAnZ·ZJ-≤U≤...≤联合国≤J+dγu . . .  dγuny≤∞Xn=NkAkn |γJ | nn！！基克。证据由于路径的特征总是求解特征微分方程，因此可以在不改变γ特征的情况下重新参数化路径γ。