路径扩散，第一部分

在多维情况下，状态x（t）连接到许多其他状态x（t+h）=x+jx、 定义j（t，x）=P[x（t+h）=x+jx、 x（t）=x]，对于j=。。。，-1, 0, 1, ...作为关节速度和位置概率的集合（1.1）。推广（1.3）概率为x（t+h）=x并步进到x+k从x（t）=x+j移动后t+h处的xx在t- h等于ωjk（t，x）=Pt[x+jx、 x，x+kx] 路径扩散，第一部分，pjωjk=1。然后（1.2）的等价物减少到qj（t+h，x）=Xkωjkqk（t，x- Kx） （5.1）对于j，k=。。。，-1, 0, 1, .... 这意味着qj（t，x）是处于位置xt=x并使步长j的联合分布x、 j=。。。，-1，0，1。。。。注意，这意味着粒子的速度为vj=jx/h=jc，j=。。。，-1, 0, 1, ....因此，Pjqj（t，x）=ρ（t，x）是存在于x中的粒子的边际概率，因此将（5.1）中的方程相加，得到ρ（t+h，x）=Xjqj（t+h，x），因此xnρ（t+h，nx） =XnXjqj（t，x- Nx） =XjXnqj（t，x- Nx） =Xjqj（t，x）=1表明状态概率守恒。为了建立一个方程，我们现在假设ω矩阵变成一个类似于α，β3的速率。替换ωjk→ δjk+hωjk然后方程（5.1）变成qj（t+h，x）=Xk（δjk+hωjk）qk（t，x- Kx） （5.2）对于所有适当的指数j=。。。，-1, 0, 1, ....

ωjk是一个速率矩阵，它的所有有效对角元素都有正值，而Pjωjk=0的对角元素都有负值。将其应用于等式（5.1），展开小项x和writeqj（t+h，x）=Xk（δjk+ωjkh）qk（t，x）- K十、xqk（t，x）其中Pjωjk=0，对于所有k.保留主要项，则yieldsqj（t+h，x）- qj（t，x）=hXkωjkqk（t，x）- J十、xqj（t，x）等最终处于极限tqj（t，x）+vjxqj（t，x）=Xkωjkqk（t，x），j=。。。，-1, 0, 1, ...（5.3）vj=jx/h如上所述，其中vjh和hch这两个术语可以忽略，因为它们的数量级较小。这是一组耦合的平流方程。22约翰·G·B·贝美+克里斯·科马克+曼尼什·帕特尔+佩曼·科尔桑德速度，向前。平均速度v（t，x）的定义直接从方程（3.9）v（t，x）=Pjvjqj（t，x）ρ（t，x）=Cpjqj（t，x）ρ（t，x）（5.4）转换而来，这也意味着xjvqj（t，x）=v（t，x）ρ（t，x）。注意这里我们使用定义x/h=c。利用这个方程，很明显tρ（t，x）+xxvjqjt（x）=0所以tρ（t，x）+x（v（t，x）ρ（t，x））=0。（5.5）该方程为连续性方程，适用于任何分布，无论速度vk、模型尺寸或其他选择如何。剩下的模型取决于ω的选择，对于某些矩阵配置，我们可以模拟牛顿系统。定理5.1。让（5.3）中的概率矩阵等于=...α 0 0β -λ α 00 β -λ α0 0 β -λ0 0 0 βλ=α+β和letα- β=c五、x（5.6）那么tE[x（t）]=E五、十、所以粒子的平均运动遵循牛顿方程。证据考虑方程（5.3）的每速度分布，并用Vk乘以每行。

然后对方程求和得到TXJVQJT（x）+xXjvjqjt（x）=Xjkvjωjkqk（t，x）路径扩散，第一部分23与方程w=...α 0 0β -(α + β) α 00 β -(α + β) α0 0 β -(α + β)0 0 0 β.以vk=k为例那么对于所有的k，我们有xjvjωjk=Xjcjωjk=c（α（k- 1) - （α+β）k+β（k+1））=-c（α）- β) = -五、xa结果是等式（5.5）的右侧发生变化TXJVQJT（x）+xxvjqjt（x）=-Cρ（t，x）=-五、xρ（t，x）或使用连续性方程（5.5）我们发现t（v（t，x）ρ（t，x））+xxvjqjt（x）=-五、xρ（t，x）。注意，第二项是x中的状态导数，所以这个项上的平均值——积分覆盖x消失。因此现在tE[x（t）]=tZ∞-∞十、ρ（t，x）tdx=tZ∞-∞-十、v（t，x）ρ（t，x）xdx=tZ∞-∞v（t，x）ρ（t，x）dx=-cZ∞-∞Xjkvjωjkqk（t，x）dx=Z∞-∞Xk五、xqk（t，x）！dx=Z∞-∞五、xρ（t，x）dx=E五、十、.注意，在这个例子中，α和β的选择没有唯一性。交易矩阵的实际形式尚不清楚，这些参数依赖于潜力的实际形式令人惊讶。在这个例子之后，让我们来看看方程（5.3）中嵌入的能量，以及速率选择（5.6）。24约翰·G·B·贝美+克里斯·科马克+曼尼什·帕特尔+佩曼·霍尔桑德定理5.2。使用定理5.1中定义的概率矩阵和（5.3）中的势定义xvjqj（t，x）=zxvqj（t，x）dx是粒子的平均动能TExvjqj（t，x）dx+E[V]=c（α+β）。证据

再次使用（5.3）将每一行乘以vk=kC，并对方程求和，得到TXJVQJT（x）+xXjvjqjt（x）=Xjkvjωjkqk（t，x）。以vk=kc为例，那么对于我们所有的k，xjvjωjk=Xjcjωjk=cα（k）- 1)- （α+β）k+β（k+1）= -2kc（α）- β） +c（α+β）=-2ck五、x+c（α+β）那么TXJVQJT（x）+xxvjqjt（x）=Xk-2ck五、x+c（α+β）qk（t，x）=-2c五、xXkkqk（t，x）+c（α+β）ρ（t，x）=-2.五、xv（t，x）ρ（t，x）+c（α+β）ρ（t，x）。现在请注意tE[V]=tZVρ（t，x）dx=ZVtρ（t，x）dx=-ZVx（v（t，x）ρ（t，x））dx=Z五、xv（t，x）ρ（t，x）dx。注意到部分x项消失，所以ztXjvjqjt（x）dx+Z五、xv（t，x）ρ（t，x）dx=c（α+β）Zρ（t，x）dxorTEXJVQJT（x）dx+E[V]=c（α+β）。路径扩散，第一部分25因此，系统中定义的能量以（α+β）c/2的速率蒸发，这取决于系统的选择，只要α和β之间的差异与电势的差异成正比。速率参数的逻辑选择为α=θ+2c五、xβ=θ-2c五、X目前假定：2c五、十、<< θ.在这种情况下（α+β）c/2=θc。将该选项替换为（5.3）以代替ω矩阵，使其变为ωw=θ-2 11 -2.-2 11 -2.+2c五、十、-五、十、五、十、-五、十、五、十、-五、十、= θeD+2ceΓ对NxN大小的对称矩阵和等大小的反对称矩阵Γ有明显的定义。因此tqj（t，x）+vjxqj（t，x）=XkθeDjk+2ceΓjkqk（t，x），j=-N-1, 0, 1, ..., 对于上述对称和反对称矩阵。注意，在这种情况下，方程式的大小被限制为2N+1。更简洁的形式，速度。可以将原始方程的大小减少一定量，尽管这可能不利于转换矩阵的简单性。定理5.3。

设ψj（t，x）=Hj（t）qj（t，x）=evjtxqj（t，x）（5.7）和Hj（t）是翻译运算符Hj（t）=evjtxj=。。。，-1, 0, 1, ...（5.8）对于所有速度vj，j=。。。，-1，0，1。。。。然后tψj（t，x）=XkHj（t）ωjkH-1k（t）ψk（t，x）26约翰·G·B·贝美+克里斯·科马克+曼尼什·帕特尔+佩曼·霍尔桑德其中hj（t）ωjkH-1k（t）=evjtxωjke-vktxf对于j的所有组合，k=。。。，-1, 0, 1, .....证据使用等式（5.7）和运算符（5.8），可以将（5.3）的第一部分写成tqj（t，x）+vjxqj（t，x）=H-1j（t）tHj（t）qj（t，x），j=。。。，-1, 0, 1, ...其中Hj（t）是翻译运算符Hj（t）=evjtxj=。。。，-1, 0, 1, ...对于所有速度vj，j=。。。，-1, 0, 1, ....此运算符转换函数中的参数，因为对于任何测试函数f=f（t，x）Hj（t）f（t，x）=f（t+vjt，t）。j=。。。，-1, 0, 1, ...AlsoHj（t）Hk（t）=Hk（t）Hj（t），j=。。。，-1, 0, 1, ...H-1j（t）=e-vjtx、 j=。。。，-1, 0, 1, ...tHj（t）=vjxHj（t）=vjHj（t）x、 j=。。。，-1, 0, 1, ...将其应用于等式（5.3）的产量tHj（t）qj（t，x）=XkHj（t）ωjkH-1k（t）Hk（t）qk（t，x）相当于tψj（t，x）=XkHj（t）ωjkH-1k（t）ψk（t，x），其中ψj（t，x）=Hj（t）qj（t，x）=evjtxqj（t，x）。另一个元素是本例中的能量流。定理5.4。在这种情况下，at（x）=limh↓0v（t，x）- 五、-（t，x）h=-C（t，x）其中v（t，x）和v-（t，x）是系统中向前和向后的能量。证据要找到（3.11）的等价物，请考虑（5.1）的小h限值。反转（5.2）至getqk（t- h、 x- vkh）=Xj（δjk+hωjk）-1qj（t，x）（5.9）路径扩散，第I部分27对于k=。。。，-1, 0, 1, ....

h+jkω可以写成（h+jkω）-1（I+hω）=对于小h（I+hω）I和so-1.≈ 我- hω。诺夫-（t，x）=XjvjP[x（t）- h） =x- Jx | xt=x]orv-（t，x）=xJVQ+（t- h、 x- Jx） ρ（t，x）=xvjxk（δjk+hωjk）-1qk（t，x）ρ（t，x）≈XjvjXk（δjk）- hωjk）qk（t，x）ρ（t，x）≈Xjvjqj（t，x）- hPkωjkqk（t，x）ρ（t，x）≈xjvqj（t，x）ρ（t，x）- hPjkvjωjkqk（t，x）ρ（t，x）=v（t，x）+hc因此，通过节点状态x的加速度可以定义为asa（t，x）=v（t，x）- 五、-（t，x）h=-C.有趣的是，在更多的维度上，逆速度是定理3.2.6中导出的表达式的简化。结论第1节显示了单步二元过程的位置（状态）分布，假设节点网格上的速度而不是状态过程是马尔可夫的。结果是一组与速率矩阵相关的联合速度分布。最终分布可能显示原始速度信息，对于足够小的速率和相对较小的初始密度，将原始条件传输到最终分布中。如数值示例所示，如果初始分布变宽且速率增加，28 JOHAN G.B.BEUMEE+CHRIS CORMACK+MANISH PATEL+PEYMAN KHORSAND分布集中在单峰分布中的概率漂移周围。另一方面，对于非常小的速率和非常集中的初始分布，最终密度显示出变化。对于更小的网格和恒定速率，概率方程收敛为状态点处每个速度的双曲函数的相关概率集。二维情况可以转化为状态密度的电报方程，如果跃迁速率不变，可以转化为克莱因-戈登方程。