扩散过程的逆最优停止问题

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英文标题：
《An inverse optimal stopping problem for diffusion processes》
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作者：
Thomas Kruse and Philipp Strack
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Let $X$ be a one-dimensional diffusion and let $g\\colon[0,T]\\times\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ be a payoff function depending on time and the value of $X$. The paper analyzes the inverse optimal stopping problem of finding a time-dependent function $\\pi:[0,T]\\to\\mathbb{R}$ such that a given stopping time $\\tau^{\\star}$ is a solution of the stopping problem $\\sup_{\\tau}\\mathbb{E}\\left[g(\\tau,X_{\\tau})+\\pi(\\tau)\\right]\\,.$ Under regularity and monotonicity conditions, there exists a solution $\\pi$ if and only if $\\tau^{\\star}$ is the first time when $X$ exceeds a time-dependent barrier $b$, i.e. $\\tau^{\\star}=\\inf\\left\\{ t\\ge0\\,|\\,X_{t}\\ge b(t)\\right\\} \\,.$ We prove uniqueness of the solution $\\pi$ and derive a closed form representation. The representation is based on an auxiliary process which is a version of the original diffusion $X$ reflected at $b$ towards the continuation region. The results lead to a new integral equation characterizing the stopping boundary $b$ of the stopping problem $\\sup_{\\tau}\\mathbb{E}\\left[g(\\tau,X_{\\tau})\\right]$.
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中文摘要：
设$X$为一维扩散，并设$g\\colon[0，T]\\times\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$为一个支付函数，具体取决于时间和$X$的值。本文分析了求含时函数$\\pi:[0，T]\\to\\mathbb{R}$的逆最优停止问题，使得给定的停止时间$\\tau^{\\star}$是停止问题$\\sup_{\\tau}\\mathbb{E}\\left[g（\\tau，X_{\\tau}）+\\pi（\\tau\\right]\\，.$在正则性和单调性条件下，存在一个解$\\pi$当且仅当$\\tau^{\\star}$是第一次当$X$超过一个与时间有关的势垒$b$时，即$\\tau^{\\star}=\\inf\\left\\{t\\ge0\\，|X{t}\\ge b（t）\\ right\\\\，.$我们证明了解$\\pi$的唯一性，并导出了一个闭式表示。该表示基于一个辅助过程，该过程是原始扩散$X$的一个版本，反映为朝向延续区域的$b$。结果导出了一个新的积分方程，它刻画了停止问题$\\sup_{\\tau}\\mathbb{E}\\left[g（\\tau，X_{\\tau}）\\right]$的停止边界$b$。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：扩散过程 Presentation Continuation Optimization Applications

扩散过程的逆最优停止问题2017年8月8日Thomas KRUSE和PHILIPP STRACKAbstract。设X为一维微分，g:[0，T]×R→ 与纸上时间相关的函数：【纸上时间相关的函数：】→ R使得给定的停止时间τ是停止问题supτE[g（τ，Xτ）+π（τ）]的解。在正则性和单调性条件下，存在一个解π当且仅当τ是X第一次超过依赖时间的bar rier b，即τ= inf{t≥ 0 | Xt≥ b（t）}。我们证明了解π的唯一性，并导出了一个闭式表示。该表示基于一个辅助过程，该过程是在b向延续区域反射的原始扩散的一个版本。所得结果推广到一个新的积分方程，它刻画了停止问题supτE[g（τ，Xτ）]的停止边界b。关键词：最优停止、反映的随机过程、动态机制设计、动态可实施性，MSC 2010:91B02、91A60、60G40、62L15简介最优停止在经济、统计和金融领域的动态优化应用中无处不在。例如，选项的最佳练习时间、何时停止搜索以及最快的检测问题。解决马尔可夫模型中最优停止问题的一种方法是确定停止区域。然后给出最佳停车时间，作为停车区域的第一次击球时间。托马斯·克鲁斯，杜伊斯堡-埃森大学，西娅-埃曼街9号，45127埃森，德国。电子邮件：托马斯。kruse@uni-到期。判定元件；Philipp Strack，加州大学伯克利分校，513埃文斯厅，伯克利，94720加利福尼亚州，美国。

网状物：http://www.philippstrack.com，电邮：philipp。strack@gmail.com.We感谢Stefan Ankirchner、Dirk Bergemann、Paul Heidhues、David Hobs on、MoniqueJeanblanc、Daniel Kr¨ahmer、Benny Moldovanu、Jen¨o P¨al、Goran Peskir、Sven Rady、Albert Shiryaev、JuusoToikka以及奥斯汀、波恩、胡柏林、伯克利、比勒菲尔德、波士顿、加州理工学院、哥伦比亚、杜克、哈佛、马斯特里赫特、微软研究院、麻省理工学院理论营、西北大学、纽约大学、，巴黎埃弗里大学、多伦多大学、伦敦大学学院、厄本大学、华威大学、耶鲁大学提供了许多有益的意见和建议。剩下的错误都是我们自己的。感谢波恩经济研究生院、波恩国际数学研究生院、德国研究基金会（DFG）、豪斯多夫数学中心、SFB TR 15 a和法国银行联合会通过“市场转型”主席提供的财政支持。最优停止的许多应用自然会导致一个问题，即如何改变支付，使给定的停止规则成为最优。从数学上讲，这个逆时间停止问题包括修改停止问题的结果，当给定集合被击中时，它可以选择在第一时间停止。在许多经济应用中，信息约束进一步限制了允许的修改集，即在原始支付中增加一个时间相关函数，即独立于过程实现的转移。为了验证想法，考虑连续时间、有限时间最优停止问题supτ∈TE[g（τ，Xτ）]，其中T是具有[0，T]中的值的停止时间集，X是一维微分，g是光滑的支付函数。

一个确定性函数π：[0，T]→ R被称为转移。我们说一套 [0，T]×R由转移π实现，如果第一时间τa当Xhits a在payoff g+π的停止问题中是最优的，即如果（1）τa∈ arg supτ∈TE[g（τ，Xτ）+π（τ）]。逆最优停止问题在不同的经济情况下发挥着重要作用。一个例子是动态委托代理模型：有一个代理人私下观察随机过程X，并以最大化其预期收益为目标∈TE[g（τ，Xτ）]停止该过程。委托人观察代理的停止决定，但不观察过程的实现。她旨在引导代理人做出由命中时间τa给出的特定停止决定。为了影响代理人的停止决定，委托人承诺支付π-在代理人停止时到期的付款。主体需要构造转移π，使τ在修正的停止问题supτ中达到最优∈TE[g（τ，Xτ）+π（τ）]。例如，代理商可能是一家开发了新技术的公司，现在必须决定何时将其引入市场。该公司观察有关需求的私人信号，这种知识会随着时间的推移而变化。校长是一名社会规划师，他还考虑到新技术的消费者剩余，因此更喜欢与企业不同的停止决策。

逆最优停止问题分析了规划者如何通过转移补贴进入市场来降低企业偏好的问题（具体示例见第1.1小节）。逆最优停止问题的其他经济例子包括失业福利的设计（1970）、Hopenhayn和Nicolini（1997）、管理补偿的结构、ir可逆投资期权的出售（207），以及搜索理论中的审议成本推断Drugowitsch等人（2012）、Fudenberg等人（2015）。第1节给出了两个更具体的例子。关于进一步的经济示例和收入管理的应用，我们参考了toKruse和Strack（2015），其中在离散时间框架中引入了逆时间停止问题。主要结果（定理11）表明，所有切割区域A={（t，x）|x≥ b（t）}是可实现的，前提是边界b是c`adl`ag并且具有可求和的向下跳跃。此外，我们假设满足所谓的单交叉条件。它要求等待一小段时间的预期收益在过程X的值中不增加。形式上，我们假设函数（2）X 7→ 林0hEg（t+h，Xt，Xt+h）- g（t，x）= (t+L）g（t，x）是非递增的，其中L表示扩散x的发生器。

此外，我们还证明了实现截面积A={（t，x）|x的解π≥ b（t）}允许以下闭式表示（3）π（t）=EZTt(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds.这里（~Xt，b（t）s）s≥t表示从时间t开始的独特过程，其结果是在屏障（b（s））s处反映原始过程X∈[t，t]远离A。如inKotlow（1973）、Jacka和Lynn（1992）和Villeneuve（2007）所示，单交叉条件（或其较弱的版本）确保了形式v（t，x）=supτ的停止问题中的停止区域∈Tt，TE[g（τ，Xt，xτ）]为剪切型，即存在载体b:[0，T]→ R这样x≥ b（t）当且仅当v（t，x）=g（t，x）。在命题7中，我们展示了这个结果如何转化为可实现的区域。我们为集合A引入严格可实现性的概念 [0，T]×R，其中我们额外要求A与问题（1）的停止区域重合。提案7规定，在单交叉条件下，只有切断区域是严格可执行的。此外，我们还证明，如果等式（2）中的单调性是严格的，那么具有可和向下跳跃的c`adl`ag障碍的割域是严格可实现的（推论12）。通过这种方式，严格可实现区域的以下特征支持了右连续性和可求和向下跳跃的假设：一个区域只有在其为截断类型时才严格可实现。此外，在一个加性常数之前，实现切割区域的转移是唯一的（定理15）。这个结果导致了最优停止边界的一个新特征（推论16）。如果集合a的第一次击中时间τao在停止问题supτ中是最优的∈TE[g（τ，Xτ）]然后通过零转移实现A。转让的唯一性意味着（4）EZTt(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds= 尽管如此∈ [0，T]。

值得注意的是，非线性积分方程（4）不仅是必要的，而且对优化是有效的。在第5节中，我们讨论了积分方程与inKim（1990）、Jacka（1991）和Carr等人（1992）（另见Peskir和Shiryaev（2006a））的关系。论文的结构如下。第1节给出了逆最优停止问题的具体例子。在第二节中，我们建立了模型，并引入了可实现性的概念。在第3节中，我们展示了只有切割区域是严格可执行的。第四节专门讨论相反的含义。首先，我们介绍了反射过程，并正式推导了转移的表示（3）（第4.1小节）。第4.2小节包含有关削减区域可实施性的主要结果。在第4.3小节中，我们在第4小节中介绍了转让的主要性质。4.我们提供唯一性结果。在第五节中，我们推导并讨论积分方程（4）。激励性的例子1。1.为投资前景未知的项目提供激励。单个代理人（或公司）可以投资价值未知的项目∈ R.项目的价值（或预期未来收益）θ∈ R不是均值x和方差σ的正态分布。代理人通过观察信号（或支付）（Zt）了解项目随时间的价值，该信号是布朗运动（Wt）（独立于θ）加上漂移，等于项目的真实回报dzt=θdt+dWt。当代理人在时间τ投资该项目时，他会收到按其投资时间e贴现的价值-rτθ。代理的问题是找到适应F=（Ft）t的停止时间≥0（Z的自然过滤）求解supτE[E-rτθ]。

如果我们将代理人分配给项目的后验期望值表示为byXt=E[θ| Ft]，则替代期望定律意味着该问题等价于上τEE-rτXτ.众所周知（参见定理10.1 inLiptser和Shiryaev（2013）），在看到信号（Zs）后≤t代理人对项目价值的信念正态分布，方差σt=σ-2+tand平均值Xt=σt（Xσ-2+Zt），并且存在一个横向运动Bt（在F中），因此dxt=σtdBt。因此，代理的学习和投资问题相当于停止扩散X的问题。由于问题在（t，X）中是马尔可夫的，等待投资的回报在Xt中减少，因此，最优解决方案是，一旦项目Xt的预期价值超过依赖时间的阈值bτ=inf{t:Xt，就进行投资≥ b（t）}。例如，投资一个项目的决定可能相当于将一种新产品推向市场。在许多此类投资情况下，企业的投资激励与社会的激励并不一致。例如，一家制药企业如果根据治疗的可行性做出投资决策，而忽略了药物供应所产生的消费者盈余，就会投资得太晚、太少。为了降低这种效率，政府可以对新项目使用补贴（和税收），这取决于企业投资并将项目推向市场的时间。例如，在图1中，虚线显示了投资阈值b:[0，T]→ 未经转让的最终投资。假设政府希望企业更早地投资，例如，当企业对投资价值X的信心超过bπ[0，T]时→ R、 bπ（t）=0.5√T- T

在下面的第4节中，我们通过使用转移π[0，T]证明了这对政府是可能的→ R.图1左侧的实线描绘了这种转移。1.2. 委托代理框架中最快速的变更点检测。最快检测问题在数理统计中发挥着重要作用，是质量控制、流行病学和地质学等应用科学中许多模型的关键依据（参见Shiryaev（2007年第四章），Peskir和Shiryaev（第四章，第222006b节）以及M¨uller和Siegmund（1994年）关于计算和具体应用问题的历史记录）。作为一种经济动机，考虑一下风险投资家和创业者。创业者观察到一个信息性信号，即它是否仍然适合经营企业。风险资本家通常无法观察到这些信息，因为他对特定市场一无所知。为公司融资的风险资本家希望在60%确定公司无法盈利后停止运营。创业者可能更愿意把公司经营得更长，因为这样做会给他带来私人利益。风险投资行业的一个重要问题是如何设计补偿方案，使企业家的利益与风险资本家的利益相一致。另见下文命题7。这里我们从委托代理的角度考虑维纳过程最快检测问题的一个变体。对于单剂最快检测问题的公式，我们密切关注Gapeev和Peskir（2006）。在有限时间区间[0，T]上有一个代理观察一维布朗运动X的路径，它在某个随机时间θ从0漂移到u6=0。随机m时间θ与X无关，且随参数λ呈指数分布∈ (0, ∞).

代理不观察θ，但必须从X的连续观察中推断关于θ的信息。代理的目标是找到尽可能接近θ的X的停止时间。更正式地说，对于c∈ (0, ∞)该代理的目标是找到一个[0，T]值的停止时间τ，该时间τ与X生成的过滤fx有关，该过滤fx达到最小inf0≤τ≤ TP[τ≤ θ] +c E(τ - θ)+.如inGapeev和Peskir（2006）所示，这相当于解决inf0中的停车问题（5）≤τ≤ TE1.- pτ+cZτptdt= 1.- sup0≤τ≤ TEZτλ- （c+λ）ptdt,流程满足所有t∈ [0，T]thatdpt=λ（1）- pt）dt+upt（1- pt）dWt，p=0，其中W是标准布朗运动。这一过程满足了所有人的需求∈ [0，T]thatpt=Pθ ≤ t | FXt这样描述了每一次∈ [0，T]后验信念θ是否已经发生。现在假设有一个委托人既不观测X也不观测θ，但在代理停止时不被观测。校长的目标是构造一个转移π：[0，T]→ 当后验信度p超过阈值水平（比如60%）时，委托人在T之前第一次被告知。从下面第4节的结果可以看出，这是可能的（尤其是流量支付7→ λ - （5）中的（c+λ）p是一个递减函数，参见条件4）。图1的右侧显示了这样一种转移π1.3。设计美式选项。我们的第三个例子考虑了美国选项的设计。美式期权赋予持有人在给定时间范围内以预定价格接收公司股票的权利，但没有义务。行使这种期权的最佳时间关键取决于对未来股价的预期。美式期权通常被用作管理报酬。