G\“{a}rtner-Ellis定理、均匀化和仿射过程

然后存在一个常数γa>0，取决于a的集合a，即→ 0，p（A）≥ 经验(-Λ(0)*（x） +u*（x） （十）- A.-)）expn∧（1）（u）*（x） ）o×1.- 扩展-γAo1+∧（2）（u）*（x） ）+O（）. （2.32）（ii）如果x<∧（0）（0），则为→ 0，G¨ARTNER-ELLIS定理，均匀化和仿射过程9p（A）≥ 经验(-Λ(0)*（x） +| u*（x） |（a）+- x） ）expn∧（1）（u）*（x） ）o×1.- 扩展-γAo1+∧（2）（u）*（x） ）+O（）. （2.33）常数γAin（2.33）与（2.32）中的相同，且（2.32）和（2.33）中的大O估计值相对于x是一致的∈ A.备注2.10。请注意，在lim sup中执行转换→0log p（A）在定理2.7中的上估计中，我们得到了任意有界Borel集A的大偏差原理中的上估计。这比G¨artner-Ellis定理中的上估计稍微多一些。然而，我们不应该忘记公式（2.30）是在比盖特纳·埃利斯·提奥·雷姆定理2.7的证明更强的限制（2.10）下推导出来的。我们从[4]中给出的克拉默定理和盖特纳-埃利斯定理的证明中借用了一些想法。这些定理中上估计的证明使用切比雪夫不等式。在我们的例子中，由于问题的特殊结构，我们可以提供一个更直接的证明。假设orem 2.7中的条件成立，让u∈ 我和>0。然后我们就去了-uzop（dz）≥ p（A）infz∈阿赫本-乌兹瓦伊。

（2.34）由（2.34）可知，对于每个∈ I存在ξ（u）∈一个这样的P（A）≤经验uξ（u）ZAexpn-uzop（dz）=exp-∧（0）（u）ZAexpn-uzop（dz）×exp∧（0）（u）+xu+u（ξ（u）- x） .实际上，我们可以取ξ（u）=a+如果u≥ 0和ξ（u）=a-如果u<0。接下来，插入u=u*（x） 在前面的等式中，考虑到反条件（2.10），我们得到p（A）≤经验-∧（0）（u）*（x） ）ZAexp-U*（x） zp（dz）×exp(-Λ(0)*（十）- U*（x） （ξ（u）*（x） )- x） ）≤expn∧（1）（u）*（x） ）oexp(-Λ(0)*（十）- U*（x） （ξ（u）*（x） )- x） ）×1+∧（2）（u）*（x） ）+O（）（2.35）as→ 现在，不难看出（2.35）隐含了定理2.7.10阿切尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼普罗夫的定理2.9。定理2.9给出的下界更为复杂。这里我们从estimateZAexpn开始-uzop（dz）≤ p（A）supz∈阿赫本-uzoi，而不是（2.34）中的估计值。这意味着P（A）≥ 经验uη（u）ZAexpn-uzop（dz）=exp-∧（0）（u）ZAexpn-uzop（dz）×exp∧（0）（u）+xu+u（η（u）- x） ,为了所有的你∈ 一、 式中η（u）=a-如果你≥ 如果u<0，则η（u）=a+。因此p（A）≥经验-∧（0）（u）*（x） ）ZAexp-U*（x） zp（dz）×exp(-Λ(0)*（十）- U*（x） （η（u）*（x） )- x） ）。（2.36）我们的下一个目标是使用测量方法的改变。考虑一个由ep（dz）=expn定义的概率度量的新家族-U*（x） zop（dz）RRexpn-U*（x） zop（dz），>0。注意家族p依赖于x。然后不等式（2.36）和条件（2.10）意味着p（A）≥经验-∧（0）（u）*（x） ）ZRexp-U*（x） zp（dz）ep（A）×exp-[Λ(0)]*（十）- U*（x） （η（u）*（x） )- x） = expn∧（1）（u）*（x） ）哦1+∧（2）（u）*（x） ）+O（）ep（A）×exp-[Λ(0)]*（十）- U*（x） （η（u）*（x） )- x） （2.37）as→ 0.我们接下来将估计数量ep（A）=1- 从下面看ep（Ac）（2.38）。这将使用G–artner-Ellis定理中的上限估计来实现。让我们将∧（0）表示为（2.11）定义的函数，用于家庭p，而不是家庭p。

那么不难看出∧（0）（v）=∧（0）（v+u*（x） )- ∧（0）（u）*（x） ），v∈eI，（2.39）G–ARTNER-ELLIS定理，均匀化和仿射过程，其中eI=I- U*（x） 。函数∧（0）和区间依赖于x。很明显，0∈工程安装。此外，他∧（0）i*（y） =- infv∈eInyv+e∧（0）（v）o≥ 0接下来，考虑到ACI是一个闭集，并使用G¨artner-Ellis定理中的上大偏差估计（见[4]中的定理2.3.6），我们得到了lim sup→0[log ep（Ac）]≤ - 英菲∈Ache∧（0）i*（y） 。设置δA=infy∈Ache∧（0）i*（y） 。使用备注2.5和（2.39），我们可以看到函数∧（0）i的唯一性*在实线上，在点y=他∧（0）i*（0）=∧（0）（u）*（x） ）=x，并且等于零。自从x/∈ Ac，且集合Acis闭合，我们有δA>0。因此，对于每一个τ>0，存在τ>0，使得ep（Ac）≤ 经验-δA+τ, 0 <  < τ. （2.40）用0<τ<δA和s etγA=δA固定任意数τ>0- τ. 然后（2.38）和（2.40）意味着以下估计：ep（A）≥ 1.- 前任警察-γA, 0 <  < τ. （2.41）最后，使用（2.37）和（2.41），我们建立了e估计（2.32）。定理2.7的证明就这样完成了。3.仿射过程设D是实欧几里得空间的非空Borel子集，配备Borelσ-代数D，并假设D的有效壳是全间隔的。我们在D上加一个点δ，作为“墓地状态”。定义D=D∪ {δ} ，bD=σ（D，{δ}），并将bD与Alexandrov拓扑相配，其中D中任何具有紧补的开集都被声明为δ的开邻域。通过设置f（δ）=0，将D上定义的任何连续函数f扩展到D。让(Ohm, F、 F）是一个经过过滤的可测量空间，其上有一个族（Px）x∈定义了bDof概率测度，并假设F是所有x的Px完备∈bD和过滤F是连续的。

最后，设X是一个c`adl`ag pro c ess takingvalues inbD，其转换核pt（X，a）=Px（Xt）∈ A） ，（t≥ 0，x∈屋宇署∈bD）是一个正态时间齐次马尔可夫核，其δ是吸收的。也就是说，pt（x，）满足以下条件：（a）x 7→ pt（x，A）是可测量的（t，A）∈ R> 0×bD。注意，obd的拓扑以一种微妙的方式进入我们的假设：我们稍后需要X isc`adl`ag onbD，这是拓扑关系的一个属性。12 ARCHIL GULISASHVILI和JOSEF Teichman（b）p（x，{x}）=1表示所有x∈bD，（c）pt（δ，{δ}）=1表示所有t≥ 0（d）pt（x，bD）=1表示所有（t，x）∈ R> 0×bD和（e）查普曼-科尔莫戈rov方程pt+s（x，dξ）=Zpt（y，dξ）ps（x，dy）适用于每个t，s≥ 0和（x，dξ）∈我们用标准内积h，i来装备RDD，并将其与setU相关联 Cdde定义byU=U∈ Cd:supx∈胡德瑞，xi<∞.请注意，集合U是复数向量U的集合，因此该复数函数x 7→ ehu，xi在D上有界。很容易看出U是一个凸锥，并且s包含一组纯虚向量iRd。定义3.1（有效流程）。如果X的转移核pt（X，Dξ）满足以下条件，则随机过程X称为状态空间为D的函数：（i）它是随机连续的，即lims→测试程序集（x）pt（x，）对allt来说很弱≥ 0，x∈ D.（ii）核的傅里叶-拉普拉斯变换取决于初始状态，其方式如下：存在Φ：R>0×U的函数→ C和ψ：R>0×U→ Cd，使得zdehξ，uipt（x，dξ）=Φ（t，u）exp（hx，ψ（t，u）i）（3.1）对于所有t∈ R> 0，x∈ D、 你呢∈ U.评论3.2。注意，前面的定义并没有以唯一的方式指定ψ（t，u）。然而，ψ有一个自然唯一的选择，将在PROP中讨论。3.3下文。

还要注意，只要Φ（t，u）不为零，就存在Φ（t，u），使得Φ（t，u）=eφ（t，u），等式（3.1）为comesZDehξ，uipt（x，dξ）=exp{φ（t，u）+hx，ψ（t，u）i}。（3.2）这基本上是[5]中使用的定义。条件（3.2）意味着转移函数的傅里叶-拉普拉斯变换是x的一个函数的指数。这一事实通常被解释为“一个函数过程”的原因，尽管一个函数也出现在函数过程的其他方面，例如在小型发电机的系数中，或者在不同的半鞅特征中。我们更倾向于使用等式（3.1）而不是等式（3.2），因为前面的等式导致了一个稍微更一般的定义，避免了（3.1）的左侧对于所有t和u都不为零的先验假设的必要性。在我们开始探索定义3.1的第一个简单后果之前，将引入额外的注释。对于任何你∈ U、 集合σ（U）：=inf{t≥ 0:Φ（t，u）=0}和Q:={（t，u）∈ R> 0×U:t<σ（U）}，设φ是Q上的一个函数，使得Φ（t，U）=eφ（t，U）表示所有（t，U）∈ Q.φ的唯一性将在下面讨论。函数φ和ψ具有以下性质（见[17]）：G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程13。设X是D上的一个有效过程，则（i）条件σ（u）>0适用于任何u∈ U.（ii）函数φ和ψ在Q上唯一定义，其约束条件是它们联合连续且满足φ（0，0）=ψ（0，0）=0。（iii）函数ψ将Q映射为U。（iv）函数φ和ψ满足半流动性质。对于任何你∈ U和T，s≥ 带t+s的0≤ σ（u），以下条件成立：φ（t+s，u）=φ（t，u）+φ（s，ψ（t，u）），φ（0，u）=0ψ（t+s，u）=ψ（t，ψ（s，u）），ψ（0，u）=uRemark 3.4。

在续集中，函数φ和ψ将始终根据命题3.3进行选择。现在我们来介绍规律性的重要概念。定义3.5。如果导数为f（u），则一个有效过程X称为正则过程=φ（t，u）Tt=0+，R（u）=ψ（t，u）Tt=0+存在于所有u∈ U和在U=0时是连续的。下一个陈述说明了为什么规律性是一个关键属性。该声明最初由[5]为状态间隔器n×Rm>0上的一个有效进程建立。3.6的提议。设X是一个正则过程。然后存在Rd向量b，β，βd；d×d-矩阵a，α，αd；实n数c，γ，γd和signedBorel测量m，u，udon Rd\\{0}这样函数F（u）和R（u）可以表示为：F（u）=hu，aui+hb，ui- c+ZRd\\{0}呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uim（dξ），（3.3a）Ri（u）=u、 αiu+βi，u- γi+ZRd\\{0}呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uiui（dξ）。（3.3b）在前面的公式中，h（x）=x1{kxk≤1} 是一个截断函数。此外，对于所有x∈ D、 数量a（x）=a+xα+·x DαD，（3.4a）B（x）=B+xβ+·x DβD，（3.4b）C（x）=C+xγ+·x DγD，（3.4c）ν（x，Dξ）=m（Dξ）+xu（Dξ）+·+xduD（Dξ）（3.4d）具有以下性质：a（x）是正半无限体，C（x）≤ 0和ZRD\\{0}kξk∧ 1.ν（x，dξ）<∞.14阿奇尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼莫雷沃，代表美国∈ U和t∈ [0，σ（u）），函数φ和ψ满足以下普通微分方程：tφ（t，u）=F（ψ（t，u）），φ（0，u）=0（3.5a）tψ（t，u）=R（ψ（t，u）），ψ（0，u）=u.（3.5b）备注3.7。方程（3.5）被称为广义Riccati方程，因为当m（dξ）=ui（dξ）=0时，它们是经典的Riccati方程。此外，方程（3.3）和（3.4）暗示u 7→ F（u）+hR（u），对于每个x，xi是L’ev y-Khintchine form的函数∈ D.证据。见[17]。

通常，参数（a，αi，b，βi，c，γi，m，ui）i∈（3.5a）和（3.5b）中F和R的表示中出现的{1，…，d}必须满足附加条件，称为可接受性条件。这些条件保证了具有状态空间D和规定的F和R的无因次马尔可夫过程X的存在。很明显，这些条件应强烈依赖于状态空间D（边界）的几何结构。在不同类型的状态空间的参数上找到这样的（必要且有效的）条件一直是一些出版物的重点。对于D=Rm>0×Rn，可容许性条件在[5]中推导。对于半有限矩阵的锥D=S+D，此类条件见[2]，对于对称irr可导锥，可容许性条件见[3]。最后，对于多面体锥和量子态空间上的有效差（m=ui=0），容许性条件在[21]中给出。定义3.8。我们称状态空间D=Rm>0×rnm为m，n≥ 0表示规范状态空间。[5]根据F和R的可容许条件，对规范状态空间上的一个函数过程进行了完全刻画。规范状态空间上的一个函数过程具有连续轨迹（这种过程称为连续函数过程），当且仅当函数F和R满足可容许条件，并且是次数最多为2的多项式（见提案3.6）。均匀化过程在本节中，我们考虑规范状态空间D=Rm>0×Rn上的连续有效过程。接下来，我们将介绍一种自然均匀化过程，它允许分析连续过程定律的短时渐近性。

在有效过程的情况下，均匀化实际上导致了关于均匀化参数的真实分析展开。下面的引理介绍了均匀化过程。引理4.1。设ψ：U×R≥0→ U是方程的唯一解tψ（u，t）=Rψ（u，t）, ψ（u，0）=u∈ U、 R:U在哪里→ 它是一个二次多项式。然后，对于每一个>0，函数ψ（u，t）：=ψu，t盖特纳-埃利斯定理、均匀化和仿射过程解决了这个方程tψ（u，t）=Rψ（u，t）, ψ（u，0）=u和R（u）：=R-1u为了你∈ U.类似地，设φ：U×R≥0→ C是方程的唯一解tψ（u，t）=Fψ（u，t）, φ（u，0）=0。然后，对于每一个>0，函数φ（u，t）：=φu，t解方程tφ（u，t）=Fψ（u，t）, φ（u，0）=0和F（u）：=F-1u为了你∈ 引理4.1的证明很简单，我们留给读者作为练习。引理4.2。在之前的假设下，极限lim→0ψ=ψ（0）在U×R的紧集上一致存在≥此外，ψ（u，t）=ψ（0）（u，t）+ψ（1）（u，t）+Xn≥2nψ（n）（u，t）（4.1）是小>0的收敛幂级数展开式。（4.1）中的系数函数满足某些普通微分方程，即，tψ（0）（u，t）=R（0）ψ（0）（u，t）, ψ（0）（u，0）=u，和tψ（1）（u，t）==0Rψ（0）（u，t）ψ（1）（u，t），ψ（1）（u，0）=0。为了n≥ 2，系数函数的方程包含高阶导数。在完全的类比中，极限lim→0φ=φ（0）在U×R的紧集上一致存在≥此外φ（u，t）=φ（0）（u，t）+φ（1）（u，t）+Xn≥2uφ（n）（u，t），对于足够小的值。证据观察R=R（0）+R（1）+R（2）和F=F（0）+F（1）+F（2）。因此，引理4.2中等式中出现的向量场是多项式inu和。

关于多项式向量微分方程的标准结果证明了引理4.2中的断言，特别是关于的解的实分析性。设X是一个具有相应函数F和R的有效扩散过程。我们可以将上述Riccati方程的解推广到u的最大值∈ Rd，即用向量场SF和R考虑Rd上的最大局部流。通过∧（i），i≥ 0表示以下幂级数展开式中出现的函数：^∧（0）（u）+∧（1）（u）+……：φ(-u、 1）+hx，ψ(-u、 1）i，（4.2）16 ARCHIL GULISASHVILI和JOSEF Teichmanthey是前面引理中出现的Riccati方程的解。注意，我们抑制了对（4.2）左侧初始值x的依赖性。函数∧（i）作为u的扩展实数存在∈ 备注4.3。如果（4.2）右侧的表达式是有限的，则le ft侧的幂级数绝对收敛于足够小的值。备注4.4。对于连续有效过程，均质化程序会导致以下表述：Ehexpn-hu，Xioi=zdepn-hu，ziiop（dz）=exp（^∧（0）（u）+^∧（1）（u）+…），（4.3）式中，u表示（4.3）两侧的表达式对于的较小值是有限的。（4.3）中的表述适用于任何连续过程，这是我们引入前几节中使用的条件（2.10）的动机。然而，（4.3）中的扩展与（2.10）中的扩展略有不同。示例：Heston模型在本节中，我们找到函数∧（i），0的显式公式≤ 我≤ 2，与Hesto n模型中的原木价格过程相关。

让我们考虑以下相关Heston模型：dXt=（r+kVt）dt+pVtdW1，t，dVt=（a- bVt）dt+σpVtdW2，t，（5.1）式中r，k∈ R、 a，b≥ 0，σ>0，和W1，和W2，皮重标准布朗运动与dhW，Wit=ρdt。我们假设相关系数ρ满足条件-1 < ρ < 1. 在（5.1）中，X是原木价格过程，V是var-ianceprocess。过程X和V的初始条件分别用xandv表示。Heston模型是在[14]中引入的。请注意，在本文中，我们考虑了赫斯顿模型，其中对数价格和方差方程都包含由函数生成的漂移项。通常，例如在[7,8,9,10,16]中，一个特殊的Heston模型，其中k=-研究了r=0。[15]中讨论了扩展的Heston模式l，其中定义方程包含一个很好的漂移项。流程X不是一个有效的流程。它是二维过程（X，V）在第一坐标上的投影。x的矩生成函数由Mt（u）=E[exp{uXt}]=exp{C（u，t）+D（u，t）v+ux}给出，其中C（u，t）=rut+aσ（b）- ρσu+d（u））t- 2原木1.- g（u）ed（u）t1- g（u）,D（u，t）=b+D（u）- ρσuσ1.- ed（u）t1- g（u）ed（u）t,g（u）=b- ρσu+d（u）b- ρσu- d（u）、G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程17d（u）=p（ρσu）- b）- σ（2ku+u）（见[1]）。在这里和续集中，符号√· s代表主平方根函数。下面我们将解释函数C表达式中出现的对数函数的含义（见后面的讨论，了解公式（5.7））。注意，对于u=0，函数C和D的表达式应理解为极限意义。更精确地说，C（0，t）=limu→0C（u，t）=0和D（0，t）=limu→0D（u，t）=0表示所有t>0。很明显，EHEXP{-utXt}i=expnC(-ut，t）+D(-ut，t）v-utxo。表示∧（u，t）=t对数E经验{-utXt}.