多收益率曲线建模的通用HJM框架

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英文标题：
《A general HJM framework for multiple yield curve modeling》
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作者：
Christa Cuchiero, Claudio Fontana, Alessandro Gnoatto
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a general framework for modeling multiple yield curves which have emerged after the last financial crisis. In a general semimartingale setting, we provide an HJM approach to model the term structure of multiplicative spreads between FRA rates and simply compounded OIS risk-free forward rates. We derive an HJM drift and consistency condition ensuring absence of arbitrage and, in addition, we show how to construct models such that multiplicative spreads are greater than one and ordered with respect to the tenor\'s length. When the driving semimartingale is specified as an affine process, we obtain a flexible Markovian structure. Finally, we show that the proposed framework allows to unify and extend several recent approaches to multiple yield curve modeling.
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中文摘要：
我们提出了一个通用框架，用于模拟上次金融危机后出现的多个收益率曲线。在一般半鞅环境下，我们提供了一种HJM方法来模拟FRA利率和简单复合OIS无风险远期利率之间的乘法利差的期限结构。我们推导了一个HJM漂移和一致性条件，以确保不存在套利，此外，我们还展示了如何构造模型，使乘法利差大于1，并根据期限长度排序。当驱动半鞅被指定为仿射过程时，我们得到了一个灵活的马尔可夫结构。最后，我们展示了所提出的框架可以统一和扩展几种最新的多收益率曲线建模方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_general_HJM_framework_for_multiple_yield_curve_modeling.pdf (801.57 KB)

2022-5-6 08:03:19 上传

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关键词：收益率曲线 收益率 HJM Mathematical Applications

多产量曲线建模的通用HJM框架Christa CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto摘要。我们提出了一个通用框架，用于模拟上次金融危机后出现的多个收益率曲线。在一般半鞅情形下，我们提供了一种HJM方法来模拟FRA利率和简单无风险远期利率之间乘法利差的期限结构。我们推导了一个HJM漂移和一致性条件，以确保不存在套利，此外，我们还展示了如何构造模型，使乘法利差大于1，并根据期限长度排序。当驱动半鞅是一个有效过程时，我们得到了一个灵活且易于处理的马尔可夫结构。最后，我们展示了所提出的框架可以统一和扩展几种最新的多收益率曲线建模方法。1.引言上次金融危机对固定收入市场产生了深远影响。最值得注意的是，银行间（Libor/Euribor）利率和（无风险）OIS利率之间以及与不同期限相关的银行间利率之间出现了显著的利差，这主要是由于信贷和流动性风险的增加。虽然在危机前的环境中可以忽略不计，但这种息差代表了当今利率市场最显著的特征之一，其结果是银行间利率不能再被视为无风险（更多细节见第2节）。从一个新的角度来看，从一个新的市场模型到一个新的收益率模型的演变是一致的。本文旨在为多条利率曲线提供一种连贯的通用建模方法。

我们将根据[40]的精神，采用一般半鞅驱动的HJM框架，以模拟OIS零息票债券价格的期限结构以及与银行间利率和OIS远期利率相关的远期利率之间利差的期限结构的联合演化。更具体地说，我们将对市场远期利率协议（FRA）利率暗示的（标准化）远期利率（与一系列不同利率相关）和（标准化）简单复合OIS远期利率之间的乘法利差的期限结构进行建模。除了承认远期汇率溢价的自然经济解释外，乘法利差还为银行间利率的期限结构提供了一种特别方便的参数化。关于拟议框架的更详细讨论，请参考第2.1节，我们在此仅提及，除了极为通用性和灵活性之外，这种建模方法的优点是考虑了易于观察到的市场数量的模型基本面，并导致对与不同期次相关的利差之间的顺序关系的明确描述。此外，将驱动半鞅指定为一个有效过程，可以得到马尔可夫结构和易于处理的估值公式。通过采用一个抽象的HJM公式，我们得到了一个简单的HJM漂移和一致性条件，确保在一般半鞅环境下不存在套利。此外，从给定的基本构建块元组开始，我们提供了无套利多收益率曲线模型2010数学科目分类的一般构造。91G30，91B24，91B70。JEL分类E43，G12。关键词和短语。多收益率曲线，HJM模型，半鞅，远期利率协议，伦敦银行同业拆借利率，利率，有效过程，乘法利差。C.F.的研究。

部分由玛丽·居里在第七届欧洲共同体框架计划中的欧洲内部研究金提供支持，该研究金的授予协议为PIEF-GA-2012-332345.2 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto，因此利差有序且大于一。为此，我们证明了在转化为Musiela参数化时，与正向曲线相关的SPDE的存在性和唯一性，并说明了如何通过构造适当的纯跳跃过程来保证一致性条件，该过程的补偿器解决了随机广义矩问题。如第6节所示，文献中提出的大多数多曲线模型都可以恢复为我们总体框架的合适规格，从而为拟议方法的高灵活性奠定基础。多重曲线现象已经引起了市场实践和学术文献的极大关注（例如，参见新书[34]及其参考文献）。据我们所知，在信贷危机开始前不久，第一篇强调多重曲线问题相关性的论文是[32]。从建模的角度来看，与经典利率模型一样，迄今为止文献中提出的大多数模型可归因于三个主要的相互关联的家族：短期利率法、伦敦银行同业拆借利率市场模型和HJM模型。关于第6节中不同方法的详细比较，我们只提到[44]、[43]、[24]以及最近的[56]和[28]中首次引入了多曲线短期利率模型，而[51]、[52]和[30]中已将Libor市场模型扩展到多曲线设置。在相关背景下，[53]提出了一个可应用于任何经典单曲线利率模型之上的加性利差模型。

我们的方法更接近于文献中提出的多重curveHJM类型模型，具体参见[54]、[58]、[26]、[9]和[8]（还请注意，乘法利差建模的思想可追溯到[32]和[33]）。我们还想提到，无风险期限结构与“风险”期限结构的联合建模可以追溯到早期的贡献[38]和[16]。最近，Libor利率和无风险利率之间的利差也在[29]中通过在Libor市场模型中引入违约风险进行了建模。论文的结构如下。第2节介绍了本文中考虑的基本量，并解释了拟议建模方法背后的原理。在第3节中，受[40]的启发，我们定义了一个通用的HJM类型框架，然后将其应用于多收益率曲线建模。特别地，我们得到了一个漂移和一致性条件，确保在It^o-半鞅驱动的一般HJMModel中不存在套利。在第4节中，我们展示了如何构造无套利模型，该模型具有满足漂移和一致性条件的有序利差。在第5节中，我们阐述了与拟议框架实施相关的主要方面，并提供了模型校准的一般指南。此外，我们还提出了通用的估值公式，并介绍了一种基于有限过程的特别易于处理的规范。在第6节中，我们将展示如何将大多数现有的多曲线模型轻松嵌入到我们的框架中。最后，附录A包含了抵押品下定价的观点及其对公平FRA利率定义的影响，附录B展示了外汇类比，附录C简要回顾了半鞅的局部独立性概念，附录D包含了第4.2节中几个结果的技术证明。

对危机后的利率市场进行建模在固定收益市场中，绝大多数交易合约的基本数量是Libor（或Euribor）利率LT（T，T+δ），在一段时间间隔[T，T+δ]，其中期限δ>0通常是一天（1D）、一周（1W）或几个月（通常是100万、200万、300万、600万或1200万）。虽然在上一次金融危机之前，与不同期限相关的金融危机率只是通过无套利的杠杆率来关联，但如今，对于每个期限δ∈ {δ，…，δm}，特定收益率曲线由依赖于特定期限δ对应的伦敦银行同业拆借利率的市场工具构成。隔夜借款利率由LT（T，T+1/360）表示，是美国市场的联邦基金利率和欧元区的Eonia（欧元隔夜指数平均值）利率。隔夜利率代表多曲线建模的一般HJM框架3隔夜指数掉期（OIS）和OIS利率的基础是这些掉期的市场报价（见第5.2.1节）。OIS利率发挥着重要作用，通常被认为是无风险利率的最佳代理，也被用作抵押交易中的抵押利率，从而导致toOIS贴现（见附录A）。依靠自举技术（参见。

[1] ），以下曲线可从OIS利率中获得：o（无风险）OIS零息债券价格T 7→ B（t，t）；o瞬时（无风险）OIS远期利率t7→ 英尺（T）=-Tlog B（t，t）；o简单复合（无风险）OIS远期利率7→ LDt（T，T+δ）：=δB（t，t）B（t，t+δ）- 1..特别要注意的是，LDt（T，T+δ）对应于时间间隔[T，T+δ]（上标D代表贴现）T时的危机前无风险远期伦敦银行同业拆借利率。虽然OIS利率提供了无风险（贴现）收益率曲线的完整图景，但对于某些期限δ>1/360的固定收益产品，如远期利率协议（FRA）、掉期、上限/利率和掉期期权，其基本数量是伦敦银行同业拆借利率LT（T，T+δ）。由于这些利率受供款银行小组的信贷和流动性风险（银行间风险）的影响，我们有时将Libor利率称为风险利率。在所有以伦敦银行同业拆借利率（Libor）为基础的金融合同中，远期利率协议（FRA）可以被合理地视为最基本的工具，并且在衍生工具市场上进行流动交易，尤其是对于短期到期。此外，典型的线性利率衍生品，如掉期或基础掉期，可以表示为FRA的投资组合（见第5.2.1节）。用Lt（t，t+δ）表示的区间[t，t+δ]在t时的FRA费率是在t时固定的费率，使得FRA合同的公允价值为空。如附录A所示，符合当前市场惯例的远期利率Lt（T，T+δ）的无套利价值由以下表达式给出：Lt（T，T+δ）=EQT+δLT（T，T+δ）英尺,（2.1）式中，QT+δ表示（T+δ）正向测量，其中OIS键B（·T+δ）为num\'eraire。

特别是，Lt（T，T+δ）T∈[0，T]是一个QT+δ-鞅，对于所有T≥ 0，这将是建立多收益率曲线模型时必须满足的关键属性。公式（2.1）在[51]中作为FRA利率的定义首次提出。本文开头提到的利差是因为市场FRA利率通常高于简单的综合OIS远期利率，即Lt（T，T+δ）>LDt（T，T+δ）。这与伦敦银行同业拆借利率委员会定期更新，只包括信贷银行这一事实有关。因此，伦敦银行同业拆借利率包含了一组初始银行的平均信贷质量在贷款期限内恶化的风险，而OIS利率反映了新更新的伦敦银行同业拆借利率小组的平均信贷质量（参见，例如[24]）。因此，自2007年以来，我们观察到FRA和OIS远期利率之间的正相关性，如图1和图2所示。特别是，观察到利差通常为正值，并且随着期限长度δ2.1的增加而增加。问题表述和建模方法。基于上述讨论，我们认为OIS零息债券和FRA合同是市场基本面，期限不同{δ，…，δm}。请注意，在危机后的利率市场中，必须将FRA合同添加到由所有无风险零息债券组成的市场中，因为后者无法再完美复制这些合同。我们的主要目标是以一般的方式解决以下问题。4 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto图1。AdditiveEonia–欧元银行同业拆借利率从1月开始蔓延。2007年至2013年9月，δ=1/12、3/12、6/12、1图2。截至2012年12月11日δ=1/12、3/12、6/12和1时，NFRA费率和OIS转发费率之间加性差价的期限结构。问题2.1。

考虑到当今OIS零息债券B（0，T）和FRA利率L（T，T+δ）的价格，对于不同的期限δ∈ {δ，…，δm}对于所有到期日T≥ 0，对其随机演化进行建模，使由所有OIS零息票债券和所有FRA合同组成的市场不存在套利。让我们注意到，在本文中，我们将“无套利”定义为存在一个等价度量，根据该度量，以theOIS银行账户单位计价的OIS零息票债券和FRA合同是鞅。严格地说，这只是一个充分条件，可以保证[12]中最近引入的“没有风险为零的渐近免费午餐”。这一概念是Delbaen和Schachermayer[14]提出的著名的“没有免费午餐，风险消失”条件的延伸，适用于资产数不胜数的市场，正如我们的背景所考虑的那样。除了FRA合同的存在，由于Libor利率不再是无风险的，问题2.1是在经典的Heath Jarrow Morton（HJM）框架[31]中处理的问题，该框架描述了无风险零耦合债券价格期限结构的无套利随机演化。因此，我们的方法包括扩展经典的HJM框架，以包括期限{δ，…，δm}的有限集合和所有到期日的a合同。关键的问题是如何在这种情况下排除套利，以及如何将这种基本要求转化为对模型成分的透明条件。从建模角度来看，第一种可能是直接指定Lt（T，T+δ）T∈[0，T]，对于所有δ∈ {δ，…，δm}和T≥ 0.然而，更容易直接对传播进行建模，以便根据上面报告的经验发现，捕捉它们在基调方面的积极性和单调性。

我们考虑以下乘法扩展δ（t，t）：=1+δLt（t，t+δ）1+δLDt（t，t+δ），（2.2）表示δ∈ {δ，…，δm}，对应于（标准化）FRA利率和（标准化）简单复合OIS远期利率之间的乘法利差。也可以直接从FRA的初始利率曲线中观察到ESPOIS。例如，图3显示了T7的曲线→ Sδ（T，T）是从2013年8月8日T的市场数据中获得的。现在让我们来解释一下这种建模选择背后的原因，考虑一下单基调δ的情况，以简化表示。作为初步步骤，我们以[38]和[2]为灵感，演示了一个外汇类比（更多细节见附录B）。对于风险Libor利率LT（T，T+δ），我们可以将艺术风险债券价格Bδ（T，T）联系起来，使得1+δLT（T，T+δ）=1/Bδ（T，T+δ），对于所有的T≥ 0，与经典的单曲线无风险设置类似。例如，根据[55]中的讨论，我们可以考虑由LiborA GENERAL HJM FRAMEWORK for MULTIPLE CURVE MODELING 5panel的银行代表发行的风险债券。如果我们将无风险债券解释为国内债券，将艺术风险债券解释为外国债券，那么数量Bδ（t，t）代表外国风险零息债券的价格（以外币为单位）。根据等式（2.2），（点）乘法扩散（对于t=t）满足Sδ（t，t）=B（t，t+δ）/Bδ（t，t+δ）。根据附录B中详细解释的外汇类比，数量Sδ（T，T）可以解释为[T，T+δ]期间国内外经济之间的远期外汇溢价，衡量市场在T时预期的外国债券相对于国内债券的风险变化。