楼主: nandehutu2022
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[量化金融] 多收益率曲线建模的通用HJM框架 [推广有奖]

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nandehutu2022 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:05 |只看作者 |坛友微信交流群
为了说明的一致性,我们将调整我们的符号——下文提到的多曲线建模通用HJM框架中使用的原始符号。有关我们的通用HJM类型框架和基于有效流程的多曲线模型之间关系的更详细研究,请参考[11]。6.1。HJM模型。[8,9,54]中提出的多曲线HJM模型可以很容易地从我们的总体框架中恢复。特别是,与我们的方法类似,[8]直接建模FRA利率,而无风险期限结构建模与经典HJM设置相同。无风险债券的贴现价格具体为B(t,t)/Bt=B(0,t)exp-RteA(s,T)ds-Rte∑(s,T)dXs,尽管如此,t≤ T和T≥ 0,其中ea和∑是确定性函数,X是多元L'evyprocess。B(·,T)/B对每T的鞅性质≥ 由经典漂移条件ea(t,t)=ψX确定-e∑(t,t), 对于所有0≤ T≤ 假设函数e∑一致有界。FRA速率也通过HJMAP方法进行建模,该方法在达到确定性位移时,对应于以下Sδ(t,t)的规定:Sδ(t,t)=Sδ(0,t)exp-ZtψT,X∑δ(s,T)ds+Zt∑δ(s,T)dXs,式中∑δ(t,t):=(t,t,t+δ)-e∑(t,t+δ)+e∑(t,t),根据[8]的符号,和ψt,Xdenotes,X在t-正向测度qt下的局部指数,其中我们使用了[8]的漂移条件(12)。特别是,通过简单的计算,可以得到形式为Sδ(t,t)=exp的表示Zδt+RTtηδt(s)ds, 尽管如此,t≤ T和T≥ 0.基于类似的考虑,可以证明[9]和[54]的多曲线HJM模型也可以从我们的框架中恢复。6.2. 短期利率模型。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:08 |只看作者 |坛友微信交流群
如引言中所述,基于短期利率的模型也被提出用于建模多条曲线,具体参见[43,44,56]。这种建模方法也可以嵌入到我们的通用框架中。特别是,[44]制定了一个简单的短期利率模型,允许对与不同曲线相关的固定收益产品进行一致的定价。为了简单起见,让我们考虑两条利率曲线的情况:贴现曲线(用D表示)和伦敦银行同业拆借利率曲线(用L表示)。对于这两条曲线D和L,[44]将短期利率过程(rDt)t关联起来≥0和(rLt)t≥0,对应债券价格(6.1)B(t,t):=EQhe-RTtrDudufti和Bδ(t,t):=EQLhe-RTtrLuduFti,尽管如此≤ T和T≥ 0,其中~ Q代表与“L储蓄账户”相关的风险中性度量(见[44]第2节)。期限为δ的伦敦银行同业拆借利率由T(T,T+δ)给出=1/Bδ(T,T+δ)- 1./δ、 尽管如此,T≥ 因此,根据我们的符号,(6.2)Sδ(t,t)=EQT+δ1+δLT(T,T+δ)| FtB(t,t+δ)B(t,t)=EQhe-RTrDuduHL(T,T+δ)FtiEQhe-RTrDudu | Fti=EQeZT+YT |英尺式[eZT | Ft],其中HL(t,t):=Bδ(t,t)/B(t,t),Zt:=-RtrDudu和Yt:=- 对数HL(t,t+δ)。此外,它保持HL(t,t)=EQL经验-RTthLudu|英尺, where(hLt)t≥0是一个奥恩斯坦-乌伦贝克传播过程。还要注意(6.2)中最右边的术语与乘法利差的一般规定(5.5)之间的相似性。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:12 |只看作者 |坛友微信交流群
类似的考虑也适用于最近的论文[56],其中无风险和高风险债券价格的建模如(6.1)所示,但在一个共同的风险中性度量Q下,通过将无风险利率(rt)t相加得到“高风险”短期利率≥0a随机排列(st)t≥0.特别是,在文献[9]中(根据文中使用的符号),它认为,对于任何期限δ>0,Zδt=Rt+δtgt(s)ds,其中gt(t)代表有风险和无风险瞬时t-远期利率之间的利差。请注意,根据[44]中采用的符号,我们的乘法扩展Sδ(t,t)对应于KL(t,t,t+δ)。30 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto特别是对于给定的音阶δ>0和任何0≤ T≤ 根据[56]的符号,我们的乘法扩展Sδ(T,T)对应于比率νT,T/νT,T。[43]中提出的短期利率模型也非常相似,主要区别在于,假设风险短期利率过程针对每个期限。6.3. 对数正态Libor市场模型。与原始文章[4]类似,我们也可以在上述框架内获得Lt(T,T+δ)的对数正态Libor市场模型。将δ固定,并考虑注释3.19中Y一维的设置,由Yt=Rtqsds和u=1给出。此外,假设我们的多收益率曲线模型中的驱动过程X是标准的d维布朗运动W,并假设Lt(T,T+δ)的动力学由dlt(T,T+δ)=Lt(T,T+δ)βT(T)dWT+δT给出,其中βT(T)是Rd值有界确定性函数,而(WT+δT)T≥0表示QT+δ-布朗运动。

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可人4 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:16 |只看作者 |坛友微信交流群
回顾1+δLt(T,T+δ)=Sδ(T,T)1+δLDt(T,T+δ)= eRtqsds+RTtηδt(u)du+RT+δTft(u)du,将其^o公式应用于两侧并比较扩散系数,我们得到∑t(t)=δLt(t,t+δ)1+δLt(t,t+δ)βt(t)-e∑t(t+δ)-e∑t(t).假设t7的可微性→ βt(t),我们可以导出σt(t)σt(t)=e的表达式-RTQSD-RTtηδt(u)du-RT+δTft(u)du(ηδt(t)+ft(t+δ)- ft(T))βT(T)- TβT(T)+ TβT(T)- eσt(t+δ)+eσt(t)。为了研究与该挥发性结构对应的ηδ的S(P)DE解的存在性,我们可以切换到——类似于第4.1节——Musiela参数化。在有关参数β、q和eσ的适当假设下,可以得到ηδ的存在唯一性,类似于定理4.5。因此,这种方法为市场实践提供了一种理论依据,即在多重收益率曲线设置中,通过布莱克公式对CAPlet进行定价。附录A.抵押品和FRA利率下的定价请在此简要回顾我们适用于FRA定价的一般衍生品完美抵押品下的定价。有关抵押和融资成本的一般估值的更详细讨论,我们参考了有关该主题的不断增长的文献,例如[3]和其中的参考文献。我们在此密切关注[24,第2.2节]。自始至终让(Ohm, F、 (Ft)t≥0,P)是一个过滤概率空间,其中P代表统计/历史概率度量。我们认为OIS零息票债券是基本的交易工具,在经典背景下扮演着无风险零息票债券的角色。

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能者818 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:20 |只看作者 |坛友微信交流群
为了保证无风险,我们假设:(i)存在一个由(Bt)t表示的OIS银行账户≥0使Bt=exp(Rtrsds),其中RDE记录OIS短期利率;(ii)存在一个等价的概率测度Q,当以OIS银行账户单位计价时,所有到期日的OIS债券都是Q鞅。让我们注意到,在存在融资成本的情况下,存在一个等价度量,即市场中存在的风险资产在与相应的融资利率rf贴现时是(局部)鞅,这意味着没有套利。这可以嵌入到经典的框架中,其中Q是一个风险中性度量,无风险(OIS)银行账户为num’eraire,通过处理eR·-rfs+rsS作为交易资产。一个用于多曲线建模的通用HJM框架31现在让X成为一些衍生证券的FT可测量回报。我们在此假设一份完美的抵押协议,在该协议中,衍生品现值的100%在任何时间t<t过账到抵押物中。抵押品的接收人可以按照与OIS短期利率相对应的无风险利率r进行投资,并且必须向抵押品海报支付约定的抵押品利率Rc。应用风险中性定价,我们得到抵押交易现值的以下表达式vt=EQE-RTtrsdsX+ZTte-Rstrudu(卢比)- rcs)VSD英尺.如[24,附录A]所示,该公式相当于Vt=EQ[e]-RTtrcsdsX |英尺]。假设抵押品利率Rc对应于OIS短期利率r,通常情况下,我们得到了经典的风险中性估值公式。由于FRA的市场报价对应于完全抵押合同,其中抵押利率RCI假设为OIS短期利率r,因此上述定价方法适用于FRA利率的定义。

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能者818 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:24 |只看作者 |坛友微信交流群
与经典利率理论一样,以Lt(T,T+δ)表示的FRA利率是在T时刻固定的利率,使得FRA合同的价值,其在T+δ时刻的支付由δ(Lt(T,T+δ)给出- K) 值为0。因此,它认为,尽管如此∈ [0,T]和T≥ 0,EQhe-RT+δtrsds(LT(T,T+δ)- (K)Fti!=因此,通过贝叶斯公式,Lt(T,T+δ)=EQT+δLT(T,T+δ)英尺,式中,QT+δ表示与数值B(·T+δ)和密度dqt+δdQ | Ft=B(T,T+δ)BtB(0,T+δ)相关的(T+δ)正向测量。特别是,这为将表达(2.1)作为公平FRA费率定义的市场实践提供了严格的依据。附录B.外汇类比为了表述的简单性,让我们考虑固定期限δ,并通过以下关系定义时间t和期限δ到期日t的艺术“风险”债券价格Bδ(t,t),对于所有≤ T和T≥ 0,Lt(T,T+δ)=:δBδ(t,t)Bδ(t,t+δ)- 1..而家人B(t,t)T∈[0,T],T≥ 0代表国内无风险债券(以本国货币为单位)的价格Bδ(t,t)T∈[0,T],T≥ 0可以被视为代表外国“高风险”经济体的零息债券的价格,以外币单位表示。根据这个外汇类比,我们自然会看到比率(B.1)Rδ(t,t):=B(t,t)Bδ(t,t),对于t≤ T和T≥ 0,其中Bδ(t,t)(B(t,t),resp.)在这里必须被视为外国(国内,分别)的折扣因素经济还要注意,对于所有T,Rδ(T,T)=1≥ 0.按照[57,第4.2.1节]中的表述,数量Rδ(t,t)对应于时间间隔[t,t]内本币和外币之间的远期汇率溢价。

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能者818 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:27 |只看作者 |坛友微信交流群
事实上,在标准的外汇市场上,即期汇率Qt(一单位外币的国内价格)和远期汇率F(t,t)(如[57,第4.2.1节所述)之间存在以下无套利关系:,债券价格以各自货币的单位表示,而贴现因子只是相应的实数。32 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTOprice(以本国货币表示)在时间T时支付的一单位外币:QtF(T,T)=B(T,T)Bδ(T,T)=Rδ(T,T)。(2.2)中引入的乘法扩展Sδ(t,t)现在对应于所有t的Sδ(t,t)=1+δLt(t,t+δ)1+δLDt(t,t+δ)=Bδ(t,t)B(t,t)Bδ(t,t+δ)Bδ(t,t+δ)=Rδ(t,t+δ)Rδ(t,t)≤ T和T≥ 0,而点乘性扩散仅由sδ(T,T)=Rδ(T,T+δ)给出,对于所有T≥ 0.特别要注意的是,Rδ(T,T+δ)正好对应于第2.1节中考虑的数量QδT,因此可以解释外汇溢价高于[T,T+δ]。由于伦敦银行同业拆借利率反映了伦敦银行同业拆借利率小组的整体信用风险,因此汇率溢价δ(t,t+δ)可被视为外国经济风险的市场估值(在时间t),即当前伦敦银行同业拆借利率小组在[t,t+δ]期间的信用和流动性质量。此外,根据相同的解释,数量sδ(t,t)=Rδ(t,t+δ)/Rδ(t,t)=EQT[R(t,t+δ)| Ft]因此是未来Libor面板在未来时间段[t,t+δ]的风险预期,从时间t的市场上看(计算为当前Libor面板在[t,t+δ]期间相对于[t,t]期间的相对风险)。

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nandehutu2022 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:32 |只看作者 |坛友微信交流群
例如,Sδ(t,t)的大值意味着市场预期[t,t+δ]上伦敦银行同业拆借利率小组的信用质量会比[t,t]上的信用质量恶化,如时间t所示。从这个意义上说,乘法利差Sδ(t,t)是一个在多个服务环境下建模的相当自然的量,因为它代表了市场在t时(根据t日交易的金融工具计算)对伦敦银行同业拆借利率(Libor)小组在[t,t+δ]上的信用和流动性质量的预期。附录C.局部独立性和半鞅分解在本节中,我们假设(X,Y)是一个一般的It^o半鞅,取Rd+nand中的值,分别用ψX、Yits局部指数和ψX、ψY表示X和Y的局部指数,并让UX、Ybe定义为定义3.2中的值。鉴于[40,引理A.11],以下定义等同于[40,定义A.10]中给出的地方独立性概念。定义C.1。我们说X和Y是局部独立的,如果在dQ之外 dt空集,它保持所有(u,v)的ψX,Yt(ut,vt)(ω)=ψXt(ut)(ω)+ψYt(vt)(ω)∈ U(X,Y)。在[40,附录A.3]之后,让我们回顾Y相对于X的半鞅分解的概念。我们分别用cY,X和Cx表示(Y,X)和X的第二局部特征,用byKY,X和KX表示(Y,X)和X的第三局部特征。也可用uY,X表示(Y,X)的跳跃度量。假设1∈ UY(即Y是指数特殊的,见命题3.3),let(C.1)Yk,i:=logeZ·cYi,Xt(cXt)-1.dXct+Z·Z(eyi)- 1) 1{x6=0}uY,X(dy,dx,dt)- KY,Xt(dy,dx)dt,对于i=1,n、 何处(cX)-1表示矩阵Cx的伪逆,Xc表示X的连续局部鞅部分(见[37,命题I.4.27])。我们称Yk:=(Yk,1。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:36 |只看作者 |坛友微信交流群
,Yk,n)>用于Y部分相对于X和Y的多曲线建模的dependentA通用HJM框架⊥:= Y- Y相对于X的独立部分。下面的引理对应于[40,引理A.22和引理A.23]。引理C.2。设(X,Y)是一个Rd×n值It^o-半鞅,使得∈ 嗯。那么以下是:(i)Y7→ Yk是一个投影,在这个意义上,(Yk)k=Yk;(ii)如果Z是局部独立于X的It^o-半鞅,则它认为(Z+Y)k=Yk;exp(Yk,i)是局部鞅,对于所有i=1,N(iv)Y⊥和(Yk,X)是局部独立的半鞅。附录D.命题4.4第4节结果的证明。让我们拍下任何一张照片∈ {0,1,…,m}。通过与[20,推论5.12]中相同的论证,可以证明κ(Hλm+1) Hλ,0和κij(Hλm+1) Hλ,0表示j=1,2。在这个等式中,C总是表示一个正常数,它可以随着行的变化而变化。根据假设4.3、H¨older不等式和[23,定理2.1],可以得到与[23,命题3.2]的证明类似的以下估计(更多细节请参阅阅读者)。关于κi(h)和κi(h),我们有,对于所有的h∈ Hλm+1,ξ∈ RDS和RDS∈ R+,|(ζi0(h)(s))>ξ|≤ Ckζi0(h)kλ,dkξkd和|(ζ(h)(s))>ξ|≤ Ckζ(h)kλ,dkξkd,以及,对于所有ξ∈ Rd,^ξ∈ Rnand s∈ R+,eu>i^ξ+(Zi0(h)(s))>ξ- 1.≤ (C+Ci)kξkd(kζkn+kζi0(h)kλ,dkξkd),E-(Z(h)(s))>ξ- 1.≤ CeCkξkdkζ(h)kλ,dkξkd。这些估计与(4.10)和(4.11)一起显示,lims→∞κi(h)(s)=0和lims→∞κi(h)(s)=0。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-5-6 08:06:39 |只看作者 |坛友微信交流群
此外,我们有ZR+Z(ζi0(h)(s))>ξeu>i^ξ+(Zi0(h)(s))>ξK^Y,X(d^ξ,dξ)eλsds≤ C(M+Mi)Ki,ZR+Z(ζ(h)(s))>ξE-(Z(h)(s))>ξF(dξ)eλsds≤ CMK,ZR+Zdds(ζi0(h)(s))>ξeu>i^ξ+(Zi0(h)(s))>ξ- 1.K^Y,X(d^ξ,dξ)eλsds≤ C(M+Mi)Ki,ZR+Zddsζ(h)>ξE-(Z(h))>ξ- 1.F(dξ)eλsds≤ CMK。鉴于sκi(h)和如(4.12)-(4.13)所示,这意味着κij(hλm+1) Hλ,0表示j=3,5。

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