随机最优控制中的半经典逼近Ⅰ.投资组合

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英文标题：
《Semiclassical approximation in stochastic optimal control I. Portfolio
  construction problem》
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作者：
Sakda Chaiworawitkul, Patrick S. Hagan, and Andrew Lesniewski
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This is the first in a series of papers in which we study an efficient approximation scheme for solving the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for multi-dimensional problems in stochastic control theory. The method is a combination of a WKB style asymptotic expansion of the value function, which reduces the second order HJB partial differential equation to a hierarchy of first order PDEs, followed by a numerical algorithm to solve the first few of the resulting first order PDEs. This method is applicable to stochastic systems with a relatively large number of degrees of freedom, and does not seem to suffer from the curse of dimensionality. Computer code implementation of the method using modest computational resources runs essentially in real time. We apply the method to solve a general portfolio construction problem.
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中文摘要：
这是我们研究求解随机控制理论中多维问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的有效近似格式的一系列论文中的第一篇。该方法结合了价值函数的WKB式渐近展开，将二阶HJB偏微分方程简化为一阶偏微分方程，然后用数值算法求解得到的前几个一阶偏微分方程。这种方法适用于自由度相对较大的随机系统，并且似乎不受维数灾难的影响。使用少量计算资源实现该方法的计算机代码基本上是实时运行的。我们应用该方法来解决一个一般的投资组合构建问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Semiclassical_approximation_in_stochastic_optimal_control_I._Portfolio_construct.pdf (140.35 KB)

2022-5-6 08:41:44 上传

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关键词：投资组合 最优控制 Construction Differential Optimization

随机最优控制中的半经典逼近。投资组合构建问题Sakda ChaiworawitkulJPMorgan Chase纽约，NY 10179美国帕特里克·S·哈根数学研究所24-29牛津圣吉尔斯福德大学，2018年摘要这是一系列论文中的第一篇，在这些论文中，我们研究了一种有效的近似方案，用于求解随机控制理论中多维问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。该方法结合了价值函数的WKB式渐近展开，将二阶HJB偏微分方程导出为一阶偏微分方程，然后通过数值算法求解得到的前几个一阶偏微分方程。这种方法适用于自由度相对较大的随机系统，而且似乎不受维数灾难的影响。使用少量计算资源实现该方法的计算机代码基本上是实时运行的。我们应用该方法解决了一个一般的Portfolio构造问题。S.Chaiworawitkul，P.Hagan，和A.Lesniewski内容1简介22投资组合构造问题和HJB方程33 HJB方程的WKB展开54解决WKB层次75广义Merton投资组合模型106解决方案的数值实现12A HARA效用函数族16B修正牛顿法的收敛171简介随机Hamilton Jacobi Bellman（HJB）偏微分方程是随机最优控制理论的基石（[7]、[23]、[19]）。它的解，即价值函数，包含了确定管理底层动态优化问题的最优策略所需的信息。

众所周知，HJB方程的解析闭式解很难获得，而且它们仅限于基本状态动力学具有简单形式的问题。通常，这些解决方案仅适用于具有一个自由度的系统。研究了各种随机最优控制的数值方法。文献[15]提出了一种基于马尔可夫链近似的方法。这种方法避免完全引用HJB方程，而是基于对基本随机过程的适当离散化。最近的其他方法，如[8]、[14]和[1]，依赖于HJB方程的巧妙离散化方案。这些数值方法通常局限于自由度较低的系统，因为它们容易受到“维数诅咒”的影响。本文提出了一种有效求解一类随机HJB方程的方法，该方程适用于n个自由度的系统，其中n是一个相当大的数（/200）。解决方法基于对完整HJB方程的解析近似，将其简化为一阶偏微分方程的有限层次。这是通过类似于量子力学、光学、定量金融和其他应用科学领域中使用的Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）方法的无符号展开实现的，参见[2]，[13]。方程层次结构中的第一个方程是经典的汉密尔顿-雅可比（HJ）方程，它类似于描述粒子在受外力作用的黎曼方程上的运动的方程。它的结构比完整的HJB方程要简单一些，它的性质已经被很好地理解。这个方程的解本质上是随机系统最优控制的最可能轨迹。

类似的想法，在一个完全不同的设置中已经出现。黎曼几何的语言为HJB方程的WKB展开提供了一个自然的，尽管有点技术性的框架，我们打算在另一篇论文中讨论它。[20]和[12]中的随机最优控制。剩下的方程是线性一阶偏微分方程，系数函数的结构越来越复杂。我们讨论的HJB方程解的近似性质是双重的。首先，我们只求解Hamilton-Jacobi方程和层次结构中的第一个线性偏微分方程。WKB展开式是渐近的，并且期望这两个方程足够接近实际解的性质。层次结构的其余成员被忽略，因为他们认为它们包含的信息不会显著影响解决方案的形状。我们将这种近似称为半经典（或eikonal）近似，类似于物理学中的类似近似。有趣的是，有一类非平凡的随机最优控制问题，其半经典近似产生实际的精确解。本文讨论了这类问题的两个例子。其次，通过数值逼近构造了两个前导阶偏微分方程的解。该数值算法的关键是对哈密顿正则方程（HJ方程的特征方程）进行适当的辛数值积分。在这里，我们使用强大的St¨ormer-Verlet（或leapfrog）方法[11]，[16]对特征进行数值构造。此外，我们还使用牛顿型搜索方法来构造HJ方程的数值解。

该方法使用了一个与汉密尔顿方程相关的变分方程组。这项工作的动机是我们对马科维茨均值-方差投资组合优化的连续时间版本的随机扩展的研究。然而，这里开发的方法应该为实现最终的投资组合构建提供一种实用的方法。然而，我们相信，该方法具有更广泛的兴趣，可以应用于投资组合构造理论之外的一类随机优化问题。2投资组合构造问题和HJB方程我们假设随机性的潜在来源是一个标准的p维维纳过程Z（t）∈ 带有独立分量的Rp，E[dZ（t）dZ（t）t]=Idt。（1） 这里，我表示p×p单位矩阵。我们让(Ohm, （F）t≥0，P）表示与维纳过程Z相关的过滤概率空间。我们将投资组合构建问题描述为以下随机控制问题。我们考虑一个受控随机动力系统，其状态由多维扩散过程（X（t），W（t））描述，其值取U×R，其中U 这是一个开放的集合。组件Xi，i=1，n、 X代表投资组合中单个资产的价格，w代表投资组合的总价值。我们假设n≤ p、 投资组合中每项资产的分配由（F）t表示≥0-适应的过程（t）∈ 注册护士。（X，W）的动力学由随机微分方程组给出：dX（t）=a（X（t））dt+b（X（t））dZ（t），X（0）=X。（2）漂移和扩散系数U 十、→ a（x）∈ Rnand U 十、→ b（x）∈ Matn，p（R）分别满足通常的H¨older增长条件和二次增长条件，这保证了存在性。Chaiworawitkul，P.Hagan和A.Lesniewskian给出了该系统强解的唯一性。

请注意，我们并不要求投资组合中存在无风险资产：这样的假设是不现实和不必要的。如果想要考虑无风险资产，对a和b的相关组成部分采取适当的限制是足够的。过程W由dW（t）=~n（t）TdX（t），W（0）=W（3）给出。明确地说，等式（3）为：dW（t）=П（t）Ta（X（t））dt+ν（t）Tb（X（t））dZ（t）。（4） 我们将过程W称为投资者的财富过程。我们假设投资者有一个固定的时间范围T和效用函数U。我们应将U归类为HARA效用函数家族的成员，参见附录a中财产的定义和摘要。投资者的目标是在T时最大化其财富的预期效用。因此，我们得出了以下成本函数：J[~n]=EU（W（T））, （5） 代表投资者的目标函数。LetC（x）=b（x）Tb（x）（6）表示价格过程的瞬时协方差矩阵。出于技术原因，我们应对函数a:U进行以下附加假设→ R和b:U→ Matn，p（R）：（A1）函数a（x）和b（x）对于所有x都是三次连续可微的∈ U.（A2）矩阵C（x）对所有x都是正定义的∈ 尤其是函数x→ C（x）-1是三次连续可微的。因此，我们的目标是找到最佳政策*如果W的终端值。换句话说，我们正在寻求*以至于*= arg sup~nEU（W（T））. （7） 我们通过调用随机动态规划来解决这个优化问题，参见[7]、[23]或[19]。这种方法的关键元素是值函数J（t，x，w）。

它由两个要求决定：（B1）它满足贝尔曼的最优性原则，J（t，X（t），W（t））=sup~nEJ（t+dt，X（t+dt），W（t+dt））|Ft, （8） 对于所有0≤ t<t，和（B2）它满足终端条件，J（t，X（t），W（t））=U（W（t））。（9） 随机最优控制这些条件导致值函数的以下非线性偏微分方程，˙J+sup~n在xJ+~nTawJ+tr（C）xJ）+~nTCxwJ+аTCаwJ= 0，（10）即随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程，服从终端条件j（T，x，w）=U（w）。（11） 为了求解HJB方程，我们选择了а=а*在形式上最大化了上面的圆括号的表达。换言之，ν*满足感(wJ）Cа+awJ+CxwJ=0。这会导致以下情况：a*= -xwJwJ-wJwJC-1a，（12）称为一阶条件。替换*回到HJB方程，在xJ+tr（C）xJ）-2.wJ(xwJ+C-1awJ）TC(xwJ+C-1awJ）=0。（13） 我们通过以下方法求解这个方程：J（t，x，w）=Γ（t，x）U（w）。（14） 利用命题A.1，我们发现Γ满足以下非线性偏微分方程：˙Γ+aTxΓ+tr（C）Γ) +κ( 对数Γ+C-1a）TC( 对数Γ+C-1a）Γ=0，（15）根据终端条件Γ（T，x）=1。（16） 常数κ仅取决于效用函数，由（94）明确给出。由于这不会导致歧义，我们已经抑制了关于x的导数中的下标x。请注意，最优控制φ*用Γ和U表示如下：*=AU（西） 对数Γ+C-1a, （17） 其中AU（w）是效用U的绝对风险规避系数。HJB方程的WKB展开式，我们将用渐近展开式，即WKB展开式，写出方程（15）的解。这个展开式的前几个项产生了一个近似解，有时被称为半经典近似或eikonal近似。S.Chaiworawitkul，P。

WKB渐近展开基于协方差矩阵C在某种意义上是“小”的假设。为此，我们对协方差矩阵C进行缩放→ εC，（18）其中ε是一个参数，用于跟踪C的数量级。在计算结束时，ε被设置回1。然后，等式（15）的形式为：˙Γ+aTΓ+εtr（C）Γ) +εκ( 对数Γ+ε-1C-1a）TC( 对数Γ+ε-1C-1a）Γ=0。（19） 我们以Γ（t，x）=exp的形式寻求上述方程的解εS（t，x）, （20） 式中，S（t，x）的极限为ε→ 0.将该Ansatz代入（19），我们发现S的等式在S+κ+1(S） TCS+κaTC-1a+εtr（C）S） =0。（21）以S表示的最佳控制采用以下形式：*=AUC-1a+εs. （22）我们假设S具有ε的幂的渐近展开式，S（t，x）=S（t，x）+S（t，x）ε+S（t，x）ε+O（ε）。（23）将该展开式代入方程（21）中，得到一个完整的方程层次：˙S+κ+1(S） TCS+（κ+1）aTS+κaTC-1a=0，˙S+（κ+1）（a+S） TCS+tr（C）S） =0，˙S+（κ+1）（a+S） TCS+κ+1(S） TCS+tr（C）S） =0，（24）其中每个Sj满足终端条件：Sj（T，x）=0，对于j=0，1，2。（25）这些方程中的第一个在S中是非线性的。随后的每个方程都是线性偏微分方程，系数取决于前面方程的解。我们将变量p dual定义为x byp，S、 （26）并将p称为正则动量与x的共轭。然后我们可以将第一个方程（24）写成˙S+H（x，S） =0，（27）随机最优控制，其中哈密顿量H（x，p）由H（x，p）=2γpTC（x）p+γpTa（x）+V（x）给出，其中V（x）=κa（x）TC（x）-1a（x）。（29）这种非线性偏微分方程是经典的Hamilton-Jacobi方程，参见[4]，[6]。

它的解给出了随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程解的一阶近似。从物理学的角度来看，哈密顿量（28）描述了质量为γ的粒子在势V（x）中适当的黎曼流形上运动并受到附加速度依赖力的动力学。层次结构中剩余线性方程组的解对经典解产生次领先的“随机”修正：Γ（t，x）=expεS（t，x）+S（t，x）1+O（ε）. （30）这种近似类似于经典光学中的eikonal近似或经典力学中的半经典近似。4解决WKB层次结构我们现在将描述解决WKB层次结构的方法（24）。由于层次结构中的每个方程都是一阶偏微分方程，因此适当的方法包括应用特征法，参见[4]和[6]。我们首先求解汉密尔顿-雅可比方程（27）。为此，我们记得其特征方程如下所示：˙x（s）=pH（x（s），p（s）），˙p（s）=-xH（x（s），p（s）），˙z（s）=p（s）TpH（x（s），p（s））- H（x（s），p（s）），（31），其中z（s）=s（s，x（s））。这些方程受终端条件的约束：x（T）=y，p（T）=0，z（T）=0，（32），其中p和z的终端条件是（25）和（26）的结果。特征方程（31）中的前两个是与哈密顿量H相关的正则哈密顿方程。常微分方程理论的经典结果（见[3]）保证了上述终值问题的解的存在性和唯一性，至少足够小。此外，该解平稳地取决于终值y。或者，我们可以将其解释为在具有电势的磁场中U上的运动-a（x）受外部势的影响-a（x）TC（x）-1a（x）。S.Chaiworawitkul、P.Hagan和A。

Lesniewski为了分析汉密尔顿方程，首先假设κ6=-1.他们读到：˙x=γ（C（x）p+a（x）），˙p=-十、2γpTC（x）p+γpTa（x）+V（x）,（33）或者，明确地说，˙x=γ（C（x）p+a（x）），˙pi=-2γpTC（x）xip-γ-铂a（x）xi-κa（x）TC（x）-1.夏（x）- κa（x）TC（x）-1.a（x）xi，（34）对于i=1，n、 在第6节中，我们将描述一种有效的算法，以数值方式求解这些方程。现在很容易写出哈密顿-雅可比方程的解。实际上，积分（t，x（t））=-ZTtp（s）Tdx（s）- H（x（s），p（s））ds= -ZTt2γp（s）TC（x（s））p（s）- V（x（s））ds（35）定义了汉密尔顿-雅可比方程沿特征x（s），p（s）的解。为了找到溶液S（t，x），对于每个x∈ U、 我们通过反转函数y来消除y→ x（t）。具体来说，我们将解x（t）写成形式x（t）=x（t，y）=Φt（y），（36），强调了轨迹对终值的依赖性。我们已经抑制了p的终值，因为它总是被要求为零。然后，对于每一个t<t，都是u的微分同胚。我们设置（t，x）=S（t，x（t，Φ-1t（x）））。（37）这是哈密顿-雅可比方程的理想解。（24）中的第二个方程是一个非齐次线性一阶偏微分方程，可以通过特征线法轻松求解。注意，在一个特征（x（s），p（s）），˙x（s）=γ（C（x（s））a（x（s））+S（S，x（S）））。因此，沿着x（s），扫描方程可以写成一个常微分方程，ddsS（s，x（s））+trC（x（s））S（S，x（S）））= 0，（38），因此其解为：S（t，x（t））=zttrC（x（s））S（S，x（S））ds。（39）随机最优控制与（36）相似，我们写出（t）=p（t，y）=ψt（y）。（40）然后p（t，x），xS（t，x）=ψt（Φ-我们可以写S（t，x）asS（t，x）=zttrC（x（s））p（s，x（s））ds。