因果网络

使用[42]：φs（x）- xe∏∞5吉隆坡φs（x）kxe∏（64）和n（|s |）→ |s | p，其中p>0是遇到xin s的平稳概率，我们得出结论：Prφs（x）- xe∏∞5吉隆坡φs（x）kxe∏5.!> 1.- E-|标准普尔=>公共关系φs（x）- xe∏∞> !5 e-|标准普尔(65)=>公共关系φs（x）- xe∏∞> 4.5 e-|标准普尔(66)=>公共关系φs（x）- xe∏∞> 5 e-|标准普尔（67）这就完成了证明。4串话的概率模型考虑两个遍历平稳QSP HA，HB分别在两个有限字母∑A，∑b上演化。对于这两个字母表的属性，我们不做其他假设，只要求它们是有限的，即∑A、∑B可以是相同的、不相交的或有不同的基数。假设过程HB对第一个过程的动态依赖性由串扰图F（下一步定义）决定，该图规定了给定第一个过程中的某些特定字符串，第二个过程中可能出现字符串的概率。符号5。给定一个有限字母表∑，以及相应的严格有限字符串集∑ω，以及定义4中构造的σ-代数B，我们将形式为∑ω，B，u的所有概率空间集表示为P∑。定义14（串扰图F）。给定平稳遍历QSPsHA，HBover fine alphabets∑A，∑b分别，由串扰映射F:{x∑ωA:x确定的苯环的依赖性∈ Σ?A}→P∑b定义为：十、∈ Σ?A、 F（x∑ωA）=（ωB，BB，uFx）（68），其中BB是定义4后构造的∑B上的σ-代数。

如果由HBis（ωB，BB，uB）诱导的概率空间（见引理1），则串扰映射需要满足以下一致性标准：F（ω∑）=（ωB，BB，uB）（一致性）。此外，我们假设串扰映射是遍历的，如果F（y∑ωA）=（ωB，BB，uFy），F（xy∑ωA）=（ωB，BB Fxy），则：x、 y，z∈ Σ?A、 林| y|→∞kuFy（z∑ωA）- uFxy（z∑ωA）k=0（遍历性），即某些初始段x的影响在极限内消失。串扰映射引出了交叉导数的概念。定义15（交叉衍生）。给定两个平稳的遍历QSPsHA，HBover fi fine alphabets∑A，∑bre，以及串扰映射F，交叉导数φHA，HBxat x∈ Σ?是∑b上的概率分布，如果φHA，HBx=p··pi··T、 然后，HB中的下一个符号是σi和概率pi，假设字符串在HAis x.引理8（交叉导数的显式表达式）中发生。给定平稳遍历QSPs HA、HBover fine alphabets∑A、∑B、串扰映射F，并假设HB具有PFSA表示（QB、∑B、δB、eπB），我们得到：σi∈ ∑B，φHA，HBx | i=Xτ∈Σ?BuFτ∑ωBeπB[τ] ，σi（69）证明：对于任何τ∈ Σ?B、 uFτ∑ωB是在给定字符串x的情况下，它在HBV中出现的概率∈ Σ?A.回顾与τ对应的终端状态或等价类由[τ]表示，我们注意到产生σ的概率∈ ∑Bafterτ由πB给出[τ] ，σi. 注意到x处交叉导数的输入是HB中生成σinxt的预期概率，由此得出结果。推论3（到引理8）。

空弦处的交叉导数可表示为：φHA，HBλ=Bλe∏B（70），其中Bλ是HB的aPFSA表示态上唯一的平稳分布。证明：使用引理8给出的表达式，我们得到：σi∈ ∑B，φHA，HBλ| i=Xτ∈Σ?BuFτ∑ωBeπB[τ] ，σi（71）=Xτ∈Σ?BuBτ∑ωBeπB[τ] ，σi（使用F的一致性，见定义14）=HBPr（[τ]）eπB的Xe等价类[τ] ，σi=Bλe∏Bi（72）我们打算用类似于概率自动机的对象来建模QSP之间的交叉依赖；为了达到这一效果，我们需要在这种背景下正式确定国家的地位。如前所述，我们通过定义一个适当的等价关系来实现这一点，我们称之为概率交叉-节点关系。定义16（概率交叉电极等效关系）。给定平稳遍历QSPs HA、HBover fi fine alphabets∑A、∑b，以及串扰映射F，则串扰能等效为∑？A、 表示为~哈哈，定义为：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比夫Z∈ Σ?A、 φHA，HBxz=φHA，HByz（73）显然，交叉电极等价是右不变的，即，x、 y∈ Σ?A、 x~哈比=> Z∈ Σ?A、 xz~HAHByz（74）提出了国家的概念，即如果两条弦相等，我们可以忘记哪一条才是真正的历史。这就引出了交叉概率有限状态自动机的概念，即表示交叉依赖关系的逻辑机。4.1交叉概率有限状态自动机（XPFSA）交叉自动机有一个输入字母表和一个输出字母表，其思想是建模一个有限状态概率传感器，该传感器将输入字母表上的字符串映射到输出字母表上的一组细数分布。请记住，这些字母表的元素或基数不一定相同。形式上，我们定义：定义17（交叉概率有限状态自动机）。

跨越概率有限状态自动机（XPFSA）是一个4元组≡ （Q，∑，δ，eπ∑），其中Q是一组有限的状态，∑是一组符号（称为输入字母），δ：Q×∑？→ qi是递归扩展的转移函数，∑是一个有限的输出habet，可能有∑，和π∑：Q×∑→ [0，1]是由输出字母∑参数化的输出变形函数。特别地，eπ∑（q，σ）是生成σ的概率∈ 来自astate q的∑∈ Q、 因此：Q∈ Q、 Pσ∈∑eπ∑（q，σ）=1。带有标记初始状态q的XPFSA∈ Q、 是一个带有初始标记的XPFSA，由增广的五元组（Q，∑，δ，eπ∑，Q）描述。引理9（交叉Nerode等价于初始标记的XPFSA）。与有限指数的跨极等效关系可由XPFSA编码。证明：对于平稳遍历QSP HA，HBover fine alphabets∑A，∑b，分别设Q为fine index cross Nerode关系的等价类集合~哈哈（定义16），不提| Q |<∞, 定义函数δ：Q×A→ Q、 eπ：Q×∑B→ [0,1]作为：十、∈ Σ?A、 δ（[x]，σ）=[xσ]（75a）十、∈ Σ?A、 σi∈ ∑B，eπ∑B（[x]，σi）=φHA，HBx如果要选择x∈ [x] （75b）其中我们递归地将δ扩展到y=σx∈ Σ?当δ（q，σx）=δ（δ（q，σ），x）（76）表示[λ]为q时，我们对~HAHBas a初始标记为xpfsa（Q，∑a，δ，eπ∑B，qo）。使用与消除PFSA初始决策相同的遍历性参数，我们注意到qc可以在不丢失任何信息的情况下被删除。后来我们认为XPFSA具有唯一的（直到状态重命名）最小实现，具有强连通图。图4显示了PFSA和XPFSA之间的差异。请注意，除了PFSA中的符号标签外，状态间转换还具有生成概率，而在XPFSA中，转换仅使用输入字母表中的符号进行标记。

另一方面，XPFSAson在每个状态下都有一个输出分布。这种输出分布在输出字母表上，如图4板B和C所示，输出字母表（或其元素）的大小可能不同于输入字母表的大小。4.1.1特殊情况：无依赖性和相同的样本路径下，我们调查平稳遍历过程之间可能出现的一些特殊依赖性。第一种情况是不存在依赖性，例如，HBV的进化无法从血液进化的知识中预测到任何程度。定理5（XPFSA结构：第一个结果）。对于固定的遍历字母表HA，HBover fine alphabets∑A，∑b，以下陈述是等价的：1）x、 y∈ Σ?A、 x~哈比（2）十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=v，其中v是常数向量3）十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=Bλe∏B极限：1）→ 2） ：让x，y∈ Σ?A.从定义16开始，我们有：~哈比=> Z∈ Σ?A、 φHA，HBxz=φHA，hbz=λ，使用1）我们得出结论，φHA，hbx必须是所有x的恒定向量∈ Σ?A.1）→ 2） ：根据定义16.3）→ 2） ：琐碎的。q0q1σ1 | 0.15σ0 | 0.85σ1 | 0.25σ0 | 0.75A。概率论有限状态自动机（PFSA）q0q1σ1σ0σ1σ00.2σ000.2σ010.6σ02输出分布0。5σ000.4σ010.1σ02B。（三字母输出字母表）q0q1σ1σ0σ1σ00.9σ00.1σ10.2σ00.8σ1输出分布。（两个字母的输出字母）交叉概率有限状态自动机（XPFSA）q0q1σ1 | 0.15σ0 | 0.85σ1 | 0.25σ0 | 0.75D。概率论有限状态自动机（PFSA）表示为等效交叉自动机aq0q1σ1σ0σ1σ00.85σ00.15σ10.75σ00.25σ1XPFSA，用于状态同步相同的第二个进程图。4.交叉概率有限状态自动机的说明。图A显示了一个PFSA，而图B和C显示了两个遍历平稳过程之间的交叉自动适应依赖关系。

图版B中的机器捕获了从2字母字母{σ，σ}演变为3字母{σ，σ}的过程的依赖关系。图C显示了一个XPFSA，它捕获了同一个两字母字母表{σ，σ}上的进程之间的依赖关系。请注意，XPFSA在结构上与PFSA不同；虽然后者具有与状态之间的转换相关的概率，但前者没有此类规定。另一方面，XPFSA在每个州都有一个输出分布，因此每次到达新闻状态时，XPFSA可能会被认为生成一个从特定州的输出分布中提取的输出符号。因此，可以将PFSA表示为XPFSA，如图D所示。在这种情况下，输出分布必须在同一个字母表上，在特定状态下输出特定符号的概率将是该符号从该状态产生的概率。2) → 3） ：设置x=λ，并使用引理8的推论3：φHA，HBλ=v=Bλe∏B（77）这就完成了证明。定理5基本上确定了XPFSA的结构，当它独立于第一个过程HA时，也就是说，对后一个过程中发生的字符串的了解不会影响HB中的下一个符号分布。这正是2）中所述的：交叉导数是任何字符串x∑的常数向量？A.定理5证明了在这种情况下，最小XPFSA是一个单状态机，并且这个单状态的输出分布由Bλe∏B.对于同一进程的状态同步副本，出现了最简单的非平凡依赖关系。更具体地说，给定任意量化随机遍历平稳过程的一条样本路径，我们可以将单步右移样本路径视为第二个过程。

在这种情况下获得的XPFSA（见图4，图D）计算起来很简单：4.1.2方向（in）依赖性的概念随机过程之间独立性的标准定义如下：定义18（两个随机过程的独立性）。随机过程{X（t）}，t∈ T和{Y（T）}，T∈ 不管怎样，他们都是独立的∈ N、 和ti，tn∈ 随机向量X，{X（T），··，X（tn）}和Y，{Y（T），··，Y（tn）}是独立的。引理10（独立意味着微不足道的XPFSA）。对于平稳遍历QSPs HA、HBover fine字母∑A、∑b，如果HA和HBa是独立的（定义18），那么我们有：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比^x、 y∈ Σ?B、 x~哈伊（78）也就是说，对于独立进程，两个方向上的最小XPFSA只有一个状态。证明：考虑由processesHA，hb生成的样本路径，由相应字母表上的符号序列sA，sb表示，并将流中的kthsymbol表示为sAk，sBk。修理∈ N、 考虑随机向量sv，{sA，····，sAn-1} ，W，{sB，···，sBn-1}. 同样，让zn表示sB中n符号的随机变量。那么，独立意味着：十、∈ Σ?A、 z∈ Σ?B、 σ∈ ∑B，Pr（V=x，W=z，Zn=σ）=Pr（V=x）Pr（W=z，Zn=σ）（79）让我们来描述HBbe的PFSA（Q，∑B，δ，eπB）。假设遍历过程HB的标准描述，在不损失一般性的情况下，我们将初始状态定义为平稳分布Bλ（见定义8）。然后，通过边缘化W，我们得到：十、∈ Σ?A、 σ∈ ∑B，Pr（V=x，Zn=σ）=Pr（V=x）Xqi∈QBλ即πB（qi，σ）（80），这意味着：十、∈ Σ?A、 φHA，HBx=Bλe∏B（81）类似地，使用HBto-HA的参数，我们得到Y∈ Σ?B、 φHB，HAy=Aλe∏A（82），然后使用引理5完成证明。引理11（单向依赖，独立）。

存在独立的平稳遍历QSP HA，HBover fine alphabets∑A，∑b，因此：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比，也就是说，哈托HBO公司的minimalXPFSA只有一个州。证据：我们给出了一个明确的例子。考虑通过以下递归规则（其中sAk，sbkar是步骤k的符号）生成样本路径sA，sbr的二进制字母表{0，1}上的过程sha，hb：sB=0，sA=0（83）Pr（sAk+1=0 | sBk=0）=0.8，Pr（sAk+1=1 | sBk=0）=0.2（84）Pr（sAk+1=0 | sBk=1）=0.2，Pr∈ {0,1}=0.5，Pr（sBk+1=1|sAk）∈ {0，1}）=0.5（86）从等式（86）可以直接得出：x、 y∈ Σ?A、 x~HAHBy和henceit根据引理5得出结论，哈托HBO的最小XPFSA只有一个状态。由于sb中的当前符号决定了sA中下一个符号的分布，因此进程也不是独立的。引理12（平稳分布的过渡）。设G=（Q，∑，δ，eπ）是平稳遍历QSP的PFSA表示。IfG作为其平稳分布分布分布在其状态上λ、 然后根据分布生成下一个符号λe∏，则下一个预期状态分布保持不变。证明：设v=λe∏。然后是下一个州的分布, 可使用|Q |×|Q |变换矩阵Γσ，σ计算∈ ∑（定义7）如下：= λ∑Xi=1∑ivi=λ| Q | Xj=1λj∑Xi=1∑ie∏ji（87）SinceP∑∑∑Xi=1∑∏和 j、 Pie∏ji=1，p | Q | j=1λj=1，我们得出结论：= λ| Q | Xj=1λj∏=λΠ = λ（88），完成了证明。引理13（平凡的XPFSA暗示独立的条件）。对于平稳遍历QSPs HA，HBover有限字母∑A，∑b，如果我们有：x、 y∈ Σ?A、 x~哈比^x、 y∈ Σ?B、 x~哈伊（89）然后哈勃和哈勃独立了。证明：为了给考虑中的过程中的随机变量序列指定明确的标签，让HA={WAk}，HB={WBk}，k∈ N

对于一些任意固定的s，t∈ N、 满足s5t，letHsA={WAk+s}，HtB={WBk+t}，k∈ N、 即，分别为HsA、HtBare和HbA过程的右转变体。在不丧失普遍性的情况下，我们假设过程的正则表示的初始状态为HA，HBareλ，Bλ（各因果状态的平稳分布，见定义8）。我们声称：十、∈ ∑sA，φHAs，HBtx=Bλe∏B（权利要求A）为了证实这一权利要求，我们回顾，从一个过程到另一个过程的交叉导数的定义与第二个过程中传输的对应字符串无关。换句话说，我们在第二个过程中边缘化了传输的字符串。假设Hb在平稳分布下初始化Bλ，我们得出结论，在HB中所有字符串的边缘化可能会发生在某些x中∈ ∑sA，预期状态仍然为k=s时的Bλ。因为式（89）中的第一个连词意味着：十、∈ ∑sA，φHA，HBx=Bλe∏B（90）因此，HBat k=s+1的预期状态仍然为Bλ（使用引理12）。继续边缘化k=s+1和k=t之间可能发生的所有序列，我们得出结论，k=t处的状态仍然存在Bλ，因此下一个符号将被分配为Bλe∏B。这确立了权利要求A。接下来，我们要求：十、∈ ∑tB，φHBt，HAsx=Aλe∏A（权利要求B），紧接着指出，如果x=x···xs··xt=yxs+1··xt，那么它从第二个连词inEq开始。

(89):y=x··xs∈ ∑sB，φHBs，HAsy=Aλe∏A（91），并且未来的符号xs+1··xt不会影响k=s处的下一个符号分布。此外，请注意，与之前一样，当我们计算φHBt，HAsx时，我们可以在HA中出现的所有长度s串上边缘化，这意味着k=s处的预期状态是λ。使用权利要求A和B，以及过程在k=sand k=t时的预期状态的事实，HBtareBλ和Aλ，我们得出结论：σi∈ ∑A，σj∈ ∑b，Pr（WAs+1=σi，WBt+1=σj）=Aλe∏A我Bλe∏Bj=Pr（WAs+1=σi）Pr（WBt+1=σj）（92），其确定了以下内容：s、 t∈ N、 最后，我们使用归纳法来完成证明。我们考虑序列k，kmwithi、 基∈ N.对于我们的归纳基础，我们注意到索赔C意味着WAt，WBTAR是成对独立的。作为我们的归纳假设，让随机向量WAt··WAtm-1和WBT·WBtm-1.独立。为了总结证据，我们认为：WAt··WAtm，WBt··WBtm=公共关系沃特·沃特姆-1、WBt·WBtm-1.×PrWAtm，WBtm沃特·沃特姆-1、WBt·WBtm-1.（93）=公共关系沃特·沃特姆-1.公共关系WBt·WBtm-1.×PrWAtm，WBtm沃特·沃特姆-1、WBt·WBtm-1.（94）=Pr沃特·沃特姆-1.公共关系WBt·WBtm-1.×Pr沃特姆沃特·沃特姆-1.公共关系WBtmWBt·WBtm-1.=公共关系沃特·沃特姆公共关系WBt·WBtm（95）这就完成了证明。定理6（方向依赖）。为了使平稳的各态遍历都是独立的，两个方向上的最小遍历都必须有一个单一的状态。证明：从引理10，11，和13紧随其后。定理6及其引理证明XPFSA捕捉到了方向依赖的概念，非常适合确定不同过程之间的方向因果关系。