一般仿射随机波动率下的几何亚式期权定价

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英文标题：
《Geometric Asian Option Pricing in General Affine Stochastic Volatility
  Models with Jumps》
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作者：
Friedrich Hubalek, Martin Keller-Ressel, Carlo Sgarra
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we present some results on Geometric Asian option valuation for affine stochastic volatility models with jumps. We shall provide a general framework into which several different valuation problems based on some average process can be cast, and we shall obtain close-form solutions for some relevant affine model classes.
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中文摘要：
本文给出了带跳跃的仿射随机波动率模型的几何亚式期权估值的一些结果。我们将提供一个通用的框架，基于一些平均过程，我们可以将几个不同的估值问题转换成这个框架，并且我们将获得一些相关仿射模型类的闭式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Geometric_Asian_Option_Pricing_in_General_Affine_Stochastic_Volatility_Models_wi.pdf (266.99 KB)

2022-5-6 10:52:42 上传

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关键词：亚式期权定价 亚式期权 期权定价 波动率 Quantitative

几何亚式期权定价的一般有效随机波动模型与JumpsFriedrich Hubalek，维也纳理工大学金融与精算数学，Wiedner Hauptstrasse 8/105–1，A–1040奥地利维也纳(fhubalek@fam.tuwien.ac.at)马丁·凯勒·雷塞尔，柏林大学数学研究所，17街。Juni 136，D–10623柏林，德国(mkeller@m阿瑟。柏林。卡洛·斯加拉*数学系，米兰理工学院，莱昂纳多·达芬奇广场，32岁，I-20133意大利米兰（卡洛）。sgarra@polimi.it)2014年7月10日摘要本文给出了带跳跃的随机波动率模型的几何亚式期权估值的一些结果。我们将提供一个总体框架，根据一些平均过程，可以将几个不同的估值问题转化为该框架，并为一些相关的有效模型类提供封闭形式的解决方案。关键词：几何亚式期权、平均行使期权、平均价格期权、随机波动性、有效过程。1简介亚洲期权是非常常见的衍生工具，通常与其他金融债权相结合，以构建结构性产品[Kat0 1]；事实上，它们可以在动荡的市场中防止强烈的价格波动，并减少临近到期时市场操纵的可能性。这是因为亚式期权大致上是基于期权有效期内标的人假设的平均值的期权，它们需要一些数学效应来描述所考虑的平均值的动态。

出于这些原因，开发现实的财务模型和有效的数值算法来评估这些选项是非常必要的。亚式期权通常根据其收益分为两大类：如果STI是标的资产到期时的价值T，K是履约价格，ATI是考虑期内股票假设价值的适当平均值，被称为“平均罢工”（有时被称为“浮动罢工”）的ian通话的回报如下所示：- AT）+，而“平均价格”（有时被称为“固定罢工”或“平均利率”）的亚洲电话的支付方式是：（AT）- K） +。平均考虑*通讯作者。电话：+390223994570；传真：+39 02 2399 4621可以是几何的，也可以是算术的，可以在连续或离散的基础上进行计算。由于亚洲期权主要是场外（场外）交易的金融衍生品，所有这些细节都由两个对应方规定的合同规定。关于算术亚式期权，有几个结果可用。在经典的Black-Schole框架中，H.Geman，M.Yor[GY93]和D.Dufresne[Duf01]提出了一种基于布朗运动性质指数泛函的估值方法，而D.Dufresne[Duf05]在另一篇论文中给出了一些与B esselprocess相关的显式估值公式。最近，在M.Schr¨order[Sch08]的论文中，对算术亚式期权进行了全面分析，强调了通过复杂分析和解决主要估值问题的特殊功能实现的规则。在H.Albr echer and M.的论文中，包含了关于算术亚式期权的一些结果。

Predota[AP04]，其中描述潜在进化的列维过程被认为是NIG类型，H.Albrecher[Alb04]也提出了这一点。当显式公式不存在时，已经提出了一些精确的解析近似，如[MP98]中所述。据我们所知，J.Veˇcer和M.Xu[VX04]的论文是唯一一篇在一般半鞅环境下处理算术亚式期权估值问题的论文，其中提供了一个部分积分微分方程，用于解决具有独立增量的过程描述的基础期权的特殊情况下的问题。J.-P.Fouque和C.-H.Han[FH03]的论文通过扩展J.Veˇcer和M.Xu[VX04]引入的约化技术，在随机波动性框架下研究算术亚式期权的估值问题。就价格的上下限而言，算术亚式期权在连续[SGD00]和离散监控情况[VDL+06]中都有一些结果，在这种情况下，为了提供这样的结果，可以方便地使用同音性属性。[AG03]中已经考虑了亚洲期权的套期保值问题，其中研究了静态策略。就几何亚式期权而言，它们在基本Black-Scholessetting中的估值非常简单。虽然直接参数可以为几何平均费率呼叫（在持续监控下）提供明确的解决方案，但稍微复杂一些的计算至少可以为相同框架下的平均罢工呼叫（仍在持续监控下）提供准确的数值近似值[WHD95]。就Levy模型而言，还可以得到几个结果：我们在这里回忆一下张建斌（C.B.Zhang）和C.W.的论文。

奥斯特利[ZO13]。对于离散监测案例，L’evy模型的一些确定结果如[FM08]所示。[Gla04]指出，几何亚式期权定价对于通过控制变量的蒙特卡罗方法进行算术平均期权估值也非常有用。就随机波动率模型而言，ls是共同作用的，而YL.Cheung和H.Y.Wong[CW04b]通过摄动方法获得了随机波动率模型中几何期权的一些半解析公式，这些模型表现出均值回复行为。I.Peng的论文研究了局部波动环境下的几何亚式期权估值，即在CEV模型中[Pen06]。E.Gobet和M.Miri[GM11]已经获得了基于渐近展开技术的最新结果。在B.Kim和I.S.Wee[KW11]最近的一篇论文中，研究了Heston提出的随机波动率模型的几何亚式期权定价问题。长期以来，布莱克-斯科尔斯模式的内在局限性是众所周知的。特别是，股票价格分布所表现出的厚尾、波动聚类、聚集高斯特性，以及经验观察到的波动微笑和杠杆效应，都不能用该模型来解释。虽然基于L’evy的模型和随机波动模型可以分别解释其中一些现象，但包含随机波动和跳跃这两个特征的模型可以提供更真实的股价行为描述。文献中已经提出了几种此类模型，我们在此仅提及D.Bates[Bat96]、[Bat00]、O.E.Barndor ff-Nielsen和N.Shephard[BNS01]、[BNNS02]提出的模型，以及P.Carr、H.Geman、D.Madan和M.Yor[CGMY03]、[CW04a]等人提出的时间变化的L\'evy模型。

这种建模上的实质性改进所要付出的代价是，在计算衍生品时要付出更大的困难。在这种更普遍的情况下，很少有结果可用。在[HS11]中，当随机波动性和跳跃性都发挥作用时，在连续监控下，针对固定和浮动的几何亚式期权，给出了一个半显式的评估公式；在该文件中，考虑了一个特定的模型框架，即巴恩多夫-尼尔斯和谢泼德模型。根据D.Duffee、D.Filipovic和W.Scha chermayer[DFS03]提供的定义，上述定价模式中几乎所有随机波动性特征与跳跃相结合的定价模式都属于一大类有效模型。这一类包括几乎所有与许多不同类型的基础资产相关的文献中最流行的定价模型：固定收益证券、信用风险模型、股票和商品。这些模型的许多相关特征可以通过有效流程方法提供的非常通用的框架以统一的方式进行描述。为了更广泛地讨论有效模型的一般性质和一些相关的技术问题，我们提到了M.Kelle r-Restel[KR08]的论文。我们想在此回顾另一类相关的估值问题，需要描述一些平均过程，即已实现波动率和方差互换期权。最近的几篇论文在不同的背景下探讨了这些估值问题。在J·卡尔森、J·穆勒·卡尔比安和M·M·J·卡尔森的论文中。

Voss[KMKV11]对一个有效的随机波动率模型中基于方差的期权定价进行了广泛的研究；[BGK07]中提供了巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型框架中的一些结果，而[CLW12]中研究了时变L’evy模型的方差互换定价。本文的贡献在于，当描述对数收益率和波动率联合动态的基本过程是有效的时，开发了一个广义估值方案，并为几何亚式期权提供了一些半显式的估值公式。我们将提供一个相当一般的框架，在这个框架中可以制定和解决几个不同的估值问题：所有这些问题都基于变量的几何平均值，包括平均价格和平均str-ikeAsian看涨期权；方差期权估值也可以被纳入目前的框架，但仅适用于连续收益过程，我们将在第3节中讨论。在下一节中，我们将介绍本文中使用的一般设置和符号，而在第3节中，我们将介绍积分泛函的有效表示的介绍性结果。在第4节中提供了一个基于数值技术变化的辅助结果，该结果将被证明对平均行使期权的计算有用。在第5节中，我们将在ageneral a ffine框架中介绍几何亚式期权估值的一般结果。在第6节中，我们将把我们的一般结果应用于最普遍的有效随机波动率模型，并为这些模型提供平均价格和平均执行期权的半显式公式。

在第7节中，我们将继续介绍本文获得的主要结果，并概述一些可能的研究进展。2模型设置本节的目的是阐明我们将在其中发展定价问题的框架，并阐明以下所采用的基本符号。本文回顾的结果主要基于[KR08]和[KR11]中提供的治疗。我们确定了一些时间范围T>0，我们希望对一些金融资产的价格过程进行建模。让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，它支持我们在续集中遇到的所有过程。如果一个过程的特征函数是状态向量的指数函数，即存在φ：R+×U函数，我们将其称为状态空间D=Rm+×rnn的随机连续时间齐次马尔可夫过程（Xt，Px）→ C-, ψ：R+×U→ 你这样说E[exp u·Xt | X]= φ（t，u）+X·ψ（t，u）（1）表示所有（t，u）∈ R+×U，其中c-:= {u∈ C:RU≤ 0}和U:=Cm-×iRn。（2） 按照惯例，上面的对数表示复平面上的可分辨对数，这使得φa和ψjo在复平面上完全连续（参见[DFS03]）。注意，由于马尔科夫性质，一个类似的方程也适用于以x为条件的膨胀，即对数E[exp u·Xt|Xs]= φ（t）- s、 u）+Xs·ψ（t）- s、 u）（3）所有0≤ s≤ t和u∈ U.如果导数为：F（U）：=φt（t，u）| t=0+，R（u）：=ψt（t，u）| t=0+，存在于所有u∈ U、 并且在U=0时是连续的。

[KRST10]表明，上述定义意义上的任何有效过程都是正则的，因此函数F（u）和R（u）定义良好。因为函数F（u）和R（u）完全刻画了过程（Xt）t≥它们被称为（Xt）t的功能特性≥0.在下文中，我们需要截断函数的概念，但我们将在必要时指定将使用的截断函数。当一个有效流程被用来描述某项资产的价格动态时，我们将其称为有效定价模型。在下文中，我们将假设（风险中性）股票价格过程为asSt=exp（r）- q） t+Xt}，（4）其中r是无风险利率，q是股息收益率，Xt是贴现除数修正对数价格过程。让Vt表示另一个V>0的（一维）过程，使得（Xt，Vt）是一个随机连续的时间齐次马尔可夫过程。如果（Xt，Vt）的累积生成函数为特殊形式，我们将过程（Xt，Vt）定义为一个有效的随机波动率模型E[exp{uXt+wVt}|X，V]= φ（t，u，w）+Vψ（t，u，w）+Xu。（5） 请注意，该设置如[KR11，第5节]所示，我们将采用命名法并调用（Xt，Vt）有效随机波动率（ASV）过程和相关资产价格模型ASVmodel。备注1。二元A函数模型具有函数特征F和R=（R，R）。AnASV的R=0，我们将R=Rand设为函数特征。下面的定理刻画了正则ASV过程，并为函数F，R提供了一个表示结果。定理1。[DFS03，定理2.7]让（Xt，Vt）t≥0成为常规ASV流程。

然后存在一组参数（a，α，b，β，c，γ，m，u），其中a，α是正半限定矩阵，b，β∈ R、 c，γ≥ 0和m，u是R上的L′evy测度，例如t hatF（u，w）=（u，w）·a·（u，w）t+b·（u，w）t- c+ZD\\{0}exu+yw- 1.- hF（x，y）·（u，w）Tm（dx，dy）R（u，w）=（u，w）·α·（u，w）T+β·（u，w）T- γ+ZD\\{0}exu+yw- 1.- hR（x，y）·（u，w）Tu（dx，dy），保持，其中hF（x，y），hR（x，y）是合适的截断函数。此外，（5）中的函数φ和ψ完全满足广义Riccati方程：tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w）），φ（0，u，w）=0，（6）tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w）），ψ（0，u，w）=w。对于期权定价，我们采用了一个保结构鞅测度。这意味着，我们选择一个等价的鞅测度，使得模型结构保持不变，只改变模型参数。对于几个具有有效结构的特殊模型，对等价鞅测度类进行了非系统研究，也提供了结构保持测度子类的完整特征：对于BNS模型，我们提到了E.Nicolato和E.Venardos[NV03]的论文，而对于贝茨模型，[Bat96]中包含了对该主题的简要讨论。以下命题为一个过程保守（即非爆炸）和鞅提供了充分条件：1上的命题。[KR11，推论2.1]让（Xt，Vt）像之前一样定义，数量χ（u）定义如下：χ（u）：=Rw（u，w）| w=0。（7） 如果F（0，0）=R（0，0）=F（1，0）=R（1，0）=0和max{χ（0），χ（1）}<∞, exp{Xt}是一个保守过程和一个鞅。注意，F（0，0）=R（0，0）=0相当于ASV模型的c=γ=0.3积分泛函。如上文所述，起点是一个有效的ASV模型（X，V）。