买卖价差市场中的套利

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英文标题：
《Arbitrage in markets with bid-ask spreads》
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作者：
Przemys{\\l}aw Rola
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper a finite discrete time market with an arbitrary state space and bid-ask spreads is considered. The notion of an equivalent bid-ask martingale measure (EBAMM) is introduced and the fundamental theorem of asset pricing is proved using (EBAMM) as an equivalent condition for no-arbitrage. The Cox-Ross-Rubinstein model with bid-ask spreads is presented as an application of our results.
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中文摘要：
本文考虑具有任意状态空间和买卖价差的有限离散时间市场。引入等价买卖鞅测度（EBAMM）的概念，利用EBAMM作为无套利的等价条件，证明了资产定价的基本定理。作为我们结果的一个应用，本文提出了带有买卖价差的Cox-Ross-Rubinstein模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Arbitrage_in_markets_with_bid-ask_spreads.pdf (467.74 KB)

2022-5-6 11:04:20 上传

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关键词：Quantitative Optimization Differential Applications Application

买卖市场中的套利推广了资产定价的基本定理无限离散时间市场中的买卖和货币帐户普泽米斯定律。本文考虑具有任意状态空间和买卖价差的有限离散时间市场。引入了等价投标askmartingale测度（EBAMM）的概念，并用EBAMM作为无轨道的等价条件证明了资产定价的基本理论。作为我们结果的一个应用，提出了具有买卖价差的Cox-Ross-Rubinstein模型。1.引言资产定价的基本定理，通常称为Dalang MortonWillinger定理，指出对于标准的离散时间有限期证券市场模型，当且仅当价格过程是关于等价概率测度的鞅时，才不存在套利。然而，在没有摩擦的市场中没有套利的等价条件已经被提出并充分证明，直到90年代，即使在有比例交易成本的市场中，没有套利的等价条件的一般问题仍然是开放的。另一方面，在这个话题上做了许多伟大而有意义的工作。我们很快就会回忆起一些关于多资产离散时间摩擦模型的论文。在Kabanov，R\'asonyi的论文[7]中，Stricker在充分摩擦假设下给出了不存在所谓弱套利机会（即严格无套利）的等价条件。Kabanov和Stricker在[10]中证明了该定理的一般版本，但在具有有限状态空间的模型中Ohm.不久之后，Schachermayer在他的著名论文[13]中给出了不存在所谓稳健无套利的同等条件。

一般定理表明，鲁棒无套利等价于严格一致价格系统的存在性。此外，由于Schachermayer在[13]中给出的反例，稳健无套利不能被严格无套利所取代。在这个方向上，Grigoriev在[4]中证明了一个非常有趣的定理。将[10]的一般结果推广到任意情况Ohm 在2个资产的特殊情况下。该定理的一个推论是，在有标量过程Sb、Sa和货币账户的市场中，无套利等价于过程S的存在，这是2010数学主题分类下的一个等价鞅。91G80、60G42、60G40、91B25。关键词和短语。套利，买卖价差，一致价格体系，买卖鞅测度。2普泽米斯定律概率测度和满足不等式Sb≤~S≤ 萨。在我们的术语中（我们以与[6]类似的方式介绍），它只是意味着，在一项风险资产和一个货币账户的情况下，没有套利等同于存在阿比德-阿斯克一致价格体系。对于任意风险资产，这个问题仍然存在。然而，文献[4]的作者提出，它的解决方案似乎是消极的。本文的目的之一是分析有报价和货币账户的市场的一般模型，以研究格里戈里耶夫的问题。具有买卖价格过程的市场模型主要是在Jouini和Kallal[6]的著名论文中发展起来的，其中的主要结果表明，没有所谓的免费午餐相当于存在一个买卖一致的价格系统。值得注意的是，格里戈里耶夫[4]的结果也加强了Jouini和Kallal在一项风险资产中的作用。

在本文中，我们引入了等价的买卖鞅测度的概念，并证明了在具有买卖价差和任意状态空间的模型中Ohm 这种计量的存在相当于没有套利。另一方面，我们证明了在相同的等价概率测度下，（EBAMM）的存在性等价于上鞅和下鞅一致价格系统的存在性。我们希望本文的主要定理有助于解决格里戈里耶夫假说。在某种意义上，它发展了[6]和[4]的结果。此外，（EBAMM）的概念可以被视为等价鞅测度的推广，该测度已成功应用于无摩擦市场。它也可以绕过一个过程的存在条件，这个过程在买入价和卖出价过程之间演化，并且是一个在某些等价概率测度下的鞅。很明显，这样的过程不可能真正存在，而只是定价的有用工具。我们相信，本文对摩擦市场中的风险理论做出了贡献，并可能以一种可理解的方式回答其中的一些问题。论文的结构如下。第2节介绍了金融市场的模型和一些基本定义。第三节给出并证明了主要定理。最后一章包括实例以及所得结果的应用。主要介绍了具有买卖价差的Cox-Ross-Rubinstein模型。2.金融市场的数学模型(Ohm, F、 P）是一个具有离散时间过滤F=（Ft）Tt=0的完整概率空间，使得Ft=F和T是一个有限的时间范围。假设市场上有两个过程S=（St）Tt=0=（St，…，Sdt）Tt=0和=（St）Tt=0=（St，…，Sdt）Tt=0，这两个过程是d维的，适用于F，并且具有严格的正分量，即。

坐姿>0和坐姿>0，P-a.e.此外，我们假设坐姿≤ 对于任何t=0，1，T和i=1，d、 这些过程分别是用于出售和购买的股票的模型价格，即投资者可以在每一时刻分别以Sit和Sit的价格购买或出售无限量的第i股股票。我们将称之为“出价”过程和“要价”过程。类似地，这一对将被称为买卖价格过程。假设市场上存在一个货币账户或债券，这是一个严格正的可预测过程B=（Bt）Tt=0，所有交易都是在这个过程中计算的。为简单起见，我们假设Bt≡ 1表示所有t=0，在买卖价差为3的市场中，为了避免技术上的模糊性，我们将-1:= {, Ohm}. 值得注意的是，由于折扣过程，这个假设并没有限制我们模型的通用性。[3]的第2.1章详细描述了无交易成本市场的情况。市场中的交易策略是一个d维过程H=（Ht）Tt=1=（Ht，…，Hdt）Tt=1，这对于F是可预测的。我们用PT表示所有此类策略的集合。我们也来定义它的子集P+T:={H∈ PT|H≥ 0}，P-T:={H∈ PT|H≤ 0}其中随机向量H≥ 你好≥ 0表示anyi=1，d、 我们使用符号（H·S）t:=Ptj=1Hj·Sjwhere·是Rd中的内部产品。设x=（xt）Tt=1b是市场中的一个价值过程，从银行和股票账户中的0个单位开始对策略H进行报价，即xt定义如下xt=xt（H）：=-tXj=1(Hj）+·Sj-1+tXj=1(Hj）-· Sj-1+（Ht）+St- （Ht）-·Stwhere嗨- 你好-1对于任何i=1，d和j=1，t、 尤其是weputHi=Hi我们通常会跳过内部产品的符号。随机变量XT对t之前发生的收益或损失进行建模。

第一笔金额是截至时间t的资产购买总额，尽管第二笔金额与总销售额相对应。请注意，在时间t时，我们清算了风险资产中的所有头寸，以下等式满足ptj=1Hj=Ht。它可以解释如下。如果我们想知道我们的投资组合在当时的真实价值，我们应该用货币账户的单位来计算。要做到这一点，我们应该清算风险资产的所有头寸。实际上，这个程序不能在实际中执行。我们只能用它来计算投资组合的价值。在文献中，它被称为投资组合的即时清算价值（另一方面，参见[1]，其中考虑了按市值计价）。备注2.1。请注意，资产单位的所有变动必须通过借款或投资货币账户获得。因此，我们在货币账户中的地位是由战略决定的，这实际上是自我融资。我们将使用符号L（Rd，Ft）来表示RDF中Ft可测量的随机向量值集，按照L（Rd）代表L（Rd，Ft）的约定。在随机变量（即d=1）的情况下，我们将简单地使用缩写L（Ft）：=L（R，Ft）和L:=L（R）。此外，设L+（Rd，Ft）表示仅由非负随机向量组成的L（Rd，Ft）子空间。为了简化符号，我们将使用与之前相同的约定，即在适当的情况下书写L+（Rd）、L+（Ft）、L+。此外，标准空间是L∞他们也受到同样的对待。为了使我们的推理更加清晰，我们引入了≤ T≤ t+k≤ 坦德H∈ L（路，英尺）-1） 以下随机变量：xt-1，t+k（H）：=-（H） +·圣-1+（H）-· 圣-1+（H）+·St+k- （H）-· St+k.现在让我们定义：={xT（H）|H∈ PT}和一组可对冲索赔，其格式为：=RT- L+。通过ATwe，我们表示ATin概率的闭合。

以下定义至关重要。4普泽米斯法律角色定义2.2。我们说，当且仅当（NA）RT时，市场上没有套利∩ L+={0}。请注意，条件（NA）相当于AT∩L+={0}。现在我们介绍另一个集合，它简化并使证明主要定理成为可能。让usde确定任何0≤ j<t≤ T：（2.1）R+j，T:={H·（St）- Sj）|H∈ L+（Rd，Fj）}，（2.2）R-j、 t:={H·（St）- Sj）|- H∈ L+（Rd，Fj）}。此外，对于任何1≤ T≤ t+k≤ 我们不能把（2.3）英尺-1，t+k:=R+t-1，t+k+R-T-1，t+k，英尺-1，t+k:=Ft-1，t+k- L+（英尺+k）。作为集合RTA和Atwe定义的任何t=1，T以下组（2.4）Ft:=Xj<tR+j，T+Xj<tR-j、 tand Ft:=Ft- L+（英尺）。因此，我们还引入了（2.5）∧T:=TXt=1Ft- L+。备注2.3。请注意，设置为Ft-1，t+k，英尺-1，t+k，Ft，fta和∧皮重凸锥和∧t=PTt=1Ft。引理2.4。让我们看看∩ L+={0}，则在任何时间范围1的市场中都没有套利≤ T≤ T，即在∩ L+（Ft）={0}。证据请注意，如果在时间范围为t的模型中，H是一种套利策略（因此在时间t时，我们清算所有股票头寸），那么在时间范围较大的模型中，H也是一种套利策略，尤其是在时间范围为t的模型中。在时间t之前和之后的0之前，必须采用相同的策略H。我们现在介绍一致价格体系的定义，类似于[6]中的定义。定义2.5。我们说，一对（~S，~P）是市场中具有买卖价差的一致价格系统（CPS），当~P是一个概率测度，相当于PandS=（~St）Tt=0是一个d维过程，适用于过滤F，它是一个~P-鞅，以下不等式是满足的≤坐下≤ 坐下，P-a.e.对于所有i=1，d和t=0。

T如果过程S是一个P-上鞅（~P-下鞅），那么我们说apair（~S，~P）是一个上鞅一致价格系统（supCPS）（分别是一个子鞅一致价格系统（subCPS））。我们引入了所谓的等价买卖鞅测度的概念，它将在没有摩擦的市场中发挥与等价鞅测度类似的作用。具有买卖价差的市场套利5定义2.6。我们应该说，概率测度Q是等价的投标-询价过程的投标-询价测度（EBAMM），如果Q~ P、 满足（2.6）所有Stare可积和以下不等式-1.≤ 均衡器（坐姿|英尺-1） 和EQ（坐|英尺-1) ≤ 坐-1，P-a.e.对于任何t=1，T和i=1，d、 对这一措施的解释是显而易见的。让我们在股票市场的背景下考虑（EBAMM）。如果我们在任何时候购买股票- 1.价格优惠-1平均而言，我们不应该期望，当时我们出售股票的价格（即atprice Sit）比之前购买股票的价格更好。另一方面，类似的情况是，如果我们卖空股票。下面的引理表示（CPS）和（EBAMM）之间的直接关系。引理2.7。假设模型中存在（CPS）。然后存在一个等价的买卖鞅测度（EBAMM）。证据让（~S，Q）成为一个一致的价格体系。那么对于任何t=1，T andi=1，我们有以下不等式：EQ（Sit | Ft-1) ≤ 均衡器（~Sit | Ft）-1） 坐下-1.≤ 坐-1.坐下-1.≤坐下-1=EQ（坐下|英尺）-1) ≤ 均衡器（坐姿|英尺-1).备注2.8。EBAMM的概念可以看作是无摩擦市场中等价鞅测度（EMM）的推广。

事实上，当我们假设S=S时，我们的模型可以归结为一个没有交易成本的有限离散时间市场模型（EBAMM）实际上与（EMM）相同。因此，从直觉上看，这个概念表明，如果我们可以将过程（S，S）视为一个整体，那么这样一个过程的行为应该类似于一个鞅，在一个等价的概率测度下，精确到买卖价差。3.主要结果在本章开始时，我们给出了不存在套利的充分条件，即一致价格系统的存在。这个结果是标准且众所周知的，但我们将在我们的模型中使用稍微弱一点的假设来证明它。定理3.1。假设存在（supcp）（^S，Q）和（subcp）（^S，Q）。让我们定义集合（3.1）~RT:={（^H·S）T+（71h·S）T|H∈ P+T，ˇH∈ P-T} 。然后RT∩ L+={0}我们的模型中没有套利，即∩ L+={0}。引理3.2。让我们定义（3.2）~RbT:={（H·S）T+（H·S）T |H∈ P+T，ˇH∈ P-这里有界。然后是条件RT∩ L+={0}相当于RbT∩ L+={0}.6普泽米斯定律。请注意，条件-RT∩ L+={0}等价于任何一步模型的无轨道，即在我们的符号（3.3）{^η中^St+ηˇSt:^η，-ˇη ∈ L+（英尺-1)} ∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，T我们将使用[8]中的类似推理，见第2.1.1章。假设在任何一步模型中都没有套利。我们证明了不存在套利。拿最小的t≤ 不是这样的∩ L+（Ft）6={0}，注意1<t<t。

因此存在两种策略^H∈ P+t，ˇH∈ P-tsuchthat（3.4）（^H·S）t+（71h·S）t≥ 0和P（（^H·^S）t+（ˇH·S）t>0）。由于t的选择，集合Γ：={（^H·^S）t-1+（ˇH·S）t-1<0}是严格正概率（我们把η：=11Γ^Ht，ˋη：=11ΓHt）或集合Γ：={（^H·^S）t-1+（ˇH·S）t-1=0}是完全测量的（我们取^η：=11Γ^Ht，ˋη：=11ΓHt）。无论如何，我们都有矛盾。因此我们可以假设存在∈ L（路，英尺）-1） 满足以下条件（3.5）Ht~St≥ 0，P-a.e.和P（Ht~St>0）>0。必须证明存在Ht∈ L（路，英尺）-1） ，它是有界的，满足条件（3.5）。一个人可以采取以下措施：=HtkHtkHt6=0,0 Ht=0。也可以使用[8]中的参数（第2.1.1章）。让我们定义序列Hnt:=Ht{kHtk≤n} 。然后存在足够大的n∈ N因此HNTSATIS FIES（3.5）。定理3.1的证明。根据引理3.2，必须证明RbT∩ L+={0}。LetX=（^H·^S）T+（ˇH·S）T∈~RbT∩ L+。因此（^H·^S）T+（71h·S）T≥ 0，特别是H是一个有界策略。我们证明了EQ[（^H·^S）T+（ˇH·S）T]≤ 0.假设^S是Q-上鞅，^S是Q-下鞅，我们得到EQ（^Ht）^St|Ft-1） =^HtEQ(^St|Ft-1) ≤ 0.类似地EQ（ˇHt|St|Ft-1) ≤ 0.总结（3.6）EQ[（^H·S）T+（ˇH·S）T]≤ 因此X=0，Q-a.e.根据测度X=0的等价性，P-a.e.我们展示了∩ L+={0}。随便吃点什么∈ 在∩ L+。然后满足以下不等式：0≤ ξ ≤ -TXt=1(Ht）+St-1+TXt=1(（Ht）-圣-1+（HT）+ST- （HT）-让我们注意到，对于任何策略∈ p存在策略^H∈ P+TandˇH∈ P-查克点击=^Hit+击中。