期货衍生品的多尺度随机波动模型

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英文标题：
《Multiscale Stochastic Volatility Model for Derivatives on Futures》
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作者：
Jean-Pierre Fouque, Yuri F. Saporito, Jorge P. Zubelli
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we present a new method to compute the first-order approximation of the price of derivatives on futures in the context of multiscale stochastic volatility of Fouque \\textit{et al.} (2011, CUP). It provides an alternative method to the singular perturbation technique presented in Hikspoors and Jaimungal (2008). The main features of our method are twofold: firstly, it does not rely on any additional hypothesis on the regularity of the payoff function, and secondly, it allows an effective and straightforward calibration procedure of the model to implied volatilities. These features were not achieved in previous works. Moreover, the central argument of our method could be applied to interest rate derivatives and compound derivatives. The only pre-requisite of our approach is the first-order approximation of the underlying derivative. Furthermore, the model proposed here is well-suited for commodities since it incorporates mean reversion of the spot price and multiscale stochastic volatility. Indeed, the model was validated by calibrating it to options on crude-oil futures, and it displays a very good fit of the implied volatility.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种新的方法来计算期货衍生品价格在Fouque\\textit{et al.}（2011，CUP）的多尺度随机波动背景下的一阶近似值。它为Hikspoors和Jaimungal（2008）中提出的奇异摄动技术提供了一种替代方法。我们方法的主要特点有两个：第一，它不依赖于任何关于支付函数规律性的附加假设，第二，它允许对模型进行有效且直接的校准，以确定隐含的波动率。在以前的作品中没有实现这些功能。此外，我们方法的核心论点可以应用于利率衍生品和复合衍生品。我们方法的唯一先决条件是基础导数的一阶近似。此外，本文提出的模型非常适合大宗商品，因为它包含现货价格的均值回归和多尺度随机波动。事实上，通过将该模型与原油期货期权进行校准，该模型得到了验证，并显示出与隐含波动率非常吻合的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Multiscale_Stochastic_Volatility_Model_for_Derivatives_on_Futures.pdf (453.75 KB)

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关键词：波动模型 衍生品 Quantitative Applications volatilities

未来衍生品的多尺度随机波动率模型*, Yuri F.Saporito+，Jorge P.Zubelli2018年6月10日摘要在本文中，我们提出了一种新方法，在Fouque等人（2011，CUP）的多尺度随机波动背景下，计算期货衍生品价格的一阶近似值。它为Hikspoors和Jaimungal（2008）中提出的奇异摄动技术提供了一种替代方法。我们方法的主要特点有两个：首先，它不依赖于任何关于支付函数规则性的附加假设，其次，它允许对模型进行有效且直接的校准，以确定隐含的波动率。这些特征在以前的作品中没有实现。此外，我们方法的核心论点可以应用于利率衍生品和复合衍生品。我们方法的唯一先决条件是基础导数的一阶近似值。此外，本文提出的模型非常适合大宗商品，因为它包含现货价格的反转和多尺度随机波动。事实上，该模型通过将其校准为原油期货期权进行了验证，并显示了非常好的隐含波动性。1简介在许多金融应用中，未充分考虑的衍生产品合同的基础资产本身就是衍生产品。这类复杂且交易广泛的产品的一个非常重要的例子是期货合约上的衍生品。我们将在Fouque等人提出的多尺度随机波动的背景下研究此类金融工具。

[2011].众所周知，在无套利假设下，人们可以找到一个风险中性概率测度，使得该市场中的所有可交易资产在适当贴现时，都是该测度下的鞅（见Delbaen和Schachermayer[2008]*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.NSF拨款DMS-1107468支持的工作。+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，931063110，saporito@pstat.ucsb.edu.这项工作得到了富布赖特赠款15101796和巴西教育部CAPES基金会的支持，巴西布拉斯利亚DF 70.040-020IMPA（材料与应用研究所），美国东部。D.巴西里约热内卢卡斯托里纳110号，RJ 22460-320，zubelli@impa.br.CNPq在302161和474085拨款项下支持的工作，以及法佩尔在CEST和PENSARIO项目下支持的工作。关于这个主题的广泛论述）。在本文中，我们假设利率不变。到期日为T的资产V的未来合同是在期货交易所交易的标准化合同，双方同意以合同签订之日商定的价格交易资产V。这种事先安排好的价格叫做罢工。到期日为t时的期货价格≥ 资产V的t（用Ft表示）定义为未来合同V的执行，到期日为t，在t时不支付溢价。符号中，Ft，t=EQ[VT | Ft]，（1.1），其中Q是风险中性概率。

如果资产V是可交易的，那么我们只需要haveFt，T=er（T-t） Vt，其中r是恒定利率，然后未来的衍生品可以用处理资产本身衍生品的完全相同的方式来处理。当利率不变时，当资产不可交易时，未来价格是非平凡的，因此贴现资产价格不是鞅，例如参见[Musiela and Rutkowski，2008年，第3章]。这将是我们的主要假设：资产是不可交易的。更准确地说，我们假设资产价格呈现均值回归。这类资产的一些例子包括：商品、货币汇率、波动性和利率。文献中大量记录了金融资产波动中存在随机因素的经验证据，例如Gatheral[2006]及其参考文献。Fouque等人[2003b]报告了标准普尔500指数波动中存在的快速时间尺度。我们请读者参考Fouque等人[2011]对这一主题的全面阐述。多尺度随机波动率模型导致衍生品价格的一阶近似值。该近似值由Black-Scholes price给出的前导项和平均有效波动率组成，一阶修正仅涉及该前导项。在隐含波动率方面，这种扰动分析转化为对数货币到期率（LMMR）的有效近似值。随后，这导致了集团市场参数的简单校准程序，这些参数也用于计算奇异衍生产品价格的一阶近似值。由于我们问题的性质，未来价格，即考虑中的衍生产品的基础资产，其动态明确取决于波动的时间尺度。

这与通常的扰动理论和衍生品定价问题产生了重要区别。本文提出的方法可以描述如下：（i）为未来的Ft写出随机微分方程（SDE），其中所有系数仅取决于Ft，T。这意味着我们需要反转V的未来价格，以便将Vt写成Ft，T的函数。（ii）考虑Ft上欧洲导数的定价偏微分方程（PDE），T.该PDE的系数将以复杂的方式取决于资产的短期波动的时间尺度。在这一点上，我们使用微扰分析通过扩展系数来处理这种偏微分方程。（iii）确定金融时报衍生工具的一阶近似值，如inFouque等人[2011]所做。事实上，这种方法并不是解决这个问题的唯一方法。相反，我们本可以将这种复合衍生工具视为资产中一种更精细的衍生工具，然后找到Hikspoors和Jaimungal[2008]中提出的一阶近似值。反过来，这又遵循Cotton等人[2004]中设计的想法，并基于所考虑的支付函数的泰勒展开式，即未来价格Ft，T近似的零阶项。因此，必须假设支付函数的一些光滑性。由于这里考虑的方法不依赖于这种泰勒展开式，因此除了微扰方法固有的限制之外，不需要其他限制。此外，我们将证明，尽管这里介绍的方法涉及更多，但它允许更清洁的校准。这是因为我们将衍生工具视为未来价格的函数，未来价格是可交易资产，因此在定价风险中性度量下是鞅。

我们参考第5节，对本文介绍的方法与Hikspoors和Jaimungal[2008]中介绍的方法进行更彻底的比较。使用本文中提出的方法可以处理的另一组重要示例包括利率衍生品（见Cotton等人[2004]）。此外，在股票案例中，该方法可用于解决定价复合衍生工具的一般问题，正如Fouque和Han[2005]通过派息函数的泰勒展开所做的那样。我们工作的主要贡献是一种计算一般复合衍生产品价格一阶近似值的通用方法，因此不必假设关于支付函数规律性的额外假设。唯一的先决条件是基础导数的一阶近似值。换言之，本文提出的方法允许我们推导化合物衍生物的一阶近似值，保持Fouqueet等人[2011]中给出的原始近似值的假设。此外，该方法保持了微扰法的另一个可取特征：直接校准市场组参数。本文的组织结构如下：第2节描述了基础资产的动态，然后，在第3节中，我们遵循之前概述的方法，以确定V。第4节描述了看涨期权的校准程序，并分析了原油期货期权的校准示例。最后，我们在第5节和第6节总结了本文，并将我们的工作与之前的方法进行了比较，并对进一步的研究提出了一些建议。2.模型首先，我们定义了一个过滤的风险中性概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）。选择风险中性度量，使关系（1）成立。

在这个概率空间中，我们假设资产价值由具有多尺度随机波动性的指数Ornstein-Uhlenbeck（exp-OU）随机过程描述。即Vt=es（t）+Ut，dUt=κ（m）- Ut）dt+η（Yεt，Zδt）dW（0）t，dYεt=εα（Yεt）dt+√εβ（Yεt）dW（1）t，dZδt=δc（Zδt）dt+√δg（Zδt）dW（2）t，（2.1）其中（W（0）t，W（1）t，W（2）t）是一个相关的Q-布朗运动，dW（0）tdW（i）t=ρidt，i=1，2，dW（1）tdW（2）t=ρdt。当ε=1时，我们将用（2）中第二个随机微分方程给出的过程表示。该模型的主要假设是：o对于任何固定的（ε，δ），SDE（2）存在唯一的解。o选择风险中性概率Q，以便将市场中观察到的VO的未来价格与模型（2）和鞅关系（1）产生的价格相匹配|ρ|<1，|ρ|<1，|ρ|<1和1+2ρ-ρ-ρ-ρ> 0. 这些条件决定了（W（0）t，W（1）t，W（2）t）协方差矩阵的正不确定性利率是恒定的，等于r。oα和β使得过程具有唯一的不变分布，并且与[Fouque等人，2011年，第3.2节]中所述的均值回复相同。oη（y，z）是一个正函数，在z上是光滑的，因此η（·z）对于y的不变分布是可积的。os（t）是一个确定的季节性因子。值得注意的是，我们本可以像Fouque等人[2011]所做的那样，明确考虑波动性风险的市场价格，这样做的话，我们将得到ε阶的平均价格-1/2和δ1/2阶项分别在Yε和Zδ的漂移中，两者都取决于Yε和Zδ，它们可以按照上述参考文献中的方式处理。

为简单起见，我们不考虑这些市场价格的波动风险。该模型的一个简单推广是在U的漂移中加入一个确定性的时变长期平均值m（t），这很容易处理。另一个更微妙的范围是施瓦茨双因素模型，见施瓦茨[1997]。我们现在重申对VFt未来价格的定义，T=EQ[VT|Ft]，0≤ T≤ T、 然后在下一节中，我们将发展Ft导数的一阶近似，T.备注2.1。更准确地说，我们说函数gε，δ是函数fε，δ的一阶近似值，如果| gε，δ- fε，δ|≤ C（ε+δ），对于某些常数C>0，以及对于足够小的ε，δ>0。我们使用旋转ε，δ- fε，δ=O（ε+δ）。3未来合约的衍生品3。1未来价格的一阶近似值。我们给出了均值回复资产未来价格的一阶近似值。对于固定到期日T>0，我们定义ε，δ（T，u，y，z，T）=EQ[VT | Ut=u，yεT=y，zδT=z]，注意Ft，T=hε，δ（T，Ut，yεT，zδT，T）。我们考虑在powersof中的正式扩展√ε和√hε的δ，δ：hε，δ（t，u，y，z，t）=Xi，j≥0(√ε） 我(√δ） jhi，j（t，x，y，z，t）。我们感兴趣的是均值回复资产上导数的一阶近似，这在Hikspoors和Jaimungal[2008]以及Chiu等人中有介绍。

[2011].记住ε=1的过程Yε。应用上述参考文献中所述的未来价格的一阶近似值，我们选择上述正式系列的第一项，即beh（t，u，z，t）=exps（T）+m+（u- m） e-κ（T-t） +η（z）4κ1.- E-2κ（T-（t）,（3.1）h1,0（t，u，z，t）=g（t，t）V（z）Hu（t，u，z，t），（3.2）h0,1（t，u，z，t）=f（t，t）V（z）Hu（t，u，z，t），（3.3）其中，表示关于Yby h·i的不变分布的平均值，我们有η（z）=hη（·z）i，（3.4）V（z）=-ρη（·，z）β（·）φy（·，z）,V（z）=ρg（z）hη（·z）i′η（z）′η（z），f（t，t）=e3κ（t）-（t）- e2κ（T-t） 2κ-e3κ（T-（t）- 16κ，g（t，t）=e-3κ（T-（t）- 13κ，φ（y，z）是泊松方程的解φ（y，z）=η（y，z）- η（z），（3.5），其中Lb是Y的最小生成元。此外，我们可以假设h1,1不依赖于Y，并选择H2,0（t，u，Y，z，t）=-φ（y，z）Hu（t，u，z，t）+c（t，u，z，t），（3.6）对于一些不依赖于y的函数c。在所有这些选择和一些正则条件下，类似于本节末尾定理3.2中给出的条件，如Chiu等人[2011]和Hikspoors and Jaimungal[2008]所示，wehavehε，δ（t，u，y，z）=h（t，u，z，t）+√εh1,0（t，u，z，t）+√δh0,1（t，u，z，t）+O（ε+δ）。此外，以下简化适用：h1,0（t，u，z，t）=g（t，t）V（z）e-3κ（T-t） h（t，u，z，t）和h0,1（t，u，z，t）=f（t，t）V（z）e-3κ（T-t） h（t，u，z，t）。3.2未来价格的动态在本节中，我们将推导描述Ft动态的SDE，并将其系数写成Ft，t的函数。

由于Ft是Q下的鞅，它的动力学没有漂移，因此，将它的公式应用于Ft，T=hε，δ（T，Ut，YεT，ZδT，T），我们得到了dft，T=hε，δu（t，Ut，Yεt，Zδt，t）η（Yεt，Zδt）dW（0）t+√εhε，δy（t，Ut，yεt，Zδt，t）β（yεt）dW（1）t+√δhε，δz（t，Ut，Yεt，zδt，t）g（zδt）dW（2）t.我们对金融衍生工具合约感兴趣，并应用扰动方法来近似其价格。因此，我们将改写上述SDE，所有系数取决于Ft，而不是Ut。为了继续进行，我们假设我们可以针对固定的ε，δ，y，z和T，相对于u转换hε，δ，即存在一个函数hε，δ（T，x，y，z，T），使得hε，δ（T，·y，z，T）=（hε，δ（T，·y，z，T））-1.由于（3.1）给出的h（t，u，z）在u中是可逆的，至少对于小的ε和δ来说是可逆的，所以在我们的模型中，这个反演不是一个很强的假设。Hεδ的渐近分析在下面的引理中给出。引理3.1。如果我们选择H，H1，0，H0，1为（i）H（t，·z，t）=（H（t，·z，t））-1，（ii）H1,0（t，x，z，t）=-h1,0（t，H（t，x，z，t），z，t）Hu（t，H（t，x，z，t），z，t），（iii）H0,1（t，x，z，t）=-h0,1（t，H（t，x，z，t），z，t）Hu（t，H（t，x，z，t），z，t），其中h1,0和h0,1分别由（3.1）和（3.1）给出，那么我们有Hε，δ（t，x，y，z，t）=H（t，x，z，t）+√εH1,0（t，x，z，t）+√δH0,1（t，x，z，t）+O（ε+δ）。证据