基于序贯蒙特卡罗的障碍期权估值

（12） 明确地说，该期权价格整整整式成为“B0”，Tzdwp（Tzdwp（TzdwNp（dwNp）ΦPrNP（PRNPNP）ΦPrNQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQSN1，SNQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQSN1，SN1，SN1，SNQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQSNSNSNSNSNSNSNSNSNSN1，SNSNSNSNSN1，SN1，SN1，SNSNSN1，SN1，SNSNQQQQQQQQQQQQQQΦprLnq`wnpΦprUNq`ΦprLnqqs，序号“sn\'1expppun''σnqδtnq`σnaδtnznqare根据w，…，n递归计算得出“1，2，…，N对于给定的s。障碍期权的这种替代解决方案可能会提供更有效的数值估计，但本文并未对其进行分析。3 Feynman-Kac表示在本节中，我们提供了基于SMC方法的Feynman-Kac表示下的基本期权价格公式；有关该主题的详细介绍，请参见Carmona等人（2012年）.3.1模型描述假设转移值序列Xn“pSn，Sn`1q n”0，…，n`1形成马尔可夫链，在连续监测屏障（8）的情况下，期权价格预期可以写成qc“B0，T^EHpXNqN\'1'zn”0GnpXnq,（14）和扩展的支付函数shpxnq“HpSN，Sn`1q:”hpsnq和潜在函数“gpSn，Sn`1q^1pLn`1Un`1qpSn`1q，n”0，1，…，n`1。这些势函数测量在区间rtp，tp`1s期间停留在屏障内的机会。方程（14）是离散时间模型的费曼-卡克公式（见Carmona等人2012），用于开发SMC期权价格估计器。在这种符号中，离散监控的屏障期权预期（4）还采用以下公式qd“B0，T^E＠HpXNqN\'1'zn”0rGnpXnq,（15），带有指示剂势函数srgnpxnq“1pLn`1Un`1qpSn`1q，n”0，1，…，n\'1。我们在本节结束时用费曼-卡克表示第2.2节中公式（11）给出的障碍期权预期替代公式。

在这种情况下，如果我们考虑基于（10）修改的基础资产流程的转移值马尔可夫链序列pxn“ppSn，pSn`1q n”0，…，n\'1，那么我们可以将公式（11）改写为以下qc“B0，T^EHppXNqN\'1'zn”0pGnppXnq,（16），其潜在函数pgnde在（12）中定义。我们观察到上述表达式的形式与（14）完全相同用ppXn、pGnq取代pXn、Gnq。一旦期权价格预期用Feynman-Kac表示，就可以直接开发SMC估值器，如以下章节所述。3.2一些初步结果在本节中，我们将回顾一些与非规范化Feynman-Kacmodels相关的关键公式。我们简要地描述了费曼-卡姆测度的演化半群。本节还介绍了一些关键的乘法公式，用规范化的Feynman-Kac测度来描述规范化常数。这些数学对象对于定义和分析粒子近似模型至关重要。例如，通过将归一化概率分布替换为粒子算法的经验度量，通过模仿上述乘法公式定义归一化常数的粒子近似。我们还强调，这些粒子近似的偏差和方差分析是在Feynman-Kac半群中描述的。专著（Del Moral，2004年，第2.7.1节）和（DelMoral，2013年，第3.2.2节）对这些随机模型进行了更深入的讨论。首先，我们观察到（14）可以写成以下形式qc“B0，TγNpHq”B0，TγNp1qηNpHq（17），其中Feynman-Kac非标准化的γ和标准化的ηn度量是由公式γNp k q“E k pXNqN\'1'zn”0GnpXnq,和ηNp k q“γNp q{Np1q”给出的。

（18） 请注意，非负测度序列pγnqně0满足任何有界可测函数的递归线性方程γnpаq“γn\'1pQnpаqq（19）和积分算子qnpаqpxq“Gn\'1pxq Knpаqpxq，（20），其中Knpаqpxq“E p|pXnqаxnq”Knpx，dyqаpyq（21）和KnpXn 1，dxq：我们用以下事实来证明这一主张，我们使用了这一事实，即γnpq“E )E \\\\(E \\41;的事实来证明这一主张。我们使用这一事实来证明这一索赔。我们使用了这一事实，我们证明这一索赔使用了这一事实，我们使用了γNPNP\\齉q）q q q\\\\\\\"q\"q\"q\"q\"我们证明这一索赔的这一说法，我们证明这一说法，我们证明这一索赔使用这一索赔使用这一索赔的事实，我们证明这一索赔使用这一索赔的事实，我们使用的事实，我们使用这一事实，我们使用的事实，我们证明这一事实，我们使用这一事实，我们的证明这一个1qn\'2'zp“0GppXpq,”γn\'1pGn\'1^Knp~nqq。（22）通过构造，我们也得到了γNp1q该研究结果产生了γNp1qγNp1q（25）和NPQ（25）的结果。从中我们得出结论，γNp1q Np1q（25）是由γNp1q（25）和NPQ（25）是由NPQ（25）和NPQ（25）是由NPQ（25）和NPQ（25）是由该NPQ（25）和NPQ（25）是由中国国家（25）和外国（25）和外国（7）是由中国国家（7）和中国（7）的国家（7）的国家（7）和国家（7）和中国）是中国（7）的国家（7）在中国（7）和中国（7）是中国（7）是中国）的国家（7）的）是中国）和中国（7）是在中国（7）在中国）是在中国）的国家（7）和中国（7）是在中国）的国家（7）和中国）的国家（7）是在中国（7）的）是在中国）在中国）)通过用经验近似值替换ηnw，用于SMC估计值，如下节所述。4蒙特卡罗估计在本节中，我们介绍了MC和SMC估计以及相应的算法，以计算连续和离散监控障碍条件下的期权价格。4.1标准蒙特卡罗过程（3），模拟独立资产路径实现Spmq“pSpmq，…，SpmqNq，m”1，…，m。

然后连续监测的障碍期权价格积分（8）的无偏估计量是模拟路径SPQMCC“B0，TMM"ym”1hpSpmqNqN“1！gpSpmqn\'1，Spmqnq1rLn，UNSPMQNQ）,“B0，TMM"ym”1HpXpmqNqN\'1'zn（27）上期权价格实现的标准平均值，其中Xpmqn“PSPNN”和Spmqn\'1q为无偏监测的障碍估计量（4）ispQMCD“B0，TMM"ym”1HpXpmqNqN\'1'zn“0rGnpXpmqnq,（28）与Xpmqn“pSpmqn，Spmqn`1q.4.2期权价格积分（8）的序贯蒙特卡罗另一种无偏估计量可使用公式（26）通过以下算法通过SMC方法获得。o初始步骤1.（命题步骤）对于初始时间步，I“rt，ts，模拟m独立实现sxpmq:”pspqq，spmqm“1，…，沉思过程（3）；这些被称为M（过渡类型）粒子。SetGpXpmqq”1pL，UqpSpmqq^gpSpmq，SPMQQF用于每个1dMdM.2。（验收-拒收步骤）样本M随机变量和r0，1s值统一变量Upmq。被拒绝的过渡型粒子xpmq是那些具有gpxpmqqaUpmq的粒子。接受UpmqdGpXpmqq的粒子XPMQQ。请注意，转换类型的粒子Xpmqs。t、 SpmqR pL，Uq立即被拒绝（因为其重量GpXpmqq“0为空）；过渡类型粒子Xpmqs.t.SpmqP pL，Uq被拒绝的概率为1\'GpXpmqq.3。（循环选择步骤）通过使用密度函数fpsq“M"yM”1GpxppqqrMk”1Gpxpqqδps\'Spmqq（29）从离散分布中重新采样其Spmqcomponent，对每个被拒绝的过渡类型粒子进行重新采样式中，δpy′yq是一个以y为中心的点质量函数（即Diracδ函数，除了y“及其包含y等于1的任何区间的积分外，它在任何地方都为零）。换句话说，当一个过渡型粒子，如Xprq，因某个指数r而被拒绝时，我们用随机选择的粒子xpmq中的一个w.r.t替换它。

其重量gpxpmqqrMk“1gpxppkqq。可通过第4.3节中的算法4.1对离散密度（29）中的被拒绝颗粒进行有效和简单的采样。在接受-拒绝回收方案结束时，我们有M（过渡类型）颗粒，我们表示为xpmq“pSpmq，rSpmqq M”1，…，M。注释4.1通过定义（29）我们注意到转换类型particlesXpmqs。t、 SpmqR pL、Uq的权重为空。因此，他们不能被选为替代被拒绝的人。此外，过渡类型为Xpmqs。t、 SpmqP pL，Uq如果GpXpmqq在rt内不击中屏障，则更有可能选择ts（代替被拒绝的ts）。o步骤0；1a）（提议）对于第二时间步，I“rt，ts模拟M独立化sxpmq:“prSpmq，Spmqq M”1，…，使用过程演化（3）从上一步选择的转换Rxpmq的端点srspmq开始；这些被称为时间1的M（转换类型）粒子xpmq。SetGpXpmqq“1pL，uqpspqq^gprSpmq，spmqf用于每个1dMdM.b）（接受-拒绝）样本M随机变量和r0，1s值统一变量Upmq。被拒绝的过渡型粒子xpmq是那些接受了UpmqaGpXpmqqaUpmq的粒子，以及接受了UpmqdGpXpmqq的粒子xpmq。这是一种过渡型粒子Xpmqs。t、 SpmqR pL、Uq立即被拒绝，Xpmqs。t、 SpmqP pL，Uq被拒绝的概率为1`GpXpmqq。c） （回收选择）使用第4.3节中的高效简单算法4.1，通过使用密度Fpsq“M"yM”1GpXpmqqrMk“1GpXpkqqδps”Spmqq（30）从离散分布中重新采样其SPMQ分量，对每个被拒绝的过渡型粒子XPMQ3进行重新采样。在接受-拒绝回收方案的末尾，我们将M（过渡型）粒子表示为RXPMQ“prSpmq，rSpmqq，1dmdm。

与备注4.1相似的另一点也适用于此处：过渡型粒子Xpmqs。t、 SpmqR pL、Uq的权重为空，因此在替换被拒绝的权重时无法选择它们。此外，过渡类型particlesXpmqs。t、 SpmqP pL、Uq在rt内不击中屏障的概率较大的gprSpmq、Spmqq，ts更有可能被选择（替换被拒绝的ts）。o重复步骤0中的步骤a）至c）；1对于时间步长rt，ts，rtN\'1，tNs。计算最终无偏期权价格估值器aspQSMCC“B0，T^<<N\'1'zN“0MM"ym”1GnpXpmqnq ff^MM"ym”1HpXpmqNq。（31）也就是说，ηNpHq被其经验近似值mrMM”1HpXpmqNq取代，ηNPGNQI被公式（26）中的经验近似值mrMM“1GnpXpmqnq取代。请注意“hprSpmqNq，即到期时的支付使用到期时拒绝回收后的颗粒物计算。第4.4节提供了这些估计器无偏性质的证明。同样地，（15）中定义的QD无偏估计器由pqsmcd“B0，T^N\'1'zN”0MM"ym”1rGnpXpmqnq off^MM"ym”1HpXpmqNq（32）给出其中，\'Xpmqn\'0dndn，1dmdm通过上述算法获得，势函数pGnq0dnd由指示剂势函数prGnq0dndn代替。在这两种情况下，可能发生的情况是，所有粒子在某个命题阶段后退出势垒。在这种情况下，我们使用上述估计为空的约定。解决这个问题的一种方法是考虑第2.2节中提出的替代期权价格表达式（11）的费曼-卡茨描述（16）。

在这种情况下，PPQSMCC“B0，T^<<N\'1'zN“0MM"ym”1pGnppXpmqnq^MM"ym”1PpxPmqNq（33）给出了QCI的无偏估计量其中，\'pXpmqn\'0dndn，1dmdm，通过上述的\'Xpmqn\'0dndn\'算法获得，其中潜在函数pGnq0dnd被潜在函数ppGnq0dndn取代，SNI的过程被第2.2节所述的过程NAS取代。备注4.2正如我们在第3.2节的导言中所提到的，通过用粒子经验近似代替归一化的费曼-卡克度量η，将（31）中的粒子估计定义为（26）。公式（32）和公式（33）分别遵循基于费曼-卡克模型（15）和公式（16）的相同论证线。图1展示了使用M“6个粒子的算法。在这种特殊情况下，我们在时间t（从S开始）模拟六个粒子。然后粒子p4q被拒绝并重新采样（移动到位置Sp1q），粒子SP6Q被拒绝并移动到位置Sp3q。然后，位于SP3q的两个粒子将在att生成两个粒子，位于SP1q的两个粒子将在t生成两个粒子，以此类推。对于每个时间段，包括最后一个tN，在重新采样后，我们在屏障上方有六个粒子。注意，在连续监测屏障的情况下，Sp1q、Sp2q、Sp3q、SP5QA也可能被拒绝。1t 2t TtN  将粒子屏障移动到SP1的位置，并将粒子屏障移动到SP1的位置，将粒子重新采样。

请注意，Sp1q、Sp2q、Sp3q、SP5QA也可能在连续监控的情况下被拒绝。4.3从离散分布中取样为了读者的利益，在本节中，我们介绍了从前一节所述SMC算法的回收选择步骤中所需的离散密度中取样被拒绝颗粒的高效简单算法，即从离散密度（29）和（30）中取样。一般来说从加权离散概率密度函数fpxq“M"yM”1pmδpx\'xmq（34）中对R个独立随机变量pYprqq1dRdR进行采样，通常可以通过逆分布方法进行。也就是说，F pxq“MrMm”1rxm，8qpxq是对应于离散密度（34）的分布，而X“F\'1pUq”是来自F pxq的样本，如果U来自均匀分布（0,1）分配重要的是使用计算效率高的方法对R变量进行采样。如果样本顺序不重要（如第4.2节中SMC算法的循环选择步骤），那么，我们可以用单位参数对pR`1q独立指数随机变量进行采样，并设置Tr“"y1dsdrEsand Vr”Tr{Tr`1，r“1，2，…，r`1.（35）以这种方式计算的随机变量pV，…，VRq是均匀分布在（0,1）上的r个独立随机变量的阶统计量，这是泊松过程的一个众所周知的性质，参见例。（Bartoli&Del Moral，2001，示例3.6.9和第2.6.2节）或（Daley&Vere Jones，2003，练习2.1.2）。然后，通过计算Yprq“F`1pVrq，可以使用以下合成伪代码来实现Yprqqq1drdr的采样。算法4.11.k“1和r”12。而rdro而Vrap`¨`pk–Yprq“xk–r”r`1oEnd Whileok”k`13。而此采样方案的计算成本与r成线性关系。

特别是，从概率密度（29）集pm“GpXpmqqrMk”1gpxppkqqandxm”Spmq进行模拟，并从离散分布（30）集pm“GpXpmqqrMk”1gpxppkqqqand xm”Spmqin（34）进行模拟。4.4期权价格的无偏性估计（31）可写成aspQSMC“B0，T^γMNp1q^ηMNpHq^ηMNpHq（36），其经验测度ηMNpHq由MNpHq“MM"ym”1hpmqnq（37）给出和归一化常数γMNp1q“N\'1'zp”0MM"ym”1GppXpmqpq“N\'1'zp”0ηMppGpq。（38）在这种表示法中，费曼-卡克测度γNforany函数的m-粒子近似由γMNpаq给出：“γMNp1q^ηMNpаq~nsmcpq”B0，T^MNpHq.（39）这里，mn和γmn是费曼-卡克测度γNforany的粒子经验近似，在期权价格公式（26）中.本节的目的是证明连续和离散情况下（31）和（32）的M粒子估计SPQSMC是无偏的。无偏性不那么明显，主要是因为它基于有偏M-经验测度ηMN。对这些偏见进行定量分析显然超出了本研究的范围。我们建议读者参考《道德》专著（2004年、2013年）及其参考文献。例如，我们可以证明，对于某些特定的正常数cpN q，其值仅取决于时间范围，即ηMNpаqηNpаq>μcpN q{M（40）。也就是说，ηMNpаq随着M的增加收敛到ηNpаq他们没有偏见。另一方面，经验测量ηMNpаq可以用两个非标准量γMNpаq和γMNp1q的比值表示。

考虑到这些非规范化粒子模型的影响，使用该比率一阶的基本泰勒型展开来获得偏差（40）的估计值。为了证明γMNpHq是无偏的，即pqsmc是无偏的，回想一下，粒子是通过选择和突变转换顺序进化的。因此我们有条件期望公式^ηMNpHq e Xpmq，XpmqN\'1\'1dmdm˙E^H\'Xp1qN\'1dm˙Xpmq，…，XpmqN\'1\'1dmm˙1dmdMGN\'1qr1dkdMGN\'1xpkqn\'1qknphqpqn\'1q，（41）其中KNis是链的马尔可夫转移积分算子，n“1。马尔可夫跃迁的加权混合表示这样一个事实：在使用突变跃迁探索解空间之前，粒子是使用势函数选择的。这意味着e^γMNpHqˇˇXpmq，1月1日，中国医学院医学院医学院院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院医学院˙“γMN\'1pQNpHqq（43）因此`γMNpHq”E`γMN\'1pQNpHqq（44）对于N“0，我们使用约定'sH“1所以γM”ηM~nE`γMpаq“E`ηMpаq”ηpаq“γpаq”对于任何函数а，我们向后迭代（43），得到（19）中定义的非正规费曼-卡克分布的演化方程。接下来，为了方便读者，我们提供了无偏性质的更详细的证明，并且我们进一步假设E`γMnpаq“γnp q（45）在某些秩n，对于任何Mě1和任何ě。在这种情况下，如上所述，我们有E`γMn`1pq“E`γMnpQn`1pqq”（46）在归纳假设下，这意味着E`γMn`1pq“γnpQn`1pqq”γn`1pq.（47）这结束了qsmc无偏性的证明。关于这些SMC无偏估计量的标准误差的结果可以在E.g。