基于序贯蒙特卡罗的障碍期权估值

C’erou等人（2011年）。虽然这超出了本文的目的，而是深入研究规范化Feynman-Kac测度的经验近似方差的理论结果，值得一提的是，SMC估计器的标准误差为1{？M，这与标准MC估计器相同。然而，对于MCestimator，比例系数很容易被估计为模拟资产路径支付的标准偏差，对于SMC估计器，没有简单的表达式，必须运行SMC估计器的独立计算来估计其标准误差；数值实验将在第6.5节中介绍nce采样模型费曼-卡茨表示公式（14）及其在第4.2节中讨论的粒子解释远非唯一。例如，使用（8），对于任何非负概率密度函数fpsn | sn\'1q，我们也有一些网站，我们也有一些网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们的网站，我们第二，UnqpSnqgpSn\'1，Snq（51）马尔可夫链\'Snně0，对于pr`SnP dsn | Sn\'1“f psn | Sn\'1q dsn.（52）重要抽样公式（50）是众所周知的。相应的Mparticle包括在选择时间之间演化的M个粒子，作为扭曲马尔可夫链模型Sn的独立副本；以及选择/回收过程中增加密度比fpSn | Sn\'1q的转变Sn\'1；Sn{fpSn | Snd1q.我们在这一节结束时，用了一个与Payo off函数有关的更复杂的度量变化。对于任何带有hN“h”的正势函数序列phnq0dndnw，使用hpsnq“hNpSNqhN'1pSN'1pSN'1pSN'1pSN'2q^。

^hpSqhpSq^hpSq，（53）我们也有“53”我们也有“53”我们也有“53”我们也有“53”我们的“53”我们也有我们的“53”我们的“53”我们也有我们的“B0，T710，T710，T710，T710，T710，T^hpsq^hpsq hpsq HPSQ710;hpsq^HPSQ710^^HPSQ710^^^\\710;^710\\710\\^^^我们我们我们我们的是是N N N'zN\\\\\\3788;\\\\^\\\\\\hpxq`1（56）注意，与势函数SQGN相关的M粒子模型由M个粒子组成，在选择时间之间演化为马尔科夫链Sn的独立副本；选择/回收程序有利于Sn\'1；例如，在（56）中建议的例子中，转换Sn\'1；远离走向K的探索区域更容易复制。选择势函数（49）允许选择参考马尔可夫链，以在突变转换期间随机探索状态空间。重要采样费曼-卡克模型（54）不那么麻烦。更准确地说，在不改变参考马尔可夫链的情况下，选择势函数（55）可以实现顺序增加Payoff函数的过渡。重要抽样模型（49）和（55）可以以一种明显的方式组合起来，以改变参考马尔科夫链，并有利于增加支付函数的转换。6数值结果考虑一个简单的敲出障碍看涨期权，具有恒定的下限和上限L“90和U”110，敲打K“100，到期日T”0.5，用于市场数据：现货S“100，利率r”0.1，波动率σ0.3和零股息q“0.表1和表2以及图2和图3显示了连续和离散监测屏障情况下的精确闭合形式解、SMC和标准MC估计量、估计量的标准误差以及该选项的估计效率。

我们对MC估计器和SMC估计器分别进行M“100000个模拟和M”100000个粒子，重复50次（使用独立的随机数）以计算最终的期权价格估计值及其标准误差。我们的计算基于等间隔时间切片t，…，tN的抽样。注意，我们给出了N的结果“p1、2、4、8、16、32、64、128q不是为了证明离散监控障碍收敛于连续情况，也不是为了解决时间离散化错误，而是为了说明和解释SMC在给定时间离散化下提高期权价格抽样估计器准确性的行为。在实障碍期权的情况下，时间离散化将由随机变量决定icprocess、窗口屏障结构、屏障监控类型（例如连续、每日）和市场数据术语结构。对于MC估计器（在连续监测障碍的情况下），我们需要计算采样日期之间障碍命中的条件概率（7），仅适用于在期权有效期内未违反障碍条件并在到期时导致非零支付的资产模拟路径，而对于SMC估计器，这些概率应针对所有时间步进行计算，但仅针对出现在势垒之间的粒子。因此，计算效率的直接计算并不简单。相反，我们可以使用实际计算时间来比较使用以下事实的方法计算CPU时间tcpu与MCmethod中的模拟数M（或SMC中的粒子数M）成正比MC和SMC估计都是无偏的。它们的标准误差与1{？M成正比，SMC的比例系数不同于MC（有关SMC估计量方差的理论结果，请参见Cerou等人。

(2011)).对于MC，该系数很容易计算为资产路径支付的标准偏差，而对于SMC，没有简单的表达式，必须多次（即在我们的数值示例中为50次）进行独立计算，以估计SMC估计器的标准误差。因此估计器的平方标准误差为“α{tcpu，（57），其中α取决于方法，即α“αMC适用于MC，α”αSMC适用于SMC，这很容易从相应估计器的sand tcpu的数值结果中找到。为了比较估计器的效率，我们计算κ“αMC{αSMC”。（58）κ的解释很简单；如果SMC估计器的计算时间是tSMC，那么MC估计器达到与SMC估计器相同精度的计算时间是κ^tSMC，即κa1表示SMC比MC和κa1更快。对于我们的具体数值示例，在离散监测屏障的情况下，SMC的计算时间仅比MC的计算时间大10%20%。在连续监测屏障的情况下，SMC时间约为MC时间的两倍，主要是因为我们需要计算采样数据之间屏障命中的条件概率（7），而在双屏障的情况下，这在计算上是昂贵的。然而SMC估计器的标准误差总是小于MC估计器的标准误差（N“1的限制情况除外，只有当标准误差大致相同时，才会在到期时监测障碍）。从结果中很容易看出，SMC优于MC（N“1的情况除外）.对于离散和连续屏障情况，我们观察到SMC效率κ随着时间步数的增加而单调增加。

SMC估计器的准确度（标准误差）随着N的增加变化不大，因为屏障拒绝的资产采样值（粒子）是从屏障之间的粒子重新采样的，因此在到期时，无论N如何，屏障之间仍有M个粒子。MC估计的标准误差随着N的增加而增加，因为在不突破障碍条件的情况下达到成熟度的模拟路径的数量会随着N的增加而减少。从表2很容易看出，在离散监测屏障的情况下，SMC效率κ大约与1{ψ成正比，其中ψ是基础资产在期权有效期内未触及障碍的概率（即，在这种情况下，是资产在不突破障碍的情况下达到到期的概率）。请注意，在离散监控障碍的情况下，ψ随着时间步数N的增加而减小（即，随着N的增加，在不突破障碍的情况下达到成熟期的路径数量会减少）。在连续监测的情况下，势垒ψ不随N变化（在我们的数值示例中计算的选项中，它约为0.5%，见表1）。然而，请注意，连续监测障碍情况下的MC估计值是通过在N个日期内对资产路径进行抽样，并将到期时的路径支付乘以抽样日期之间未达到障碍的条件概率来计算的（7）。因此，资产路径在不突破障碍的情况下达到到期日的概率与离散载体情况相同。因此，MC估计的标准误差（对于离散和连续势垒）随着N的增加而增加。本文未报道的其他数值实验表明，当障碍物变得更近时，SMC-overMC的效率提高，即资产路径到达障碍物的概率增加；从表2中的结果也很容易看出。

如果assetpath未击中屏障的概率较大，则SMC的性能与MC大致相同或略差。请注意，我们的实现不包括任何标准方差缩减技术，如对偶、重要抽样和控制变量或任何并行/向量计算。该算法使用Fortran 90实现，并在标准笔记本电脑（Windows 7、Intel（R）i7-2640M CPU@2.8GHz、RAM 4 GB）上执行。虽然计算时间有点主观（即取决于我们实现的具体情况），但表1和表2中MC和SMC估计器的标准误差比率（或平方标准误差比率）强烈表明了SSMC优于MC，因为SMC的计算效果仅比MC大约10%-100%。SMC ve rsus MC0510152025040608010012014号。图2：在离散监测和连续监测屏障的情况下，通过系数κ测量的SMC估计器与MC估计器的相对效率与时间步数n。如果SMC估计器的计算时间是tSMC，那么MC估计器达到与SMC估计器相同精度的计算时间是κ^tSMC。SMC ve rsus MC0。00%0.20%0.40%0.60%0.80%1.00%0 20 40 60 80 100 120 140否。tim e ste PSS标准rMC估计器SMC估计器图3：连续监测屏障情况下SMC和MC估计器的相对标准误差（百分比）。表1:MC、pQMCC和SMC、pQSMCC的比较，随着时间步数N的增加，连续监测障碍的期权价格估值器。确切的价格是0。8061

在期权生命期内，基础资产在期权生命期内并没有触及障碍的概率概率。在期权生命期内，基础资产没有触及障碍的概率的概率的概率的概率的概率的概率的概率的概率的概率的概率是（0.05）的概率是（0.10）的概率是（0.10）的概率的概率是（0.005）的概率是（0.005）N MC（stderr）SMC（stderr）SMC）κ1 1 0.0.0080.0.008060.0 0 0 0 0 0.008069（0.10（0.10）（0.10）0.10（0.10）0.10（0.10）0.10（0.10）0.10%0.10分（0.10）0.10%0.10%0.10%0.10（0.10）0.10（0.10）0.10%0.10（0.10）0.10%0.10（0.10分分分0.008070（0.13%）16.12128 0.007953（1.01%）0.008050（0.14%）23.84表2：比较MC、pQMCD和SMC、pQSMCD，随着时间步数N的增加，离散监控壁垒的期权价格估值。ψ是标的资产未触及障碍的概率。（0.11%）0.8229（0.12%）0.69 0.9 0.9 0 0.9 9 0 0.9 9 0 0.9 9 0 0 0.9 9 0 0.35920.35920 0.5146（0.16%）0.5146（0.16%）0.5140（0.16%）0.5140（0.10%）0.40（0.10%）0.10）0.10（0.10%）0.10）0 0.10（0（0.10%）0.10%）0.10）0.10）0.10（0.10）0.10（0.10（0.10）0.10（0.10）0.10（0.10）0.10（0.10）0.10）0.10）0.10）0.10）0.10（0.10（0.10）0.15）0.10）0.10（0.5（0.10（0.10（0.10）0.10）84.0.019128 0.0246（0.66%）0.0249（0.14%）20.12 0.0137本文的结论与讨论我们提出了SMC方法来定价淘汰障碍期权。一般观察包括以下内容：SMC估计器的标准误差不会随着时间步长的增加而增加，而MC估计器的标准误差会显著增加。这是因为在SMC中，屏障条件拒绝的采样资产值（颗粒）从屏障之间的资产值中重新采样，因此屏障之间的颗粒数量不会改变，而在MC中，未突破屏障的模拟路径数量将随着时间步数的增加而减少当资产路径到达屏障的概率增加（例如，上下屏障越来越近或时间步数增加）时，SMC相对于标准MC的效率提高。

通常情况下，SMC最显著的好处是在不击中屏障的概率很小的情况下实现的。否则，其效率与标准MC相当与标准MC方法相比，SMC的实施几乎不需要额外的努力SMC和MC估计都是无偏的，标准误差比例为1{M，其中M是MC的模拟资产路径数，分别是SMC的粒子数；SMC的比例系数不同于MC。进一步的研究可能会考虑为第2.2节中介绍的替代解决方案开发SMC和MC。还请注意，计算敲打作用作为两个选项之间的差异是很简单的（即无障碍）和敲出障碍期权，但如何开发SMC估计器来直接计算敲入期权（即如何通过Feynman-Kac表示公式（14）编写敲入期权价格预期）并不明显，这是未来研究的主题。值得注意的是，在本文中，我们重点讨论了一个基础资产的情况，以便于说明，而所提出的SMC算法可以很容易地适用于多个基础资产和其他随机因素（如随机波动率）的情况。利益声明作者报告没有利益冲突。只有作者负责这部作品的写作。参考Andersen，L.，和Brotherton Racli ff，R.2006。完全是异国情调。风险，9（10），85-89。巴托利，N.，德尔莫勒尔，第2001页。模拟和算法随机性。C\'epadu\'es\'版本。比格尔霍尔，D.R.，戴维格，P.H.，周，G.1997。走向极端：纠正奇异期权估值中的模拟偏差。《金融分析师杂志》，1月/2月，62-68日。Borodin，A.，和Salminen，1996年出版。

布朗运动事实和公式手册。巴塞尔：Birkhauser Verlag。布罗迪，M.，格拉斯曼，P.，和库，S.1997。离散载波选项的连续性校正。数学金融，7325-349。Carmona，R.，Fouque，J.-P.，和Vestal，D.2009。用于计算罕见信贷组合损失的相互作用粒子系统。《金融与随机》，13（4），613-633。卡莫纳、勒内、德尔莫勒尔、皮埃尔、胡、彭和奥贾内、纳迪亚。2012年，介绍了具有金融应用的粒子方法。第3-49页，共页：卡莫纳、勒内、德尔莫勒尔、皮埃尔、胡、彭和奥贾内、纳迪亚（编辑），金融中的数值方法。斯普林格。塞罗，F.，德尔莫勒尔，P.，和古亚德，A.，2011年。非正规费曼-卡克粒子模型的一个非交感定理。安。亨利·庞卡研究所。统计，47（3），629-649。Daley，D.J.，和Vere Jones，D.2003。点过程理论导论：第一卷：基本理论和方法。2埃德恩。斯普林格。德尔莫勒尔，第2004页。费曼·卡克公式。家谱和相互作用的部分。概率与应用。斯普林格。德尔莫勒尔，第2013页。蒙特卡罗积分的平均场模拟。统计学和应用概率专著。查普曼和霍尔/CRC。德尔莫勒尔，P.和帕特拉斯，2011年成立。信用风险的互动路径系统。第649-674页，共：Brigo，D.，Bielecki，T.，和Patras，F.（编辑部），信用风险前沿。威利彭博出版社。德尔莫勒尔、皮埃尔、胡、彭、欧杰恩、纳迪亚和R’埃米拉德、布鲁诺。2011年，关于斯奈尔信封的坚固性。暹罗金融数学杂志，2（1），587-626。德尔莫勒尔、皮埃尔、胡、彭和奥贾内、纳迪亚。2012年a。小概率准则的斯奈尔包络。《应用数学与优化》，66（3），309-330。德尔莫勒尔、皮埃尔、雷米拉德、布鲁诺和鲁本塔勒、西尔万。2012b。保持单调性和凸性的美式期权的蒙特卡罗近似。

第115-143页，共页：卡莫纳、勒内、德尔莫勒尔、皮埃尔、胡、彭和欧杰恩、纳迪亚（eds），金融中的数值方法。斯普林格。Dewynne，J.，和Wilmott，P.1994。偏爱异国情调。《风险》杂志，12月，53-57日。贾尔斯，M.2008a。使用Milsteinscheme改进了多级蒙特卡罗收敛。第343-358页，共页：2006年蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法。斯普林格。贾尔斯，M.2008b。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3），607-617。格拉斯曼，第2004页。金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格。格拉斯曼，P.，和斯塔姆，J.2001。障碍选择刺激的一步生存条件。运筹学，49（6），923-937。Gobet，E.，和Menozzi，S.2010。停止的扩散过程：边界修正和超调。随机过程及其应用，120（2），130–162。戈比特，伊曼纽尔。2009.屏障和相关选项的高级蒙特卡罗方法。《数值分析手册》，15497–528。他、华、基尔斯泰德、威廉·P和雷波兹、约阿希姆。1998年，双重回顾。《数学金融》，第8（3）页，201-228页。海宁，罗纳德，凯特，哈利。1994年a。跨越障碍。风险，7（6），46-51。海宁，罗纳德，凯特，哈利。1994年b。部分障碍选项。《金融工程杂志》，3（3），253-274。赫尔，约翰·C·怀特，艾伦·D·1993。评估欧洲和美国路径依赖期权的有效程序。衍生工具杂志，1（1），21-31。Jasra，A.，和Del Moral，第2011页。期权定价的序贯蒙特卡罗方法。随机分析与应用，29（2），292-316。Johannes，M.S.，Polson，N.G.，和Stroud，J.R.2009。跳跃差异的最佳过滤：从资产价格中提取潜在状态。《金融研究回顾》，22（7），2759-2799。卡拉扎斯，I.，和什里夫，S.1991年。布朗运动与随机微积分。斯普林格。Kat，Harry M和Verdonk，Leen T.1995。树木手术。