摆动期权定价的一阶BSPDE：经典解

关键的观察结果是，我们可以以单调的方式构造逼近微分方程的序列，这导致几乎肯定的收敛性（而没有单调性的情况下，只能获得弱L-收敛）。为此，定义m∈ NΓ+，m（t，ω）={y∈ (1 - L（T）- t） ，1）；X（t，ω）+D-yJ（t，ω，y）≥ 1/m}，对于n∈ N、 s∈ [0，T]和y∈ RFn（s，ω，y）=2nZyy-2.-nL1{v；m（ω）∈Nη∈[0,2-n] v+η∈Γ+，m（ω）（s，ω）}dv。注意，由于D上的leftcontinuity假设-yJm（ω）∈ Nη ∈ [0, 2-n] v+η∈ Γ+，m（ω）（s，ω）<=> 五、∈ (1 - L（T）- s） ，1- 2.-n） 和infη∈[0, 2-n]∩QX（s，ω）+D-yJ（s，ω，v+η）>0。因此，Fn定义中的被积函数是可测量的（作为（s，ω，v）中的函数），尤其是Fn（·y）是（Fs）s∈[t，t]-为每个y调整流程∈ 此外，通过构造，Fnis Lipschitz在y中具有常数L2n（独立于s，ω）。因此，有一个独特的（直到可识别的）连续和适应的过程yn，它满足yn（s）=y+ZstFn（r，yn（r））dr，s∈ [t，t]。我们定义了[0，L]值适应过程（un）n的顺序∈Nviaun（s）=Fn（s，yn（s）），s∈ [t，t]。这个序列属于一组适应的和[0，L]值的过程，它是L（[t，t]×的子集Ohm) 是有界的、闭的和凸的，因此是弱紧的。因此，存在一个自适应的[0，L]值过程^u和一个子序列（nk），如unk→ ^u，k→ ∞在L（[t，t]×中弱Ohm). 我们声称^u saties（3.1）。为了看到这一点，Fix s∈ [t，t]并选择任意ξ∈ L(Ohm). 那么，ξ1[t，s]∈ L（[t，t]×Ohm). 因此，E[ξ（ynk（s）- y） ]=E[ZTtξ1[t，s]（r）unk（r）dr]→ E[ZTtξ1[t，s]（r）^u（r）dr]=E[ZTt^u（r）dr]，即ynk（s）在L中弱收敛于y+Rst^u（r）dr(Ohm). 我们现在都证明了，这种融合几乎完全成立。

为此，我们首先观察到Fn（s，y）≤ 每对（s，y）Fn+1（s，y），因为Fn（s，y）=2nZyy-2.-（n+1）L1{v；M∈Nη ∈[0,2-n] 五-2.-（n+1）+η∈Γ+，m（s）}dv+2nZyy-2.-（n+1）L1{v；M∈Nη∈[0,2-n] v+η∈Γ+，m（s）}dv≤ 2·2nZyy-2.-（n+1）L1{v；M∈Nη ∈[0,2-（n+1）]v+η∈Γ+，m（s）}dv=Fn+1（s，y）。作为yn+1-ynis（直到不可分辨）线性微分方程Yn+1（s）的唯一连续解- yn（s）=Zst（bn（r）（yn+1（r）- yn（r））+cn（r））drforbn（r）=1{yn+1（r）6=yn（r）}Fn+1（r，yn+1（r））- Fn+1（r，yn（r））yn+1（r）- yn（r）cn（r）=Fn+1（r，yn（r））- Fn（右，yn（右））≥ 因此，我们观察到，在一组与n，s，yn+1（s）无关的全P-测度上- yn（s）=Zstcn（r）exp{Zsrbn（u）du}dr≥ 0，即序列yn（s）是非减量的。因为它是以y+L（T）为界的- t） ，P-a.s.limity（s）=limn→∞yn（s）存在于每个s中∈ [t，t]。由支配收敛（yn（s））在L中强收敛到y（s）(Ohm),鉴于上述弱收敛性，我们得出结论，对于每个∈ [t，t]y（s）=y+Zst^u（r）dr，P-a.s.接下来我们介绍B[t，t] F-measurab le setA={（s，ω）；y（s，ω）∈ Γ+（s，ω）和infη∈[- 2.-n、 二,-n]∩QX（s，ω）+D-yJ（s，ω，yn（s，ω）+η）≤ 0 i.o.}，其中“i.o.”表示事件发生在数量众多的n中。表示s的s截面∈ [t，t]byAs={ω；（s，ω）∈ A} 。当yn（s）收敛到y（s）时，我们观察到 Ohmcs，wher-eOhm是定理1.1的全P-可测性b）的集合→ D-yJ（s，y）是连续的。因此，P（As）=0。因此，通过（unk）对^u的弱收敛，E[ZTt（L- ^u（s））1{y（s）∈Γ+（s）}ds]=limk→∞E[ZTt（L- unk（s））1{y（s）∈Γ+（s）}Acsds]。

（3.2）我们现在注意到∈ [t，t]（使用yn（s）到y（s）的收敛性作为第二个标识，得出yn（s）∈ (1 - L（T）- s） +2-n、 一,- 2.-n） 对于足够大的n）{y（s）∈ Γ+（s）}∩ Acs={y（s）∈ Γ+（s）}∩[N]∈N\\N≥Ninfη∈[- 2.-n、 二,-n]∩QX（s）+D-yJ（s，yn（s）+η）>0= {y（s）∈ Γ+（s）}∩[N]∈N\\N≥NM∈ Nη ∈ [-2.-n、 二,-n] yn（s）+η∈ Γ+，米（s） {y（s）∈ Γ+（s）}∩[N]∈N\\N≥N{Fn（s，yn（s））=L}= {y（s）∈ Γ+（s）}∩[N]∈N\\N≥N{un（s）=L}因此，通过主导收敛，（3.2）的右侧收敛到零。一个类比论证showsE[ZTt^u（s）1{y（s）∈Γ-（s） }ds]=0。由于^u是[0，L]值，这两个恒等式意味着^u解决了差异包含（3.1）。提议3.4。定理2.2的完整b\'），即对于每个（t，y）∈ [0，T]×(-∞, 1] 这是奥特，y∈ U（t，y）满足（2.1）。证据在（t）中，我们用（y）中的（1）表示。定义σU:=inf{r≥ Ty+Zrt^u（s）ds≥ 1} ∧ T、 \'\'σL:=inf{r≥ Ty+Zrt^u（s）ds≤ 1.- L（T）- t） }∧ T、 andut，y（r）：=（^u（r），r∈ [t，\'∑U∧ \'σL）L1{\'σL<\'σU}r∈ [°σU∧ 让y，y（r）=y+Rrtut，y（s）ds和y（r）=y+Rrt^u（s）ds。我们希望展示ut，ysolves（2.1），它需要验证这一点ZTt | ut，y（s）|1{X（s）+D-yJ（s，yt，y（s））<0}+| ut，y（s）- L | 1{X（s）+D-yJ（s，yt，y（s））>0}ds= 0.（3.3）我们分解ZTt | ut，y（s）|1{X（s）+D-yJ（s，yt，y（s））<0}+| ut，y（s）- L | 1{X（s）+D-yJ（s，yt，y（s））>0}ds= EZTt|^u（s）|1{X（s）+D-yJ（s，y（s））<0}{s<σU∧\'σL}ds+EZTtL 1{X（s）+D-yJ（s，yt，y（s））<0}{s≥\'\'σU∧\'σL}{\'σL<\'σU}ds+E中兴天安门|^u（s）- L | 1{X（s）+D-yJ（s，y（s））>0}{s<σU∧\'σL}ds+EZTtL 1{X（s）+D-yJ（s，yt，y（s））>0}{s≥\'\'σU∧\'σL}{\'σL≥\'σU}ds= （一） +（二）+（三）+（四）。前面的引理意味着第一项和第三项消失。

对于第二个术语，我们通知yt，y（s）≤ 1.- L（T）- s） 关于{s≥ \'\'σU∧ “∑L}∩ 通过定义∑Land ut，y，然后是D，{σL<\'σU}-通过J的常数外推，yJ（s，yt，y（s））=0。因此，（II）≤ EZTtL 1{X（s）<0}ds= 0，因为X的非负性。同样地，我们可以处理第四项。我们首先观察到定理2.2的c\'），即0=J（t，1）=ELZTt（X（s）+D-yJ（s，1））+ds英尺,哪个YieldX（s）+D-yJ（s，1）≤ 0，λ[t，t] 然而，我们在{s上有yt，y（s）=1≥ \'\'σU∧ “∑L}∩ {σL≥ 由∑U和ut的定义得出的∑U，因此，（IV）≤ EZTtL 1{X（s）+D-yJ（s，1）>0}ds= 0.我们最终注意到zttut，y（r）dr=yt，y（T）- Y≤ 1.- y、 因此，ut，y等于U（t，y）。鉴于定理2.2（ii）和引理3.2，上述命题总结了定理3.1的证明，因此定理1.1.4值过程的正则性的唯一性部分（ii）在本节中，我们研究y变量中值过程的“良好”版本J的正则性。在本节剩余部分中，我们始终假设J是在Proposition 2.1中构造的随机场。注意，通过凹度，单边导数D±yJ（t，y）存在。鉴于第2.2和（1.6）项，我们观察到，一旦建立了以下结果，J就满足了定理1.1（i）的要求。定理4.1。假设X满足现有假设，即LCE。然后，对每个人来说∈ [0，T]，有一组Ohmtof full P-测量每个ω的suc h∈ Ohmt、 地图7→ J（t，ω，y）在（1）上连续可微- L（T）- t） ，1）。此外，对于每一个t∈ [0，T]和y∈ (1 -L（T）- t） ，1），λ[t，t]存在yJ（s，ω，y）-1.-yL] P-几乎每一个（s，ω）。备注4.2。（i） LCE假设对于定理4.1来说至关重要。