基于离散模型的次临界Heston模型参数估计

实际上，用符号f（c，d，γ，δ）：=nXi=1（易）- dYi-1.-c） +（Xi）- xi-1.-γ - δYi-1), （c，d，γ，δ）∈ R、 我们有Fc（c，d，γ，δ）=-2nXi=1（Yi）- dYi-1.- c） ,，Fd（c，d，γ，δ）=-2nXi=1Yi-1（易）- dYi-1.- c） ,，Fγ（c，d，γ，δ）=-2nXi=1（Xi- xi-1.- γ - δYi-1),Fδ（c，d，γ，δ）=-2nXi=1Yi-1（Xi）- xi-1.- γ - δYi-1).因此，由f等于0的一阶偏导数组成的方程组形成“nPni=1Yi-1Pni=1Yi-1Pni=1Yi-1#!cdγδ=Pni=1YiPni=1Yi-1YiXn- xPni=1（Xi- xi-1） 易-1..这个imp位于（3.4），因为由f的二阶部分导数组成的4×4矩阵具有形式2i“nPni=1Yi-1Pni=1Yi-1Pni=1Yi-1#为正定义，前提是nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi）-1). 事实证明，在计算（c，d，γ，δ）的CLSE时，不需要知道参数σ，σ和δ的值.下一个引理确保了基于d iscr观测的（c，d，γ，δ）CLSE的唯一存在性。3.1引理。如果∈ R++，b∈ R、 σ∈ R++，Y=Y∈ R+，然后f或所有n>2，n∈ N、 韦哈维普nnXi=1Yi-1> nXi=1Yi-1.= 因此，假设α，β∈ R、 σ∈ R++， ∈ (-1，1），存在（c，d，γ，δ）的唯一CLSE（bcCLSEn，bdCLSEn，bγCLSEn，bδCLSEn），其形式为（3.4）中的gi ven。证据通过简单的计算，nnXi=1Yi-1.-nXi=1Yi-1!= nnXi=1易-1.-nnXj=1Yj-1.> 0，当且仅当i-1=nnXj=1Yj-1，i=1，N<==> Y=Y=···=Yn-1.然后，对于所有n>2，P（Y=Y=···=Yn）-1） 6 P（Y=Y）=P（Y=Y）=0，因为Yi定律是绝对连续的，参见Cox等人[4，formu la 18]。注意引理3.1对所有b都有效∈ R、 也就是说，不仅仅是对于苏-伯临界赫斯顿模型。接下来，我们描述了（c，d，γ，δ）的CLSE的渐近行为。

如果a，b∈ R++，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈R++×R，则（3.4）中给出的（c，d，γ，δ）的CLSE（bcCLSEn，bdCLSEn，bγCLSEn，bδCLSEn）是强一致且渐近正态的，即。，（bcCLSEn，bdCLSEn，bγCLSEn，bδCLSEn）a.s。-→ （c，d，γ，δ）as n→ ∞,和√NbcCLSEn- cbdCLSEn- dbγCLSEn- γbδCLSEn- δL-→ N（0，E）作为N→ ∞,对于一些明确给定的对称正定义矩阵E∈ R2×2注入（3.14）。证据到（3.4），我们得到“bcCLSEnbdCLSEn”#=nXi=1“易-1#“易”-1#-1nXi=1“易-1#Yi=nXi=1“易-1#“易”-1#-1.nXi=1“易-1#“易”-1#“cd#+nXi=1“易-1#“易”-1#-1nXi=1“易-1#（易）- C- dYi-1） =“cd#+nnXi=1“易-1#“易”-1#-1nnXi=1“Yi-1#εi，（3.5）式中εi:=Yi- C- dYi-1.我∈ N、 假设nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi）-1). 根据（3.1）和（3.3），E（Yi | Fi-1） =dYi-1+c，i∈ N、 因此（εi）i∈这是关于过滤（Fi）i的一系列鞅差∈Z+。通过（2.1），我们得到了yi=e-拜-1+aZii-1e-b（i）-u） du+σZii-1e-b（i）-u） pYudWu=dYi-1+c+σZii-1e-b（i）-u） pYudWu，我∈ N、 因此，根据Karatzas和Shreve[12]中的命题3.2.10和（2.2），我们得到了（εi | Fi）-1） =σE齐伊-1e-b（i）-u） 俾德乌菲-1.= σZii-1e-2b（i）-u） E（Yu|Fi）-1） du=σZii-1e-2b（i）-u） e-b（u）-i+1）易-1du+σZii-1e-2b（i）-u） 阿祖-1e-b（u）-v） dv du=σYi-1Ze-b（2）-v） dv+σaZZue-b（2）-五、-u） dv du=：CYi-1+C.现在我们将定理2.5应用于平方可积martin gale M（C）n:=Pni=1εi，n∈ N、 它具有可预测的二次变化过程hM（c）in=Pni=1E（εi | Fi-1） =CPni=1Yi-1+Cn，n∈ N、 例如，见Shiryaev[16，第七章，第1节，公式（15）]。通过（2.5）和（2.7），hM（c）inna。s-→ 行政长官（Y）∞) + 卡斯n→ ∞,自从C，C∈ R++，hM（c）ina。s-→ ∞ 作为n→ ∞. 因此，根据定理2.5，（3.6）nnXi=1εi=M（c）nhM（c）inhM（c）inna。s-→ 0·（CE（Y）∞) + C） =0表示n→ ∞.同样地，E（Yi）-1εi | Fi-1） =易-1E（εi | Fi）-1） =CYi-1+CYi-1.我∈ N、 通过与之前基本相同的推理，nPni=1Yi-1εia。s-→ 0作为n→ ∞.

通过（2.5）和（2.7），nnXi=1“易-1#“易”-1#-1=“nPni=1Yi-1nPni=1Yi-1nPni=1Yi-1#-1a。s-→“1 E（Y）∞)E（Y）∞) E（Y）∞)#-1（3.7）作为n→ ∞, 我们使用E（Y）的地方∞) - （E（Y）∞))=aσ2b∈ R++，因此，极限是非奇异的。因此，通过（3.5），（bcCLSEn，bdCLSEn）a.s。-→ （c，d）作为n→ ∞.进一步，通过（3.4），“bγCLSEnbδCLSEn#=nXi=1“易-1#“易”-1#-1nXi=1“易-1#（Xi）- xi-1)!=nXi=1“易-1#“易”-1#-1.nXi=1“易-1#“易”-1#\"γδ#+nXi=1“易-1#“易”-1#-1nXi=1“易-1#（Xi）- xi-1.- γ - δYi-1)=\"γδ#+nnXi=1“易-1#“易”-1#-1nnXi=1“Yi-1#ηi，（3.8），其中ηi：=Xi- xi-1.- γ - δYi-1.我∈ N、 假设nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi）-1). 通过（3.1）和（3.3），E（Xi | Fi-1） =Xi-1+δYi-1+γ，i∈ N、 i）和η∈这是一系列与过滤（Fi）有关的艺术差异∈Z+。