带资本的跳扩散模型的最优红利问题

注意（L）- δ） Vb*（x） =0和V′b*（十）≥ x的α∈ [0，b]*) 由于Vb的凹陷性*关于[0，b]*).自从Vb*（x） =α（x）- B*) + Vb*（b）*) 为了x≥ B*, 我们有- δ） Vb*（x） =-pα+αZ∞yF（dy）- α（x）- B*) - δVb*（b）*)< -pα+αZ∞yF（dy）- δVb*（b）*)= 利克斯→B*+（L）- δ） Vb*（x） =limx→B*-（L）- δ） Vb*（x） =0，因为Vb的连续性*, V′b*, 和V′b*在x=b时*. 因此，函数Vb*满足HJB方程（3.2）。然后，根据引理3.1，Vb*（十）≥ Vd（x）。然而，Vb*（十）≤ 定义的Vd（x），因此Vb*（x） =Vd（x）。3.4两个封闭形式的解由于方程的复杂性，通常无法以明确形式获得该解。以下两个例子表明，在某些特殊情况下，可以导出闭式解。例3.1。假设r=0，σr=0。然后，Vb*（x） 满足以下积分微分方程*（x） =δVb*（x） ，0<x<b*, （3.9）和VB*（x） =α（x）- B*) + Vb*（b）*), x>b*, （3.10）具有边界条件SVB*（0）=0，Vb*′（x） |x=b*= α、 （3.11）式中g（x）=σpg′（x）- pg′（x）- λg（x）+λZ∞g（x+y）F（dy）。根据尹、文和赵[28]中使用的拉普拉斯变换的参数，可以证明（3.9）-（3.11）的解是由VB给出的*（x） =-αZ（δ）（b）*- x） +αE[x]δ和b*= （Z（δ））-1.E[X]δ,式中，Z（δ）（x）=1+δZxW（δ）（y）dy，Z（δ）（x）=ZxZ（δ）（y）dy，x∈ R.在这里，W（δ）是所谓的δ-scale函数，定义方式为：对于allx<0，W（δ）（x）=0，并且其拉普拉斯变换在[0，∞ ) 是拜兹给的∞E-θxW（δ）（x）dx=ψ（θ）- δ、 θ>sup{θ≥ 0:ψ（θ）=δ}，其中ψ（θ）=pθ+σpθ+λZ∞（e）-θx- 1） F（dx）。关于更多细节，读者请参考《阴与文》[26]。例3.2。设σR=σp=0。假设xi与参数u呈指数分布。

然后，通过定理3.1和引理3.2，可以证明Vb*（x） 满足以下积分微分方程（rx- p） V′b*（x） +λuZ∞Vb*（x+z）e-uzdz=（λ+δ）Vb*（x） ，0<x<b*, （3.12）和VB*（x） =α（x）- B*) + Vb*（b）*), x>b*, （3.13）具有边界条件SVB*（0）=0，Vb*′（x） |x=b*= α. （3.14）从方程（3.12）中，我们发现了thatzg′（z）+1.-λ+δr- Zg′（z）+δrg（z）=0，其中g（z）=Vb*（x） ，z=u十、-公共关系.请注意，这是Kummer的反超几何方程，其解由g（z）=CM给出-δr，1-λ+δr，z+ 铜-δr，1-λ+δr，z,式中，Cand Care常数，M（a，b，x）是标准的反几何函数，U（a，b，x）是其第二种形式；例如，见Abramowitz和Stugen[1，第504-505页]。然后，它就变成了VB*（x） =厘米-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）+ 铜-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）.使用边界条件（3.14）和公式em′（a，b，z）=abM（a+1，b+1，z），U′（a，b，z）=-aU（a+1，b+1，z），我们得到了系数c=αU(-δr，1-λ+δr，-upr）（b）*),andC=-αM(-δr，1-λ+δr，-upr）（b）*),哪里（b）*) = -δr- λ - δU-δr，1-λ+δr，-uprM1.-δr，2-λ+δr，u（b）*-（公共关系）+δrM-δr，1-λ+δr，-uprU1.-δr，2-λ+δr，u（b）*-（公共关系）,b*是第一项的最大化者/（b） 尊重b，即b*= 阿格麦克斯（b） 。4.有资本注入的最优股利问题在本节中，我们考虑有资本注入的最优股利问题。容许策略集由Ξc={ξc=（Lξc，Gξc）：（Lξc，Gξc）给出∈ Ξ和Uξct≥ 0}.受控剩余过程Uξctsatiesduξct=dPt+Uξct-dRt- dLξct+dGξct，t≥ 0，值函数定义为vc（x）=supξc∈ΞcV（x；ξc）≡ supξc∈ΞcExαZ∞0-E-δtdLξct- βZ∞0-E-δtdGξct, 十、≥ 0.（4.1）由于受控盈余过程始终保持积极，公司永远不会破产。

我们将确定价值函数vc的形式和最优策略ξ*C这样Vc（x）=V（x；ξ*c） .4.1 HJB方程和验证引理应用第3节中使用的技术，我们得到HJB方程和验证引理。最大值{Lw（x）- δw（x），α- w′（x），w′（x）- β} =0，x≥ 0.（4.2）引理4.1。（验证引理）设w为（4.2）的解。n，w（x）≥ V（x；ξc）对于任何可采策略ξc∈ Ξc，因此w（x）≥ 我们现在构造HJB方程（4.2）的凹C解H。由于贴现率的影响，很明显，最佳策略是尽可能长时间推迟注资，也就是说，我们只在盈余为零时注资。考虑上屏障B的屏障策略*下势垒0和策略π*= （Lπ）*, Gπ*) 其中（Uπ）*t、 Lπ*,xt，Gπ*,x） 是以下系统的解决方案duπ*t=dPt+Uπ*T-dRt- dLπ*t+dGπ*t、 （4.3）0≤ Uπ*T≤ B*, T≥ 0，（4.4）Lπ*,xt=最大值（x- B*, 0）+Zt-0-1（Uπ）*s=B*)dLπ*s、 t>0，（4.5）Gπ*,xt=最大值- inf0≤s≤t（Ps- Lπ*s） ，0, t>0。（4.6）引理4.2。对于（4.3）-（4.6）的问题，如果H（x）solv esLH（x）=δH（x），0<x<B*,H（x）=H（B*) + α（x）- B*) 对于x>B*边界条件sh′（0）=β，H′（B*) = α、 其中最小生成元L由（2.4）给出，那么H（x）由H（x）=V（x；π）给出*) ≡ 前任αZ∞0-E-δtdLπ*,xt- βZ∞0-E-δtdGπ*,xt, 十、≥ 0.（4.7）证据。对于策略π*, 定义∧={s:Lπ*,xs-6=Lπ*,xs}。设Lπ*,x、 ctbe是Lπ的连续部分*,xt。由于过程是向下无跳的，Gπ*,这是连续的。此外，我们可以从（4.6）中看到Gπ*,xt≥ 0和Stieltjes测度dGπ的支持度*,包含在集合{t:Uπ的闭包中*t=0}。

伊藤半鞅公式在e中的应用-δtH（Uπ）*t） givesEx[e]-δtH（Uπ）*T-)] = H（x）+ExZte-δs（L）- δ） H（Uπ）*s） ds+ExXs∈∧，s≤te-δsH（Uπ）*（s）- H（Uπ）*s-)-ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dLπ*,x、 cs+ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dGπ*,xs。（4.8）注意（L）- δ） H（Uπ）*s） =0，那么exxs∈∧，s≤te-δsH（Uπ）*（s）- H（Uπ）*s-)= αXs≤te-δs（Lπ）*,xs- Lπ*,xs-),ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dLπ*,x、 cs=ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s） dLπ*,x、 cs=αExZt-0-E-δsdLπ*,x、 cs，ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dGπ*,xs=ExZt-0-E-δU（sH′）*s） dGπ*,xs=βExZt-0-E-δsdGπ*,xs。然后，它跟随着-δtH（Uπ）*T-)] = H（x）- αExZt-0-E-δsdLπ*,xs+βExZt-0-E-δsdGπ*,xs。（4.9）自limt→∞例如-δtH（Uπ）*T-)] ≤ 极限→∞例如-δtH（B）*)] = 0，让t→ ∞ 在（4.9）和中，使用单调收敛定理yieldH（x）=αExZ∞0-E-δsdLπ*,xs- βExZ∞0-E-δsdGπ*,xs=V（x；π）*).引理4.3。V（x；π）*) 是（0，∞).证据与引理3.3的证明类似，我们使用了Kulenko和Schmidli[20]的论点。设x>0，y>0，l∈ (0, 1). 考虑策略（Lπ）*,x、 Gπ*,x） 和（Lπ）*,y、 Gπ*,y） 对于首字母x和y，定义Lt=lLπ*,xt+（1）- l） lπ*,ytandGt=lGπ*,xt+（1）- l） Gπ*,嗯。那么，Lt=Lπ*,lx+（1）-l） 嗯。我们有lx+（1）- l） y+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds-中兴通讯（R）-1s-（l dLπ）*,xs+（1）- l） dLπ*,ys）+中兴通讯（R）-1s-（l dGπ）*,xs+（1）- l） dGπ*,ys）=lx+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds-中兴通讯（R）-1s-dLπ*,xs+E（R）tZtE（R）-1s-dGπ*,xs+(1 - l）y+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds-中兴通讯（R）-1s-dLπ*,Y+E（R）tZtE（R）-1s-dGπ*,Y≥ 0.这表明策略（Lt，Gt）是可容许的，并且是thatGπ*,lx+（1）-l） yt≤ lGπ*,xt+（1）- l） Gπ*,嗯。它遵循t hatV（lx+）（1- l） y，π*) = EαZ∞0-E-δtdLπ*,lx+（1）-l） yt- βZ∞0-E-δtdGπ*,lx+（1）-l） yt≥ 乐αZ∞0-E-δtdLπ*,xt- βZ∞0-E-δtdGπ*,xt+(1 - l） EαZ∞0-E-δtdLπ*,yt- βZ∞0-E-δtdGπ*,yt= lV（x，π）*) + (1 - l） V（y，π）*),这意味着V的凹度。V（x；π）递增性的证明*) 这是例行公事。

4.3最佳验证确定屏障水平asB*= sup{B≥ 0:H′（B）-) = α}.我们推测势垒策略π*这是最优的。定理4.1。（4.7）中定义的值函数H满足（x）=Vc（x）=supξc∈ΞcVξc（x），以及联合策略π*= （Lπ）*, Gπ*) 是最优的，其中（Lπ*, Gπ*) 由（4.5）和（4.6）给出。证据注意（L）- δ） H（x）=0和α≤ H′（x）≤ β代表x∈ [0，B]*) 由于[0，B]上的H是共通的*). 为了x≥ B*H（x）=α（x- B*) + H（B）*), 我们有- δ） H（x）=-pα+αZ∞y∏（dy）- α（x）- B*) - δH（B）*)< -pα+αZ∞y∏（dy）- δH（B）*)= 利克斯→B*+（L）- δ） H（x）=limx→B*-（L）- δ） H（x）=0。由于H的连续性，H′和H′在x=B时*. 因此，函数H表示HJBequation（4.2）。通过引理4.1，我们得到H（x）≥ Vc（x）。另一方面，H（x）≤ Vc（x）。因此，H（x）=Vc（x）。4.4两个闭式解我们现在给出两个可以导出闭式解的例子。例4.1。假设r=0，σr=0。然后，H（x）满足以下积分微分方程a（x）=δH（x），0<x<B*, （4.10）和h（x）=α（x- B*) + H（B）*), x>B*, （4.11）边界条件为sh′（0）=β，H′（B）*) = α、 （4.12）式中g（x）=σpg′（x）- pg′（x）- λg（x）+λZ∞g（x+y）F（dy）。同样，使用拉普拉斯变换的参数，可以证明（4.10）和（4.11）的解由h（x）给出-αZ（δ）（B）*- x） +αE[x]δ和b*= （Z（δ））-1.βα,其中，示例3.1中定义了Z（δ）（x）和Z（δ）（x）。在α=1的情况下，这些公式是在Bayraktar、Kyprianou和Yamazaki[11]中通过使用光谱正L’evy过程的波动理论得到的。例4.2。设σR=σp=0。假设xi与参数u呈指数分布。

然后，通过定理4.1和引理4.2，H（x）满足以下积分微分方程（rx- p） H′（x）+λuZ∞H（x+z）e-uzdz=（λ+δ）H（x），0<x<B*, （4.13）和h（x）=α（x）- B*) + H（B）*), x>B*, （4.14）边界条件为sh′（0）=β，H′（B）*) = α. （4.15）重复实施例3.2中的步骤，我们得到h（x）=CM-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）+ 铜-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）.常数C和C可根据边界条件（4.15）确定。使用公式em′（a，b，z）=abM（a+1，b+1，z），U′（a，b，z）=-aU（a+1，b+1，z），我们得到c=β- α- ,andC=α- β- ,哪里= -δr- λ - δM1.-δr，2-λ+δr，-upr,=δrU1.-δr，2-λ+δr，-upr,= -δr- λ - δM1.-δr，2-λ+δr，u（B）*-（公共关系）,=δrU1.-δr，2-λ+δr，u（B）*-（公共关系）.给你，B*是关于b的下列方程的唯一解：-δr- λ - δCM1.-δr，2-λ+δr，u（b）-（公共关系）+δrU1.-δr，2-λ+δr，u（b）-（公共关系）= α、 5无约束问题的解决方案我们现在考虑控制问题（2.6），对注资没有任何限制。在这种情况下，r uin可能发生，并且控制策略ξ的r uin时间被定义为τξ=inf{t:Uξt=0}，这是由于扩散和无跳向下剩余过程。然后，对于所有x，它遵循（3.1）、（4.1）和（2.5）≥ 0，Vξ（x）≥ max{Vd（x），Vc（x）}。我们将决定*最优策略ξ*以至于*（x） =V（x；ξ）*).5.1验证Lemma对于不限制人均注射的控制问题，我们得到以下相关HJB方程：max{Lv（x）- δv（x），α- v′（x），v′（x）- β} =0，x≥ 0，（5.1）与边界条件max{-v（0），v′（0）- β} = 0. （5.2）引理5.1。（验证引理）如果v满足HJB方程（5.1）和边界条件（5.2），则v（x）≥ Vξ（x）对于任何可容许策略ξ。证据对于任何可容许的策略ξ∈ Ξ，put∧={s:Lξs-6=Lξs}。

半鞅的伊藤公式在e中的应用-δtv（Uξt）给定性别[e]-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ-)] = v（x）+ExZt∧τξ-E-δs（L）- δ） v（Uξs）-)ds+ExXs∈∧，s≤T∧τξ-E-δsnv（Uξs）- v（Uξs）-)o-ExZt∧τξ-0-E-δsv′（Uξs）-)dLξ，cs+ExZt∧τξ-0-E-δsv′（Uξs）-)dGξs，（5.3）其中Lξ，csi是Lξs的连续部分。我们从（5.1）中看到：- δ） v（Uξds）-) ≤ 0和α≤ v′（x）≤ β. 因此，ExZt∧τξ-0-E-δsv′（Uξs）-)dGξs≤ βExZt∧τξ-0-E-δsdGξs，（5.4）和∈ ∧，s≤ T∧ τξ，v（Uξs）- v（Uξs）-) ≤ -α（Lξs）- Lξs-). （5.5）根据（5.3）和（5.5）得出-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ-)] ≤ v（x）- αExZt∧τξ-0-E-δsdLξs+βExZt∧τξ-0-E-δsdGξs.（5.6）最后，通过让t→ ∞ 在（5.6）中，注意到（通过Fat-ou引理）lim inf→∞例如-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ-)] ≥ Ex[lim inft→∞E-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ)] ≥ v（0）Ex[e-δτξ)] ≥ 0，我们证明了引理。5.2任何x的候选解决方案的构造≥ 0，我们将候选策略设置为ξ*=(ξ*d、 如果V′b*(0) ≤ β,ξ*c、 如果H（0）≥ 0，（5.7）和我们对beVξ的候选解*（x） =（Vd（x），如果V′b*(0) ≤ β、 Vc（x），如果H（0）≥ 0，（5.8），其中Vd和Vc分别由（3.1）和（4.1）以及Vb给出*和H分别由（3.6）和（4.7）给出。5.3最优性验证第5.1条。值函数Vξ*在（5.8）满足性ξ中定义*（x） =V*（x） =supξ∈ΞV（x；ξ），以及连接策略ξ*（5.7）中定义的是最佳的。证据如果V′b*(0) ≤ β、 然后Vb*用条件（5.2）满足等式（5.1）。因此，Vb*（十）≥ 五、*（x） 。另一方面，Vb*（x） =V（x；ξ）*d）≤ Vd（x）。接下来是vξ*（x） =Vb*（x） =Vd（x）。ξ的最优性*由定理3.1验证。如果H（0）≥ 0，则H满足HJB方程（4.1），因此H（x）≤ Vc（x）。由于H也满足方程（5.1）和条件（5.2），H（x）≥ V（x；ξ）*c）≥ Vc（x）。因此，我们有vξ*（x） =V（x；ξ）*c） =Vc（x）。ξ的最优性*cis由定理4.1验证。