可存储商品的最优动态采购策略

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英文标题：
《Optimal Dynamic Procurement Policies for a Storable Commodity with
  L\\\'evy Prices and Convex Holding Costs》
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作者：
Maria B. Chiarolla, Giorgio Ferrari and Gabriele Stabile
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we study a continuous time stochastic inventory model for a commodity traded in the spot market and whose supply purchase is affected by price and demand uncertainty. A firm aims at meeting a random demand of the commodity at a random time by maximizing total expected profits. We model the firm\'s optimal procurement problem as a singular stochastic control problem in which controls are nondecreasing processes and represent the cumulative investment made by the firm in the spot market (a so-called stochastic \"monotone follower problem\"). We assume a general exponential L\\\'evy process for the commodity\'s spot price, rather than the commonly used geometric Brownian motion, and general convex holding costs.   We obtain necessary and sufficient first order conditions for optimality and we provide the optimal procurement policy in terms of a \"base inventory\" process; that is, a minimal time-dependent desirable inventory level that the firm\'s manager must reach at any time. In particular, in the case of linear holding costs and exponentially distributed demand, we are also able to obtain the explicit analytic form of the optimal policy and a probabilistic representation of the optimal revenue. The paper is completed by some computer drawings of the optimal inventory when spot prices are given by a geometric Brownian motion and by an exponential jump-diffusion process. In the first case we also make a numerical comparison between the value function and the revenue associated to the classical static \"newsvendor\" strategy.
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中文摘要：
本文研究了在现货市场上交易的商品，其供应-购买受到价格和需求不确定性影响的连续时间随机库存模型。公司的目标是通过最大化总预期利润，在随机时间满足商品的随机需求。我们将企业的最优采购问题建模为一个奇异随机控制问题，其中控制是非减损过程，代表企业在现货市场上的累积投资（所谓的随机“单调跟随问题”）。我们假设商品的现货价格是一个一般的指数Léevy过程，而不是常用的几何布朗运动和一般的凸持有成本。我们获得了最优性的必要和充分的一阶条件，并根据“基本库存”过程给出了最优采购策略；也就是说，公司经理在任何时候都必须达到的与时间相关的最低理想库存水平。特别是，在线性持有成本和指数分布需求的情况下，我们还能够获得最优策略的显式分析形式和最优收益的概率表示。本文用计算机绘制了当现货价格由几何布朗运动和指数跳跃扩散过程给出时的最优库存。在第一种情况下，我们还对价值函数和与经典静态“报童”策略相关的收入进行了数值比较。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_Dynamic_Procurement_Policies_for_a_Storable_Commodity_with_Lévy_Prices_.pdf (332.77 KB)

2022-5-6 19:36:12 上传

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关键词：Quantitative Optimization Mathematical Presentation Procurement

具有L’evy价格和凸持有成本的可存储商品的最优动态采购策略*+M.B.Chiarolla*、G.Ferrari**和G.Stabile**Dipartmento di Metodi e Modelli per l\'Economia，il Territorio e e la Fina nza，意大利罗马萨皮恩扎大学**德国比勒菲尔德大学数学经济中心。本文研究了在现货市场交易的商品，其供应购买受价格和需求确定性影响的连续时间随机库存模型。企业的目标是通过最大化总预期利润，在随机时间满足商品的随机需求。我们将企业的最优采购问题建模为一个奇异的随机控制问题，其中控制是不可减损的过程，并表示企业在现货市场的累计投资（所谓的随机“单调幂问题”）。我们假设商品的现货价格是一般的指数L’evy过程，而不是常用的几何布朗运动和一般的凸持有成本。我们获得了实现最优的必要且充分的一阶条件，并根据基本库存流程提供了最优采购政策；也就是说，企业经理在任何时候都必须达到的最低库存水平取决于时间。特别是，在线性持有成本和指数分布需求的情况下，我们还能够得到最优策略的经验解析形式和最优收益的概率表示。本文用计算机绘制了当现货价格由几何布朗运动和指数跳跃微分过程给出时的最优库存图。

在第一种情况下，我们还对价值函数和与经典静态“报童”策略相关的收入进行了数值比较。关键词：连续时间库存，列维价格过程，单调跟随问题，最优一阶条件，基本库存水平。MSC2010子项目分类：93E20、60G51、49J40、91B26。*地址：通过德尔卡斯特罗·劳伦齐亚诺（del Castro Laurenziano）与加布里埃尔·斯塔比尔（Gabriele Stabile）通信，地址：意大利罗马萨皮恩萨大学金融区经济研究所，地址：90161 R oma。电子邮件：加布里埃尔。stabile@uniroma1.it.+第一和第三作者感谢萨皮恩扎大学（Sapienza Universit `a di Roma）资助的研究项目“Modelli，Valutazione Gestionel Rischio per i Mercati delle Commodities”。第二作者感谢德国研究基金会（DFG）通过RI1128-4-1赠款提供的财务支持。JEL分类：C02、C61、D92。1导言本文对价格和需求不确定情况下的库存管理政策的相关文献做出了贡献。通常，两种主要的采购机制是现货市场，其特点是交付周期可以忽略不计，以及长期合同，这有助于采购货物以备将来使用，并且在交付前不支付任何款项。近年来，现货市场在采购决策中的作用已变得突出。这也归因于在线现货市场的兴起，如存储芯片、化学品、能源等（见Seifert、Thonemann和Hausman，2004）。因此，相关文献对现货市场的数学模型及其在采购决策中的作用越来越感兴趣（见Bencherouf，2007；Guo，Kaminsky，Tomecek和Yuen，2011；Sato和Sawaki，2010等）。

例如，在小李（2009）和辛加（Xinga）、王波（Wangb）和刘（2012）中，企业对企业（B2B）市场获得了最佳采购策略。Bencherouf（2007年）、Sato和Sawaki（2010年）在脉冲控制的设置下研究了库存模型的最优补充策略，该库存模型在有限的计划期内使总预期贴现成本最小化。在Bench er ou f（2007）中，需求是由带漂移的布朗运动驱动的，而在Sato和Sawaki（2010）中，需求是确定的，商品的市场价格遵循几何布朗运动。inGuo等人（2011年）发现了一个属于奇异随机控制问题类的模型（即，控制是购买/出售商品的累积量，并且对于Lebesgue测度，它们可能是时间函数的奇异）。在那里，作者研究了在随机时间间隔结束时面临随机需求的企业的库存问题。公司可以在需求时间之前的任何时刻在现货市场购买或出售商品。在现货市场上交易商品可以以几何布朗运动的价格立即交货。该公司的目标是在线性持有和短缺成本下最大化总净预期利润。持有成本是由于库存储存，而短缺成本是在需求超过可用库存时产生的。事实上，在这种情况下，公司因无法满足需求而损失收入，并因声誉下降而损失未来业务。另一方面，在终端时间可能会有过剩的库存。可以通过打折出售等方式，以可能低于购买价格的价格打捞。

研究表明，现货市场可以用来对冲供应成本和需求价格的不确定性，尽管在经典文献中，当需求超过库存水平时，企业通常会进入现货市场。在本文中，我们基本上采用了郭等人（2011）的设置，但我们采用指数价格和凸持有成本，并且我们假设商品以指数速率随时间恶化。然而，我们不允许销售，也没有inventorylevel的限制。我们的控制问题是一个所谓的“单调跟随者问题”，因为销售是不允许的，控制过程代表了企业购买商品的累计数量。我们通过指数L’evy过程对商品现货价格P进行建模，以考虑到这样一个事实：从经验来看，市场是非高斯的，但它表现出显著的偏度和峰度。因此，我们放弃了正态分布增量的假设，同时保持了方便的马尔可夫结构。我们的设置还包括ju-mp过程（如泊松过程）或跳跃扩散过程，当然还有文献中通常假设的布朗过程。正如郭等人（2011年）所述，我们将随机需求D完全描述为具有有限平均值的一般绝对连续分布函数FD，随机需求时间呈指数分布，我们假设e D和Θ均不依赖于价格过程。这种独立性允许将企业的问题改写为具有有限时间范围的等价单调跟随者问题（关于单音跟随者问题的一些经典参考文献有Karatzas，1981；Karatzas，1983；Karatzas，&Shreve，1984；ElKaroui&Karatzas，1991）。我们利用问题的凹性和Koml\'os定理的适当版本（参见。

卡巴诺夫，1999年）。因此，我们通过一系列必要且有效的一阶条件来描述它，这些条件类似于班坎德·里德尔（2001）、班坎德·里德尔（2005）、奇亚罗拉、法拉利和里德尔（2013）、法拉利（2015）、里德兰·苏（2011）和斯特格（2012）等。这种条件可以被认为是经典库恩-塔克条件的有限维随机推广。它们代表了替代汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方法的avalid替代方案，尤其是在非马尔可夫环境中。我们证明了最优策略要求库存保持在基本库存水平以上l*t、 每次都是t.这个过程l*表示无法将商品购买延迟到未来任何时间的最大库存水平，因此它是一系列最优停止问题的特征（参见Bank&F¨ollmer，2002，了解与Gittins指数在连续时间内的关系）。当公司的库存水平严格高于l*t、 等待是最好的时机，因为此时企业面临库存过剩。另一方面，当库存低于l*t、 然后，企业应该立即进行投资，以达到这一水平l*t、 因此，正如在单调跟随问题中所预期的那样，最优库存策略表现为（随机）移动边界上Skorohod反射问题的解l*. 从库存理论的角度来看，这种最优策略的结构是非常自然的（例如，见Porteus，1990），在其他情况下也是众所周知的。例如，参见耐用品模型（参见银行和里德尔，2003年）、不可逆投资模型（参见Chiarolla和Hausman n，2009年；里德尔和苏，2011年）和记忆消费模型（参见银行和里德尔，2001年）。

我们指出，我们模型中的p参数有一个特定条件，根据该条件，最优采购政策包括完全不投资，无论选择什么随机需求和凸持有成本函数（见下面的命题5.3）。第6节给出了线性持有成本和指数分布需求下最优投资政策的显式形式。根据Bank和El Karoui（2004）的精神，通过求解一个倒向随机方程来确定基本库存水平，如预期的那样，它与价格有关。此外，在这种情况下，我们提供了值函数的概率表示。如果现货价格由几何涨落或指数跳跃扩散过程给出，我们用计算机绘制最优库存水平。最后，我们对经典的“NewsVendor”模型的修正版本相关的收入进行了数值比较，在该模型中，商品仅在初始时间购买一次，在几何布朗运动价格的情况下，我们的模型的价值函数也进行了比较。结果表明，我们的最优库存策略，在整个给定的时间间隔内动态行动，提供了比最优静态报童策略更高的收入。此外，价格波动性的增加使得两种收入之间的差异增加。因此，虽然当商品价格波动较大时，企业可能更喜欢长期合同，但我们的结果表明，为了增加收入，商品必须在现货市场上动态采购。这篇论文的结构如下。在第2节中，我们设定了企业的最优采购问题，在第3节中，我们导出了一个等价的凹奇异随机控制问题。

在第4节中，我们证明了最优采购策略的存在性，在第5节中，我们得到了最优采购策略的一个特征。最后，第6节包含一些明确的例子和计算机绘图。2问题公式考虑企业选择单一商品的动态采购政策，以在规定的未来随机时间满足随机需求。每满足一个单位的需求就会产生利润，这取决于时间Θ，PΘ的现货价格。随时∈ [0，Θ）企业可以不断增加库存，但不能在终端时间Θ购买库存以满足需求。如果时间Θ的库存低于需求，则企业将产生与PΘ成比例的运输成本。另一方面，当时间Θ的库存超过需求时，过剩的库存将通过在现货市场以αsPΘ的价格出售来回收一些0<αs≤ 1.与采购政策相关的成本是在现货市场购买商品所产生的订购成本，以及及时储存商品的持有成本。将模型引入一个完全概率空间(Ohm, G、 Q）并将需求时间Θ设为正G-可测随机变量。考虑一个s pot市场，商品可以随时交易∈ [0，Θ）在这里{Pt，t≥ 0}是一个关于(Ohm, G、 Q）和{Ft，t≥ 0}是Pt生成的过滤。我们假设了通常的完整性和右连续性假设。定义2.1。价格过程Pt具有以下指数L′evy结构Pt=eδt-ζXt-π(-ζ） t，t≥ 0，（2.1）式中δ，ζ∈ R、 X是一个马尔可夫过程，X=0，右连续样本路径，平稳、独立增量，且所有ζ的有限拉普拉斯指数π（·）由[eζXt]=eπ（ζ）t给定∈ R和t>0。常数δ可以被视为利率，而ζ可以被视为风险的市场价格。备注2.2.1。

在考虑结构（2.1）时，没有失去一般性，因为常用的价格动力学可以通过X的拉普拉斯变换调整δ，以形式（2.1）进行转换。这种结构（2.1）通常出现在受马尔可夫不确定性过程X影响的金融市场中（见杜菲，1992年，第6章，关于布朗环境的讨论）。不确定性过程X比文献中通常假设的布朗过程更一般。实际上，我们放弃了正态分布增量的假设，同时保持了方便的马尔可夫结构。我们的设置还包括跳跃过程的情况，如泊松过程，或ju mp Diff u si on过程（见第6节），以及通过设置ζ=0获得的确定性情况。对于正的、G-可测量的随机变量Θ和D，我们做出以下假设（另请参见Guo等人，2011年，第3.1节）。Θ独立于过滤{Ft}和D.2。Θ呈指数分布，速率λ>0.3。D独立于Θ和{Ft}，其分布FD（y）=Q（D≤ y） 与密度fD（y）=F′D（y）绝对连续。此外，E[D]<∞.特别是假设2.3，第2点意味着平均需求时间为1/λ。我们用r>0表示公司的经理折扣系数，并假设公司的存货yy，ν为以下动态dYy，νt=-εYy，νtdt+dνt，t>0，Yy，ν=y，（2.2），其中ε≥ 0是商品劣化率，y≥ 0是初始库存量，ν是截至时间t的累计商品购买量。事实上，我们取ν∈ A，其中A:=nν：Ohm ×R+→ R+不减损，左连续，{Ft}s。t、 那么（2.2）的显式解是yy，νt=e-εt[y+νt]，t≥ 0，（2.3）带νt:=Z[0，t）eεsdνs，t≥ 0.（2.4）映射A ν 7→ν ∈ 由（2.4）定义的定义是一对一的。

ν的左连续性捕获了在时间Θ时不能购买任何商品的限制。ν是{Ft}自适应的这一事实保证了任何投资决策都是在时间t之前的p-rice过程的所有信息的基础上做出的。需求时间Θ的净收益函数由pΘG（Yy，νΘ，D）给出，其中“收益乘数”G由G（y，D）定义：=αmin{y，D}- αp[D- y] ++αs[y- D] +，（2.5）对于任何库存水平y≥ 0.注意[D]- Yy，νΘ]+表示时间Θ和αp时的不满足需求量≥ 0是一个惩罚因子。类似地[Yy，νΘ- D] +是指根据系数αs，现货市场以可能低于PΘ的价格结算时的库存过剩量∈ （0，1）。最后，α≥ 1代表满足需求量的溢价系数。请注意α+αp- αs≥ 0.在时间t增加库存的成本∈ [0，Θ）按数量dνtis Ptdνt，其中在最小时间间隔（t，t+dt）内持有存货的成本 [0，Θ）是c（Yy，νt）dt。因此，对于任何可接受的采购政策，企业的总预期贴现收益为j（y，ν）=需求时的净预期贴现收益Θ- 预期贴现持有成本总额- 总预期订购成本；也就是说，J（y，ν）=EE-rΘPΘG（Yy，ν，D）-ZΘe-rtc（Yy，νt）dt-Z[0，Θ）e-rtPtdνt. （2.6）以下长期假设应贯穿于假设2.4。持有成本函数c:R+→ R+是凸的，严格递增，与c（0）=0和Z连续可微分∞E-rtc′（ye）-εt）dt<∞, 对任何人来说≥ 0.（2.7）备注2.5.1。请注意，要求c（0）=0没有失去一般性，因为如果c（0）=K>0，则可以始终设置^c（y）：=c（y）- c（0）并写入c（y）=^c（y）+K，这样企业的优化问题（参见下面的（2.13））在加性常数之前保持不变。2.