多维Black-Scholes偏微分方程中数字符号的使用

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英文标题：
《The Use of Numeraires in Multi-dimensional Black-Scholes Partial
  Differential Equations》
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作者：
Hyong-chol O, Yong-hwa Ro and Ning Wan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The change of numeraire gives very important computational simplification in option pricing. This technique reduces the number of sources of risks that need to be accounted for and so it is useful in pricing complicated derivatives that have several sources of risks. In this article, we considered the underlying mathematical theory of numeraire technique in the viewpoint of PED theory and illustrated it with five concrete pricing problems. In the viewpoint of PED theory, the numeraire technique is a method of reducing the dimension of status spaces where PDE is defined.
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中文摘要：
在期权定价中，计价单位的变化提供了非常重要的计算简化。这种技术减少了需要考虑的风险来源的数量，因此在为具有多个风险来源的复杂衍生品定价时非常有用。在这篇文章中，我们从PED理论的角度考虑了计分法的基本数学理论，并用五个具体的定价问题对其进行了说明。在PED理论的观点中，数字技术是一种降低状态空间维数的方法，其中定义了PDE。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> The_Use_of_Numeraires_in_Multi-dimensional_Black-Scholes_Partial_Differential_Eq.pdf (256.75 KB)

2022-5-6 20:09:43 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes 偏微分方程 Black

在多维Black-Scholes偏微分方程中使用数值符号so，Hyong-chol1,2RO，Yong hwaWan，朝鲜平壤金日成大学基础科学研究中心，中国上海同济大学韩国应用数学系，研究员；王宁，1979-，研究生摘要在期权定价中，计价单位的变化给出了非常重要的计算简化。这项技术减少了需要考虑的风险源的数量，因此在为具有多个风险源的复杂衍生品定价时非常有用。在这篇文章中，我们从PED理论的角度考虑了数字技术的基本数学理论，并用具体的定价问题加以说明。在PED理论的观点中，数字技术是一种降低状态空间维数的方法，其中定义了PDE。关键词数字；布莱克-斯科尔斯方程；员工持股计划；选择；储蓄计划；可转换债券；利率衍生品；零耦合键导数。AMS科目分类：35C05；35K15；91B24；91B28；91B30。果冻：G13；G331简介在期权定价中，改变数值是减少风险数量的一种非常重要的方法。在理论文件中，数字的变化是众所周知的，但似乎这种方法在应用中并不经常使用，许多实践者不知道如何以及何时使用[1]。

因此，在[1]中，他们从随机微积分的角度描述了数值变换方法的本质，并给出了5个典型例子来描述数值变换的用法和错误用法。在随机价格的两种资产中选择一种资产的期权是一个具有多个风险源的典型例子，在这类期权的定价问题中，数值的变化具有优势。使用数字变化简化期权定价的想法与著名的布莱克-斯科尔斯公式有着几乎相同的悠久历史。在布莱克-斯科尔斯公式中，我们可以把美元当作计价单位。梅尔顿[12]使用改变计分制的方法推导出随机收益率为零的欧洲期权定价公式（但他没有使用计分制这一术语）。Margrabe[11]第一个名字是numeraire。在他的论文中，Margr abe承认Steve Ro ss建议他使用资产作为计价单位。Brenner、Galai[3]和Fisher[4]使用了我们现在使用的改变计分法。Harrison和Kreps[7]使用具有严格正值的证券价格作为计价单位。他们用作计分的资产没有市场风险，而且利率为零，因此分析更容易。格曼[6]和詹姆士典[8]研究了数字技术变化的数学基础。本文可以说是[1]的PDE版。也就是说，我们的目的是从偏微分方程理论的角度来描述数字技术变化的特点。

我们将给出[1]的4个例子，以及Li和Ren[10]的另一个例子来描述使用变更计分法的PDE基础：2 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ningo员工持股计划（ESOP）的定价具有货币执行价的定价选择权。o提供索引选择的定价节约计划。o可转换债券的定价可在到期时转换为股票的债券定价。总之，从偏微分方程理论的观点来看，数值变换是一种降低多维偏微分方程域空间维数的方法。2.PDE基础上的数值变化假设：考虑的红色期权价格取决于（n+1）风险源。（i） S（t）、S（t）、··、Sn（t）是不支付股息的可交易资产的无套利价格过程。（ii）在ris k中性测度下，S（t），S（t），··，Sn（t）satisfydSi（t）Si（t）=r（t）dt+mXj=1σijdWj（t），i=0，1，··，n（1）这里r（t）是短期利率，Wj（j=1，··，m）是一维标准维纳过程，满足（dWi）=0，（2）var（dWi）=dt，（3）Cov（dWi，dWj）=0，（i6=j）。（4） V（S，S，·，Sn，t）是到期日为t的多资产期权的无套利价格函数。由蒋[9]提出，V（S，S，·，Sn，t）满足（n+1）维BlackScholes方程：五、t+nXi，j=0aijSiSj五、硅Sj+r（t）nXi=0Si五、硅- r（t）V=0。（5） 这里，j=nXk=0σikσjk，（i，j=0，1，·，n）。（6） A=[aij]是一个正对称矩阵。（iv）期权的到期收益如下：V（S，S，·Sn，T）=P（S，S，·Sn）。（7） 在多维Black-Schole偏微分方程3中使用N个数值期权的无套利价格V（s，s，··，Sn，t）解决了PDE（5）和（7）的问题。

等式（5）是一个抛物线方程，其中（n+1）个空间变量反映（n+1）个风险源。定理1考虑在{（S，S，··，Sn，t）域中求解问题（5）和（7）∈Rn+1 | t>0，Si>0，i=0，1，·n}。如果到期日支付函数P满足同质性，即P（aS，aS，··，aSn）=aP（S，S，··，Sn），那么当使用Sas作为数值时，a>0，即变量u=VS，zi=SiS，i=1，··，n，（8）我们可以将空间维度减少一。因此，（n+1）维问题（5）和（7）被转化为n维Black Scholese方程的终值问题。证据设f（z，··，zn）= P（1，z，·zn）。既然通过P的同质性假设，我们有P（1，z，··，zn）=P（S，S，··，Sn）S=V（S，S，··，Sn，T）S，我们可以这样写：U（z，·，zn，T）=F（z，··，zn）。（9） 因此，终端条件变为n维函数。在（5）中，如果我们使用关系V（S，S，·，Sn，t）=U（z，·，zn，t）S将V的Si导数转化为U的zi导数，那么Ut+nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）zizjU子zj=0。（10） （QED）现在，如果我们可以使用多维Black-Scholes公式（蒋[9]（7.3.22））来获得问题（10）和（9）的解表示。方程（10）系数的n维矩阵。Bn=[a]- ai0- a0j+aij]ni，j=1是一个对称的正矩阵。

事实上，对称性的性质是evide nt，对于每一个ξ=（ξ，··，ξn）⊥∈ 注册护士(⊥表示转置矩阵），ξ⊥Bnξ=nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）ξiξj=a-nXi=1ξi+nXi=1ai0ξi-nXj=1ξj+nXj=1a0j-nXi=1ξi！ξj+nXi，j=1aijξiξj.4o，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ninghua Wan，因此如果我们让η=-nXj=1ξi，ξ，···，ξn⊥∈ Rn+1，然后通过A的正性，我们得到ξ⊥Bnξ=η⊥Aη≥ 因此（10）是n维Black-Scholes方程，通过多维Black-Scholes公式，我们得到了（Z，t）=2π（T）- （t）编号：det Bn|-Z∞···Z∞F（y，··，yn）y，··，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- （t）dy··dyn，其中z=（z，··zn）⊥, ~α=（α，··，αn）⊥αi=lnziyi-A.- 2ai0+aii（T-t） ，i=1，···，n。回到原始变量S，S，··，Sn，我们得到了（5）和（7）的解：V（S，S，··，Sn，t）=SU（Z，t）=S2π（T）-（t）编号：det Bn|-×Z∞···Z∞P（1，y，··，yn）y，··，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- （t）dy··dyn，（11）αi=lnSiyiS-A.- 2ai0+aii（T-t） 因此，我们证明了以下定理：定理2（n+1）维问题（5）和（7）的n维表示由（11）和（12）提供。备注1无股息条件（i）和无相关性假设（4）并非仅用于简化的必要条件。3例3。1员工持股计划（ESOP）问题：ESO P是一种合同，其持有人有权按以下执行价格购买股票。例如，将到期日设为一年（T）。那么执行价是min（6个月后时间（T）的股票价格，一年后的股票价格（T））×85%（β）。那么ESO P的公平价格是多少？数学模型：多维Black-Schole偏微分方程中N个数值的使用5设s（t）为股票价格，t为到期日，t<t，0<β<1为贴现率，v（s，t）为员工持股计划价格。那么到期支付如下：V（S，T）=[S（T）- βmin（S（T），S（T））]+=S（T）- βmin（S（T），S（T））。

（13） 假设：（i）在ris k中性测度下，股票价格满足sdS（t）=rS（t）dt+σS（t）dW（t）。（14） （ii）短速率r是确定性常数。事实上，这个问题本身相对简单，因此不需要改变数值，我们就可以很容易地得到解的公式。合同的风险中性价格满足标准Black-Scholes方程：五、t+σS五、S+rS五、s- rV=0。（15） 因此，E SOP的价格函数满足终值问题（15）和（13）。到期日支付额（13）改写如下：V（S，T）=（1- β） S（T）+βmax（S（T）- S（T），0）。在区间（T，T）中，价格S（T）是已知的，因此合同可以看作是由1组成的投资组合- 股票的βshares和期权的βsheets与执行价格（T）。那么时间t（t）的合同价格≤ t<t）由v（S，t）=（1）给出- β） S（t）+β[S（t）N（d）- S（T）e-r（T）-t） N（d）]，t≤ t<Td=lnS（t）S（t）+r+σ（T）- t） σ√T- t、 d=d- σpT- t、 特别是在时间t，V（S，t）=S（t）h1- β+βN（d1,0）- βe-r（T）-T） N（d2,0）i，d1,0=rσ+σpT- T、 d2,0=d1,0- σpT- 所以它在时间上的价格和确定性股票的价格是一样的，所以是在时间T（0）上的合同价格≤ t<t）由v（S，t）=S（t）h1给出- β+βN（d1,0）- βe-r（T）-T） N（d2,0）i,0≤ T≤ T、 （17）其中d1,0和d2,0是（16）中的s。使用计价单位的变化：在（13）中，S（T）被视为可交易资产的时间T-价格并不那么自然。为了克服这一困难，在[1]中，新资产定义如下：S（t）=S（t），0≤ T≤ T、 S（T）er（T）-T） ，T≤ T≤ T.6 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，NingNote，Sis投资组合的时间T价格，持有人在T=0时购买股票，将其保存到T=T，然后在T=T时出售，并将S（T）数量的现金存入银行。

ThenS（T）=S（T）er（T-T） ，如果我们让k=e-r（T）-T） ，（18）然后将到期日支付额（13）改写如下：V（S，S，T）=S（T）- βmin（S（T），K·S（T））。（19） 在（19）中，S（T）可以被视为可转换资产S的当时价格，从定义和假设（14）中，我们可以知道，在风险中性测量下，S（T）=rS（T）dt+σS（T）dW（T），（20）其中σ（T）=σ, 0 ≤ T≤ T、 0，T≤ T≤ T.使用无套利技术，我们可以建立我们合同的风险中性价格函数V（S，S，T）满足的等式。通过-对冲构造投资组合∏：V=- s- 美国选择 和所以投资组合∏bec在区间（t，t+dt）内是无风险的，也就是说，d∏=r∏dt，因此我们有dV- dS- dS=r（V）- s- S） dt。（21）通过二维It^o公式，我们得到dv=五、t+σS五、S+2σ（t）SS五、sS+σ（t）S五、sdt+五、十二烷基硫酸钠+五、SdS。（22）因此我们选择 =五、s=五、S、 我们把（22）和（23）代入（21）来得到五、t+σS五、S+2σ（t）SS五、sS+σ（t）S五、s+R五、SS+r五、党卫军-rV=0。（2.4）因此，E SOP价格的双因素模型就是终值问题（24）和（19）。除了波动率σ随时间变化的事实，问题（24）和（19）满足定理1的所有条件。在这种情况下，数值Eu=VS，z=SS（25）的变化在多维Black-Schole偏微分方程7中使用N个数值效果很好，也就是说，使用（25）将问题（24）和（19）转化为一维Black-Scholes方程的以下终端问题：Ut+（σ）- σ（t））zUz=0，U（z，T）=（1）- β） z+βmax（z- K、 0）。（26）求解（26）并回归到原始变量，然后我们得到公式（17）。注2公式（17）与[1]相同。3.2外币执行价期权的定价有些期权的执行价与外币有关。

例如，有一种期权，其上市基础股票价格为英镑，而履约价格为美元。设计此类期权的目的是为了激励财务经理，使股票的美元价格最大化。问题：假设一个期权的标的股票是以英国镑进行交易的，而突击价是以美元支付的：1）股票价格s（0）是突击价的英国镑价格（由于税收等原因，大多数执行的突击期权在初始时间总是以美元支付）；2） S（0）的美元价格只是不变的执行价格；3） 期权持有人可以以固定的美元执行价购买标的股票。由于股票使用英国英镑进行交易，固定的美元履约价格对应于随机的英国英镑履约价格，因此该期权的定价不是标准定价问题。

通过改变计价标准，我们可以简化这个定价问题。数学模型：让S（t）表示储蓄价格（英国英镑）、rpUK（无风险）利率、RDU（无风险）利率、X（t）美元/英国英镑汇率（Y（t）=X（t）-1：英镑/美元汇率），Kd为固定美元履约价格，Kp（t）为履约价格的英镑价格。假设：（i）在自然条件下，股票价格满足下列几何布朗运动（t）=αSS（t）dt+σSS（t）dWS（t）。（ii）Ris k自由速率Rp和Rd是确定性常数。（iii）美元/英镑汇率X（t）满足Garman和Kohlhagen[5]dX（t）=αXX（t）dt+σXX（t）dWX（t）（在自然测度下）的模型。根据It^o公式，英镑/美元汇率Y（t）满意度（t）=αYY（t）dt+σYY（t）dWY（t）（根据自然测量）。8 o，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，NingHereσY=σX，WY=-WX。WS（t）和WX（t）是具有以下关系的向量维纳过程：dWS（t）·dWX（t）=ρdt，dWS（t）·dWY（t）=-ρdt，|ρ|<1。至于执行价，我们有Kp（0）=S（0），Kd=Kp（0）·X（0）=S（0）·X（0）≡ 常数美元履约价格是一个常数，但汇率是随机的，因此履约价格的英国英镑价格是一个随机变量：Kp（t）=Kd·Y（t）=S（0）·X（0）·X（t）-1.特别是RKP（T）=S（0）·X（0）·X（T）-1=S（0）·Y（T）·Y（0）-1.（28）至于到期付款，以美元计的到期付款为FD=max（S（T）·X（T）- Kd，0）。到（28）时，以英镑为单位的到期付款isFp=max（S（T）- Kp（T），0）=最大值（S（T）- S（0）·Y（0）-1·Y（T），0）。注3：该期权的定价有两种自然方法：美元定价和英镑定价。