保险中copula模型的一种重要抽样方法

（2005）），我们可以给出E[NV]的以下界，它只依赖于F∧和维数d，与copulaC无关。定理4.3。我们有1.- Λ≤ E[NV]≤ E1.- Λ.证据由于上Fr′echet–H¨offding界，我们有C（λ1）≤ 最小{λ，…，λ}=λ。因此，E[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ）≤Z1- λdF∧（λ）=E1.- Λ.类似地，由于较低的Fr\'echet–H–o影响范围：E[NV]≥Z1- 最大{0，dλ- d+1}dF∧（λ）=Zmax1，d（1- λ)dF∧（λ）≥判定元件1.- Λ. 根据定理4.3，从V中得出一个实现所需的从C中得出的次数，当且仅当E[（1- Λ)-1] < ∞. 直觉上，这意味着∧不应该有质量集中在1附近，以便能够使用算法4.1。我们将在下一节中看到，copula c和F∧的特定选择将允许我们找到E[NV]的解析表达式。保险中copula模型的一种重要抽样方法74.2样本权重的计算本节概述了如何计算算法3.1中使用的权重w（Vi）。我们首先推导出一个有用的表示。定理4.4。Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=Zmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）！-1.证据。根据莱布尼茨积分规则，我们得到了dFV（u）=RdC[λ]（u）dF∧（λ）。从C[λ]的定义，我们可以推导出微分C[λ]（u）=（0，u）∈ [0，λ]d，dC（u）1-C（λ1），否则。利用这两个恒等式，我们得到了dfv（u）=dC（u）Z1{λ≤ max{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ），得到期望的结果。我们方法的有效性来自于术语dC（u）没有出现在w（u）中这一事实。例如，如果C相对于Lebesgue测度是绝对连续的，则不必计算Cdoes的密度来计算w（u）。

与大多数其他重要的采样算法相比，这是一个优势，因为这些算法需要存在C的密度。为了简化符号，让ew（t）：[0，1]→ [0, ∞) 定义为新（t）=Zt1- C（λ1）dF∧（λ）-1，使得w（u）=ew（max{u，…，ud}）。引理4.5。在条件A下，ew从上方以P[∧=0]为界-1on[0,1]。证据因为C（λ1），λ∈ [0,1]，copula C的对角线部分和分布函数f∧都是递增函数，权重函数ew（t）在[0,1]上递减，因此它的上界为ew（0）=P[∧=0]-1< ∞. 因此，条件a不仅能保证权重的存在，而且能保证它们是有界的。根据引理3.2，这是重要抽样估计的一致性和合意正态性所必需的。对于一般的C和F∧，权重函数ew的计算可能会很困难。一般来说，可以使用数值积分格式。为了避免这些问题，我们提出了两个案例，其中电子战的评估是直接的。第4.2.1节说明了F∧离散的情况。在第4.2.2节中，我们假设copula C位于满足对角线上多项式条件的一大类copula中。对于这一类，有一个特定的F∧选择，这将导致ew的分析表达。4.2.1离散F∧本节表明，在离散F∧的情况下，计算ew（t）很快，并且很容易实现。为此，假设F∧是离散的，原子数为n∧：P[∧=xk]=pk，k=1，n∧，n∧Xk=1pk=1，p>0，0=x<···<xn∧<1。保险中copula模型的一种重要抽样方法8请注意，条件A是满足的。在这种情况下，ew可以写成阶跃函数ew（t）=n∧Xk=11{Xk≤ t} 一,- C（xk1）pk！-1.

（4.1）为了评估ew（t），有必要计算（或近似计算）k=1，n∧。对于整个样本，这些值只能计算一次。这种离散F∧的方法可以用于任何copula C。对于E[NV]，我们得到显式表达式E[NV]=n∧Xk=1pk[1]- C（xk1）].4.2.2连续F∧对于连续F∧，通常只能通过数值计算权函数ew。在下文中，我们假设C和F∧都是一种特殊的多项式形式，这导致了一个明确的结果。假设C在其对角线上表现为单项式：C（u1）=uα，0≤ U≤ 由于αo，必须满足Fr-1的界≤ α ≤ d、 这类连接词相当大。下面的列表显示了一些流行的copula族满足这个条件Marshall–附录A示例A.2中提出的Olkin连接函数。相应的指数为α=Pmj=1mini:j∈二级（sj/esi）Sibuya copulas，如Hoffert和Vrins（2013）所定义，其违约率过程是一个非齐次泊松过程具有Pickands依赖函数a的极值连接函数。相应的指数α=dA（1/d，…，1/d）；关于极值连接函数的定义，请参见McNeil等人（2005）的第7节。注意，例如，这个类包含著名的Gumbel copula。除了copula C，我们还对F∧[0,1]做了一些特殊的假设→ [0, 1].假设f∧（λ）=（1）- γ) + γ1.- (1 - λα)β, β > 1, 0 ≤ γ ≤ 1.参数α由copula对角线的指数给出，因此不能自由选择。此外，F∧有一个重量为1的原子- γ等于零。这种分布类似于库马拉斯瓦米（1980）的分布。在这种情况下，权重函数可以很容易地计算为w（t）=1.- γ+γβZtαλα-1(1 - λα)β-2dλ-1=β - 1β - 1 + γ (1 - β(1 - tα）β-1). （4.2）作为E[NV]=1/ew（1）（c.f。

引理4.2），我们得到了E[NV]：E[NV]=1+γβ的显式表达式- 1.（4.3）为了满足条件A，我们假设γ<1。事实上，利用超几何函数的性质，可以证明对于γ=1，权函数是无界的，且权的方差var[w（V）]总是有限的。有许多copula类有明确的对角线。例如，克莱顿家族是对角线C（t1）=（dt-θ-d+1）-对于某些0<θ<∞. 在未来的研究中，我们可能会指出，找到连接函数的“共轭”F∧是一件有趣的事情，它也允许W（·）的显式形式。保险中copula模型的一种重要抽样方法94.3最优建议分布本节给出了一种针对当前问题校准分布F∧的方法。基本方法是选择建议分布Fv，使bunHa的方差小于un。在我们的例子中，这减少到最佳选择分布F∧。一般来说，F∧必须在0处有一个原子才能满足条件A。如果使用算法4.1进行采样，我们还需要满足E[1/（1）的约束- ∧）]不是太大，尤其是有限。对于bunifψ（u）w（u）=e[ψ（u）]，u，将获得零方差（即无估计误差）∈ [0,1）d，（4.4）见Asmussen和Glynn（2007）第128页第4.1节。由于[ψ（U）]未知，显然不可能做出这种选择。为了得到一个小的方差，我们应该选择∧，这样w（u）-1与ψ（u）近似成正比。根据定理4.4，我们可以把这个关系写成kzmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）≈ ψ（u），（4.5）对于某些未知常数K∈ R+。为了得到一个易于处理的优化方案，我们假设ψ（u）是大的，如果它至少有一个分量是大的，即ψ（u）≈ Ψmax{u，…，ud}1. （4.6）将（4.6）插入（4.5），我们得到了ZT1- C（λ1）dF∧（λ）≈ ψ（t1），t∈ [0, 1].

（4.7）在下文中，我们提出了校准F∧的方法，以满足近似关系（4.7）。我们用F∧的两个选项来说明这种校准，即离散和连续。4.3.1离散F∧在离散情况下，如第4.2.1节所定义，指定分布F∧将减少到设置原子xk，并将其权重pk=P[∧=xk]用于k=1，n∧。通过将F∧插入（4.7），我们得到kn∧Xk=11{Xk≤ t} pk1- C（xk1）≈ ψ（t1），t∈ [0,1）。（4.8）我们建议通过强制等式（4.8）仅适用于t=x，…，xn∧来设置pk。在不丧失普遍性的情况下，假设xk<xk+1对于所有k，等式（4.8）导致Tokxl=11- C（xl1）pl=ψ（xk1），k=1，n∧。这就产生了一个三角形线性方程组，可以用以下算法轻松求解：；我们建议选择有限对数网格上的xk，密度朝1变大。算法4.6.1。选择n∧∈ N2.定义xk=1- （1/2）k-1，k=1，n∧；3.定义ep=ψ（0，…，0）和epk=（ψ（xk1）- ψ（xk）-11)) (1 - C（xk1）），对于k=2，n∧；4.定义pk=epk/（Plepl）。保险中copula模型的一种重要抽样方法使用1/2的幂来设置xk是任意的；可以使用（0，1）中的任何其他因子。在数值实验中，这种选择的影响通常很小，因为计算结果会相应改变。在以下情况下，算法4.6可能会失败：o如果p=0，则F∧不满足条件A；o如果t 7→ ψ（t1）不是单调的，那么算法4.6会导致一些pk为负如果函数ψ在（0，…，0）处没有达到一个限定值。自n∧<∞, 条件E[1/（1）]- Λ)] < ∞ 是自动满足的。当然，我们也可以对∧使用离散分布，由无数点支持。

然而，在第7节所述的案例研究的实验中，这导致等待时间E[NV]变大，但在使用拒绝采样时没有提供额外的准确性。4.3.2连续F∧在连续情况下，如第4.2.2节所述，不幸的是，优化不能像离散情况那样简单明确地进行。通过将F∧，见等式（4.2）代入（4.7），我们得到k1+γ1.- β(1 - tα）β-1.β - 1.≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （4.9）为了优化F∧，我们需要找到参数K∈ R、 γ∈ （0,1）和β>1，使（4.9）左右两侧之间的距离最小化。例如，作为距离函数，可以使用二次范数。这种最小化可以通过标准的数值最小化程序来实现。回想一下，α是通过copula的对角线固定的。为了使E[NV]不过高，可能需要通过将E[NV]限定为1+γ/（β）来施加进一步的参数约束- 1） .5直接采样算法如前一节所述，拒绝采样算法可能会由于拒绝步骤而导致较大的采样时间。由于C[λ]定义中条件作用事件的复杂性，这一步骤是必要的。我们现在考虑c[λ]（u）=d-1dXi=1P[U≤ UUd≤ ud | Ui>λ]（5.1）=d-1dXi=1C（u）- C（u，…，ui）-1，min{ui，λ}，ui+1，ud）1- λ、 u∈ [0，1]d.该分布仅涉及条件连接，其中条件事件仅在随机向量U的一个元素上。这将具有实际优势，即可以提供直接采样算法，即没有拒绝步骤。5.1抽样建议分布et us表示条件copula，假设第k分量等于uk，即isCuk（u，…，uk）-英国+1，ud）=P[U≤ U英国-1.≤ 英国-英国+1≤ 英国+1。

，Ud≤ ud | Uk=Uk]。然后，可以使用以下算法从FVS中进行采样。算法5.1。给出FV的一个实现：保险业中copula模型的一种重要抽样方法。画∧~ F∧；2.我画∈ {1，…，d}，其中P[I=I]=d-1.3.画VI~ U（λ，1）；4.画（V，…，VI）-1，VI+1，Vd）~ CVI；5.返回V=（V，…，Vd）。该算法的主要优点是不拒绝任何样本，因此，与算法4.1相比，其运行时间不依赖于分布F∧。此外，我们可以证明，使用拒绝算法从（5.1）生成样本将产生预期的等待时间E[（1）- Λ)-1] ，这将高于第4节中给出的拒绝采样的预期等待时间，见定理4.3。这证明了一个事实，即我们为这两种算法中的每一种提出了两种特定的C[λ]分布。在算法5.1的步骤4中，需要一个条件copula Cuk的采样算法，其中k可以是任意一个d分量。根据copula Cuk的形式，可以使用有效的抽样算法，例如见下面的示例5.3和5.4，或者可以使用条件分布法。请注意，条件分布方法应用于，例如，对藤连接函数进行采样；参见VineCopula R软件包。按照Embrechts等人（2003年）的思路，我们随后提出了以下通用算法来从Cuk中进行采样。算法5.2。鉴于英国∈ R、 要实现Cuk，请执行以下操作：1。吸引你=U英国-英国+1，Ud~ U（0，1）d-1.2.setU=C-1（英国）。。。英国-1=C-1（英国）-1 | U，英国-2，英国）英国+1=C-1（英国+1 | U，…，英国）-2、英国-1、英国）。。。Ud=C-1（Ud | U，…，英国）-1，英国，英国+1，Ud-1)3. 返回（U，…，英国）-英国+1，Ud）。根据Schmitz（2003）的定理2.27和备注2.29，我们得到了k>jC（uj | u。

，uj-1，英国）=D1，。。。，J-1，kC1，。。。，J-1，j，k（u，…，uj）-1，uj，英国）D1，。。。，J-1，kC1，。。。，J-1，k（u，…，uj）-1，英国），（5.2）哪个简化了toC（uj | u，…，uj-1） =D1，。。。，J-1C1，。。。，J-1，j（u，…，uj）-1，uj）D1，。。。，J-1C1，。。。，J-1（u，…，uj）-1） 当k<j.这里，D1，。。。，j、 kdenotes关于组分1，…，的偏导数，j、 k和C1，。。。，j、 kdenotes对应于这些成分分布的copula。一般来说，条件分布（5.2）的易处理反演并不总是可用的，需要应用数值根查找。然而，在某些情况下，人们可以明确地推导出这样的反例，例如，参见示例5.5。因此，尽管该算法不涉及拒绝步骤，但可能需要更多的实现工作。保险中copula模型的重要抽样方法12例5.3（Farlie–Gumbel–Morgenstern copula的直接抽样）。Farlie–Gumbel–Morgenstern（FGM）copula由cθ（u）=dYi=1ui定义1+θdYj=1（1- （uj）, U∈ Rd，带θ∈ [-1，1]，参见，例如Genest等人（2011年）。这个连接词是更一般的伊劳-法利-甘贝尔-摩根斯坦连接词的一种特殊形式，参见Jaworski等人（2010）的第19页。这很容易看出ukCθ（u）=dYi=1，i6=kui1 + θ(1 - 2uk）dYi=1，i6=k（1- 用户界面）= Cθ（1）-英国，英国-英国+1，其中Cθ（1）-2uk）是一个具有参数θ（1）的FGM copula- 2英国）∈ [-1, 1]. 因此，从CθUK的采样减少为从Cθ（1）的采样-2英国）。为此，可以使用条件分布方法。制作样本~ Cθ确实可以简化为U~ U（0，1）并设置U=U，Ud-1=Ud-1，andUd=2Ud1+W+p（1+W）- 4W Ud，其中W=θQd-1j=1（1- 2Uj），详见Remillard（2013）第8.7.12节。例5.4（Frank copula的直接抽样）。

根据Mes FIOUI和Quessy（2008）第6节，如果C（u）=ψψ-1（u）+··+ψ-1（ud）是一个d维阿基米德copula，带生成元ψ，然后- 1） 多元分布Cukis的维copulac也是阿基米德分布，生成元ψuk（t）=ψ（t+ψ）-1（uk））ψ（ψ-1（英国）），t∈ [0, ∞].这可以用来证明如果C是一个带有参数α的Frank copula∈ R和发生器ψα（t）=-α-1日志（1）- (1 - E-α） e-t） 然后，CUKC可以用参数θ（α，uk）=1的Ali–Mikhail–Haq型copula的多元分布建模- E-αuk，生成元ψθ（α，uk）（t）=1- θ（α，uk）et- θ（α，uk）（5.3）和具有分位数函数的边际分布-1α，英国（u）=-α对数E-α- 11+e-αuk（u-1.- 1)+ 1, U∈ [0, 1]. （5.4）因此，从Cukis的采样减少为从带有生成器（5.3）的Ali–Mikhail–Haq copula的采样，例如使用快速马歇尔–奥尔金算法，参见Hofer（2010）中的第2.4节和第2.5节，然后将分位数函数（5.4）应用于copula样本。以类似的方式，如果Cis阿基米德算法使CUKI易于使用马歇尔-奥尔金算法进行采样（许多示例和技术都是已知的），并且边缘分布易于反转，则可以获得算法5.1中步骤4的快速采样技术。示例5.5（Clayton copula的条件分布方法）。克莱顿copula由cθ（u）=1+dXi=1（u）定义-θi- 1)!-1/θ，u∈ Rd，θ>0时保险中copula模型的一种重要抽样方法。使用（5.2），我们可以表示cθ(-1） （uj | u，…，uj-1，英国）=1+1- （j）- 1） +j-1Xk=1u-θk！（uj）-J-1+1/θ- 1.!-1/θ，这使我们能够轻松实现算法5.2.5.2样本权重的计算。对于拒绝采样方法，我们推导了算法5.1中使用的权重w（Vi）的表示。定理5.6。

Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=d-1dXi=1Zui1- λdF∧（λ）！-1.证据。注意到dC[λ]（u）=dC（u）d（1- λ） dXi=11{ui>λ}，我们进行类似于定理4.4的证明。在拒绝采样算法中，我们注意到dC（u）不出现在w（u）中，因此C的密度的存在不是推导权重的要求。为了确保重要性抽样估计的一致性和渐近正态性，我们还将检查权函数的有界性。引理5.7。在条件A下，权函数w从上到下的界为P[λ=0]-1on[0,1]。证据我们注意到所有成分的w（u）都在减少。因此，它在byw（0，…，0）=P[λ=0]上有界-1< ∞. 对于一般的F∧，权重函数w的计算可能会很困难。一般来说，可以使用数值积分方案。为了避免这些问题，我们建议对F∧使用与第4节相同的设置，即离散情况和连续情况。5.2.1离散F∧如果F∧是离散的，使得P[∧=xk]=pk，P>0，k=1，n∧，0=x<···<xn∧<1，则可以写成w（u）=ddXi=1n∧Xk=11{Xk≤ ui}1- xkpk！-1.（5.5）5.2.2连续F∧取∧asF∧（λ）=（1）的cdf- γ) + γ1.- (1 - λ)β, β > 1, 0 ≤ 对于任何copula C，γ<1给出了权重sw（u）=β的以下闭合形式- 1β - 1 + γ - γβd-1Pdi=1（1- ui）β-1.（5.6）注意，我们不需要对copula对角线进行任何限制，与第4.2.2节不同的是，保险145.3最优方案分配中copula模型的重要抽样方法为了获得较小的方差，我们应该选择∧，以便w（u）-1与ψ（u）近似成正比。根据定理5.6，我们可以把这个关系写成kd-1dXi=1Zui1- λdF∧（λ）≈ ψ（u），（5.7）对于某些未知常数K∈ R+。