基于时间的交易策略的设计与实现

（8） v=1是一个VWAP交易时间表。考虑到客户对时间风险的厌恶，估计交易成本为（9）C[Y]=I[Y]+2ρR[Y]，其中ρ=（σDXP）/A，σDis为每日收益波动率，Pis为当前股价，以及isa无量纲风险厌恶参数。瞬时市场冲击J（˙Y（s））和冲击衰减核G（t）- s） 执行交易计划Y（t）的预期成本由（10）I[Y]=ZTdt˙Y（t）ZtdsJ（˙Y（s））G（t）给出- s） 。非平凡衰变核G（t）- s） 解释了经验性高频价格数据中贸易标志的长记忆自相关，并且总体上具有幂律行为（Gatherel[2010]）。这里，我们假设交易策略在交易之间有一个合理的延迟，以避免通过衰减核放大市场影响，因此G（t- s） =δ（t）- s） 。经验数据表明，瞬时市场影响J（˙Y）的幂律安萨茨（Bouchaud，Farmer和Lillo[2008]）（11）J（˙Y）=IσDP˙YVD！β、 式中，Vd是预期的日销售量，Pis是价格，Iis是与库存相关的标度量。利用该模型，并假设瞬时衰变核，我们推导出了预期的实现短缺作为体积持续时间T的函数，并由ν和β（12）I（T；ν，β）参数化=νβ+11 + (ν - 1)(β + 1)IσDXPXT VDβ.幂律轨迹的定时风险约为（Kissell和Glantz[2003]）（13）R（T；ν）=σDPZTdtY（T）=（2ν+1）σDXPT。最佳交易期限是使Esc（T；ν，β）=I（T；ν，β）+2ρR（T；ν）最小化的T值。为了简单起见，我们将ν设为1，得到了dC/dT=0，（14）Topt的解=2βρI（1；1，β）R（1；1）β+1=6βIAβ+1XVDββ+1.请注意，交易量持续时间T=1意味着正好是一个交易日。虽然最优交易时间不依赖于波动性，但交易计划通过形状参数ν进行。

与该计划对应的平均参与率为（15）popt=XToptVD=A6βIβ+1XVDβ+1.最优交易计划的预期执行差额为（16）I（Topt）=A6Iβββ+1νβ+11 + (ν - 1)(β + 1)IσDPXXVDββ+1~ σDXXVDββ+1经验观察到β=0.5的预期最优每股市场影响成本为Iopt/X~σDXVD1/3.用幂律衰减核Gpl（t）交易ipl的预期成本- s） =g/| t- s |γ由（17）Ipl=T1给出-γ-βIσDgXP十五βνβ+1Γ(1 - γ)Γ(ν)(2 - γ + (β + 1)(ν - 1))Γ(1 - γ + ν).可根据历史执行数据估算效率GCA。根据经验，指数γ≈ 0.5和γ+β≈ 1.由衰变核放大的原始连续交易IPLI的成本。它不依赖于中等交易率的交易持续时间，由“平方根”定律Ipl/X给出~ σDqXVD（Gatherel[2010]）。给定T=top和A，最优交易计划是通过使总交易成本C（Topt；ν）相对于形状参数ν：（18）ν=argminν；ν>1I（Topt，ν）+2ρR（Topt，ν）.最佳执行时间是交易量Topt的函数~ 五、-ωD，其中ω=ββ+1。因此，交易量的不确定性转化为交易时间的不确定性，并相应地转化为交易计划Ytgt，min，max（t）=X（1）的不确定性区间- t/Ttgt，最小值，最大值）ν。交易量的分布可以用对数正态分布LogN（uZ，σZ）来近似。

利用对数正态随机变量V的标准性质-ωD~洛根(-ωuZ，ωσZ）（艾奇森和布朗[1957]），平均u（V-ωD）和方差σ（V）-对数正态随机变量V的ωD）-ωd的形式为u（V-ωD）=exp-ωuZ+（ωσZ）,σ（V）-ωD）=exp（ωσZ）- 1.×exp-2ωuZ+（ωσZ）.可使用（19）Ttgt=cu（V）导出持续时间Ttgt、Tmax和Tminga-ωD），Tmin=c（u（V-ωD）- ησ（V）-ωD），Tmax=c（u（V）-ωD）+ησ（V）-ωD），其中c=Xω（6βI/A）β+1，η是一个离散参数。未来波动性的不确定性可以用类似的方式考虑。我们计算了一个数值例子，以探索所提出方法的定量性质。考虑购买X=100万股当前价格为P=24.7的股票的订单。平均日交易量VD=70M，日波动率σD=0.0113，β=0.5，I=0.1。当攻击性A=5时，音量时间的最佳持续时间为Topt=0.037(≈ 15分钟），最佳平均参与率popt=38%。数值计算得到的最佳形状参数为νopt=1.65。对数正常日体积的各自平均值和标准偏差分别为uZ=18和σZ=0.4。因此，体积的倒平方根用u（V）参数化-0.5D）=1.3×10-4和σ（V）-0.5D）=0.4×10-4.目标交易时间为Ttgt=Topt=0.037，最小交易时间为Tmin=0.025(≈ 10分钟），最大交易时间为0.049(≈ 19分钟）。图2显示了在该模型中计算的η=1的交易轨迹示例。图2。α的例子是具有不确定性波段的交易轨迹简化：离散化时间方法上述基于时间表的策略的连续时间公式是无状态的，因为只需要知道当前时间t的波段。在不确定性波段内交易的替代方案中，交易区间被划分为连续的子区间或BIN。

基本时间坐标是时钟时间、交易时间或交易量时间中的任意一个。该策略分配要在当前bin（以及可选的未来bin）中执行的共享。必须注意清理未在currentbin内执行的股份的成本。如（Jeria、Schouwenaars和So fi anos[2009]）所示，清理成本可以显著超过子区间内特定策略的利差捕获节约。我们期望在相同原则下设计的任何策略都会有类似的模式。为了将清理成本降至最低，我们建议采用以下方法。设τ为柯森坐标系中的时间变量，并假设区间[τ，τ]被划分为N个等宽Δτ=（τ）的单元- τ） 每个。让Tkbe在时钟时间内测量kthbin的宽度。我们假设存在一种机会主义、短期（“战术”）策略，该策略支持订单期限和最低额度。该策略从第一个仓位开始交易（τ=τ）。截至第一个仓位结束时，应完成的份额范围为[Xmin（τ+Δτ），Xmax（τ+Δτ）]。目前，这是唯一需要的关于交易时间表的信息。该策略将Xmax（τ+Δτ）份额路由到战术策略，持续时间为最小注入量Xmin（τ+Δτ）。在第二个仓位开始时（第一个仓位结束时），策略填充了Xf（τ+Δτ）份额，其中Xmin（τ+Δτ）≤ Xf（τ+Δτ）≤ Xmax（τ+Δτ）。根据这一结果以及最近和当前的市场状况，计算出下一个区间[Xmin（τ+2Δτ），Xmax（τ+2Δτ）]。基于时间表的策略路由Xmax（τ+2Δτ）- Xf（τ+Δτ）与战术策略共享，且最小注入量为Xmin（τ+2Δτ）- Xf（τ+Δτ）。

重复此循环，直到订单完成或达到结束时间。例如，考虑VWAP并选择体积时间作为我们的时间坐标，以便tradingtrajectory是线性的。在交易开始时（第一个仓位），我们设置Xmin（τ+Δτ）=0和Xmax（τ+Δτ）=X/N。我们将X/N股票路由到战术策略的持续时间，没有最低的融资金额，因此战术有充分的自由裁量权执行任何金额，直到X/N。在时间τ=τ+Δτ时，我们要求未执行的股票X/N- Xf（τ+Δτ）将在下一个间隔内确定填充。因此，我们选择了2X/N路线- Xf（τ+Δτ）在持续时间和最小填充X/N上与战术策略共享-Xf（τ+Δτ）。我们一个接一个地继续这个过程，把任何不足的部分转到下一个部分的积极部分。结论我们提出了一个基于卖方时间表的交易策略的实用设计。本设计允许在连续和离散时间方法中简单实施流行的VWAP、参与和实施不足策略。它清晰地将高级调度与低级执行策略分开。将计划划分为积极、被动、机会主义和黑暗的股份取决于相对于乐队的填充股份位置，其各自执行策略之间的分配与计划生成脱钩。波段分离使战略可以自行决定是否等待并利用可盈利的价格和流动性模式，而该框架很容易为此采用α模型。感谢作者感谢Vacslav Glukhov和David Fellah的有益讨论和建议。参考Saitchison J.和J.A.C.Brown，“对数正态分布”，剑桥大学出版社，1957年。R.阿尔姆格伦和N.克里斯，“投资组合交易的最佳执行”，J.风险，第3卷，N.22000，第5-39页。阿尔图纳塔，S.，D.拉克林和H。

Waelbroeck，“逆向选择与随机储蓄的对比”，《交易杂志》，2010年第5卷，第16-28页。Bouchaud，J.-P.，J.D.Farmer和F.Lillo，“市场如何慢慢消化供求变化”，http://arxiv.org/abs/0809.0822.BouchaudJ.-P.和M.Potters，“金融风险和衍生产品定价理论：从统计物理到风险管理”，剑桥大学出版社，2004年。Gatheral J.“无动态套利和市场影响”，定量金融，第10卷，第72010页，第749-759页。Glukhov S.，“存在未显示流动性时的最佳交易”，《交易杂志》，2007年第2卷，第30-37页。Jeria D.，T.Schouwenaars和G.So Fianos，“被动限价指令的全部成本”，StreetSmart，第38期，高盛，2009年。R.基塞尔和M.格兰茨，“最佳交易策略：管理市场影响和交易风险的定量方法”，AMACOM，2003年。Mazur S.“U型曲线和不确定性带”，液化天然气网络技术报告，2011年。Zaitsev，S.，A.Zaitsev，A.Leonidov和V.Trainin，“股票市场中的市场-工厂依赖模式：多尺度条件动态”，Physica A，第388卷，第21期，2009年，第4624-4634页。