仿射过程

它们的跃迁函数为Laplacezs+de-tr（uξ）pt（x，dξ）=det（I+σβt（u））-体育课-tr（u（I+σβt（α）u）-1ωβt（x））。因此，pt（x，dξ）是Wishart分布的，形状参数p，非中心参数ωβt（x）∈ S+D标度参数σβt（α）∈ S+d（详细定义注意，在规范态空间中不存在这种漂移条件；因此我们有b∈ D、 参见[？]。参见[AP8]）。间接证明，从单一分布构造一个完整的马尔可夫转移函数，并使用约束2p≥ D-1，让我们得出结论，对于参数为p，σ，ω的任何Wishart分布，我们必须有p∈ {0,1，…（d）- 2)/2} ∪ [（d）- 1)/2, ∞) （4.7）和秩（ω）≤ 2p+1（4.8）必要条件（4.7）回答了M.L.Eaton长期以来提出的一个正猜想，该猜想以前仅通过秩（ω）=1情形[？]的特殊函数方法求解过。排名条件（4.8）是新的。我们进一步推测，对于2p<d- 1我们必须有秩（ω）≤ 2便士。（4.9）这个猜想最近得到了[？]的证实受我们启发的方法，但不使用任何随机分析的参考。4.3有效过程的性质[AP3]、[AP6]和[AP7]研究有效过程或其功能的特定性质。4.3.1指数鞅金融数学中的几种应用需要知识，在此条件下，指数鞅函数g（Xt）：=ehθ，Xti，t∈ θ的[0，T]∈ 这是一个真正的鞅。本文中的两篇论文刻画了g（Xt）的鞅性质：[AM3]刻画了矩爆炸，并给出了随机指数鞅性质在相关过程非爆炸中的应用。[AM9]描述了ATF的有效性，并将指数函数的鞅性质应用于动量爆炸。

这个结果适用于一般的凸状态空间。力矩爆炸和ATF的有效性都用广义Riccati微分方程组的唯一极小解来描述。这些结果实际上可以联系起来，因为有效过程的随机指数和标准指数是相关的（参见[AM3]，备注4.5（i））。我们不打算进行繁琐的计算，这需要扩展状态空间。尽管如此，我认为证明ATF的有效性和关联AP的非爆炸性之间的关系是很有启发性的，对于状态空间为D=R+的任意过程的标准指数：设X是R+上的保守任意过程，且具有极小的生成函数f（X）=αxf（X）+（b+βX）f（X）+ZD\\{0}（f（X+ξ）- f（x）- f（x）χ（ξ））（m（dξ）+xu（dξ）），其中χ是截断函数。假设为θ∈ R和x>0我们有g（XT）：=E[EθXT|x=x]<∞.通过（[AP9]，定理2.14）我们推断初始数据φ（0）=0，ψ（0）=θ的[0，T]上Riccati微分方程（4.3）-（4.4）存在唯一极小解。此外，如果Mt:=eθxt是一个px鞅，那么t7→ g（Xt）有恒定的期望，因此我们必须有φ（t，·）≡ 0，ψ（t，·）≡ θ和R（θ）=F（θ）=0（另见[AP9]，备注3.2（2））。我们可以通过指数化引入一个有效的马尔可夫过程（X，Qx）X∈过渡函数qt（x，dξ）：=eθξEx[eθXt]pt（x，dξ）（4.10），特征指数为φ（t，u）=φ（t，u+θ）- φ（t，θ），eψ（t，u）=ψ（t，u+θ）- ψ（t，θ）。通过t=0时的微分，我们得到了它的函数特征为F（u）=F（u+θ）- F（θ）=F（u+θ），eR（u）=R（u+θ）- R（θ）=R（u+θ）。通过构造，这个过程（X，Qx）X∈不保守，因为qt（x，D）=1，每个t，x，我们有Qx~ 二甲苯。因此，根据（[AP3]，定理3.4），（4.3）（用ef，eR代替F，R）对于平凡初始数据的唯一非正解是平凡解。

相反，如果我们有两个保守过程（X，Px）X∈Dand（X，Qx）X∈具有特征（F，R）和（eF，eR）的数据，如果进程mxt=exp（θ（Xt- x） ）。是局部鞅，然后是Qx~ Px和Mt是相关的密度过程，因此是鞅。在更一般的情况下，特别是（X，Qx）X的马尔可夫性质的完整证明∈D、 参见[？]中的定理4.14。4.3.2跳跃行为[AP7]揭示了一个令人惊讶的特性，即维度d>1的d×d矩阵上的一个过程X不会表现出有限总变化的跳跃。这与实际情况相反。在后一种情况下，线性泵浦强度可以在状态空间的边界处被调制到0，这在更高的维度中是不可能的，因为S+d的边界结构更复杂，d>1。基于这一发现，[AP7]证明了所有具有非退化扩散成分的跳跃扩散在[？]意义上都是有效的，也就是说（4.1）确实适用于特征函数。对于消失扩散成分，过程是完全可分的，因此同样适用于这种情况。[AP9]将这个结果扩展到傅里叶-拉普拉斯变换。对于退化的非零扩散系数α，S+dexibits零点上的函数过程的特征函数还是完整的Fourier-Laplacetransform仍然未知，除非X是具有状态独立跳跃的Wishart过程（矩阵变量对[？]的“基本函数跳跃扩散”（BAJD）的推广）4.3.3次椭圆[AP8]我们提供了一种新方法来显示D=Rm+×Rn上的有效跳跃差的传递函数的绝对连续性。Xt | x=x的密度g（t，x，ξ）及其正则性的存在，使我们可以将它们相对于加权Lspace的多项式基pα展开，即sayg（t，x，ξ）≈X |α|≤Ncαpα。

（4.11）这一点的基本思想源于跳跃微分的多项式特征：由于马尔可夫半群的极小生成元的作用减少为作用于Pk的线性算子，因此可以以相当明确的形式确定任意阶的有限矩。这些力矩反过来决定了拉普拉斯近似的系数cα。在这方面，一个天真的问题是，为什么要进行密度近似，而实际上，仅仅通过对APs特征函数的傅里叶反演就可以得到跃迁密度。然而，有两个主要原因说明为什么使用我们的代理是有意义的。（a） 傅里叶逆变换，尤其是d维≥ 2，在数值上是非常有挑战性的：对于d维，需要用数值方法求解d次积分。[AP3]中的a ffine属性是通过拉普拉斯变换定义的，拉普拉斯变换是正确锥的最方便变换。当状态空间的维数大于1时，α以下是一个多指标。（b） Xt | X=X的多项式展开式中的（时间相关）系数可以直接从矩阵指数（常数矩阵的指数）计算得出，该常数矩阵是根据a|ne过程的参数给出的。然而，使用特征函数来确定密度，迫使人们求解广义Riccati方程（一种非线性常微分方程，与线性常微分方程相反，它具有矩阵指数给出的显式解）。然而，跃迁密度的存在本身是一个微妙的问题。对于DXT=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt+dJt类型的SDE的解决方案，X∈ 其中B是n维标准布朗运动，B:Rd→ Rd，σ（x）是每个x的d×m矩阵，J是一个纯跳跃过程，我们可以问在什么条件下Xt（t>0）允许勒贝格密度。

在某些正则条件下，在J=0的情况下，[？]为密度的存在提供了一个有效且必要的条件。写出σ=b和σ=（σ，…σn），其中σ是列向量，H？ormander条件表示在任意点x∈ D、 括号σ，[σ，σ]，[σ，σ]。然而，对于一个有效的跳跃微分，σ通常只在状态空间D的边界处是H–older规则，并且导数在那里也失去了规则性。因此，通常情况下，H？ormander的独创性论文不适用于有效的跳转效果。在[AP8]中，我们发展了一种傅里叶方法，它可以让我们从kuk的特征函数Φ（t，u，x）的行为中得出跃迁概率的规律性→ ∞. 我们应用傅里叶分析[？，命题28.1]中的基本事实，其中指出，iflimkuk→∞kΦ（t，u，x）kkukk=0，（4.12），然后Xt | x=x允许勒贝格密度g，而g是k-可微分的倍数。为此，我们设计了一种方法，它利用了广义Riccati方程（4.3）-（4.4）的特殊形式。[AP8]中描述的获得生长行为（4.12）的有效条件与H¨ormader条件密切相关，当被认为是转换到傅里叶域时。目前的研究集中在推广上，这允许具有退化扩散系数的正成分。特别是，我们考虑了defaultrisk中风险率模型的转移概率，这些模型在某种程度上自然退化（例如[？]中的BAJD）。