能源差价期权和波动率调整的定价和对冲

然后，利用σ、η和L的独立性，它通过条件期望的塔性质Eh（S（T）成立- kS（T））+|Fti=E∧（T）eX（T）- k∧（T）eY（T）+英尺= ∧（T）E“eY（T）行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Ft#=∧（T）E“E”eY（T）行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Gt，T#英尺#。我们专注于内在的期望，并且观察到只要我们在Gt，T上设置条件，我们就可以按路径处理σ（s）和η（s），从而查看g（T，s）σ（s）-) 和h（t，s）η（s-) 作为定义X和Y的积分中的确定函数。6 BENTH和Zdanowicz定义了t的随机过程R（t）≤ TR（t）=expZt-∞h（T，s）η（s）dV（s）-Zt-∞ψV(-ih（T，s）η（s））ds.注意，通过双重条件作用和Jensen不等式，我们从V thatE的独立增量性质中发现经验Zt-∞h（T，s）η（s）dV（s）≤ E“expZT-∞h（T，s）η（s）dV（s）#对于t≤ T因此，根据（3.2）中的指数可积性假设，R（t）成为可积过程。设Z（t）=R（t）/R（0），它成为一个期望值为1的可积鞅≤ T≤ T我们引入了密度过程Z的概率测度Q，即dQdPGt，T=Z（T）。此外，观察它们（T）=R（0）Z（T）eRT-∞ψV(-ih（T，s）η（s））ds。因此，两次将条件期望公式（见Karatzas和Shre ve[18]）与Gt，T-可测性η（s），s一起应用Bayes’s≤ T，E“eY（T）行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Gt，T#=eRT-∞ψV(-η（s）η（T）式行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Gt，T#=eRT-∞ψV(-ih（T，s）η（s））dsR（0）Z（T）2πZRbfc，T（y）EQhei（y）-ic）（X（T）-Y（T））Gt，Tidy=2πZRbfc，T（y）EheY（T）ei（y）-ic）（X（T）-Y（T））Gt，整洁。对于两个常数a和b（可能是复数），我们发现（假设所涉及的过程是可积的）heax（T）+bY（T）| Gt，Ti=eaRt-∞g（T，s）σ（s）dU（s）+bRt-∞h（T，s）η（s）dV（s）×EheaRTtg（T，s）σ（s）dU（s）+bRTth（T，s）η（s）V（s）| Gt，Ti。这里，我们应用了U（s），V（s）的Gt，T-可测性≤ T

因为U（s）和V（s）的增量与Gt、TF或s无关∈ [t，t]，我们通过（t）| Gt，Ti=eaRt得到heax（t）+-∞g（T，s）σ（s）dU（s）+bRt-∞h（T，s）η（s）dV（s）×eRTtψ(-iag（T，s）σ（s），-ibh（T，s）η（s））ds。让a=iy+c和b=1- （iy+c）根据过程X和Y的假定指数积分能力条件得出结果。Carmona和Durrleman[8]提出了将概率测度改变为价差期权的技巧，正如我们在上面的证明中所应用的那样，这是因为基础过程是由二元几何布朗运动建模的。在这里，我们将该方法扩展到价差期权中基础资产的一般VMV过程。值得注意的是，在几何布朗运动的情况下，正态性得以保持，人们可以计算价差期权价格，而无需借助涉及傅里叶变换的积分表达式。在我们更一般的语境中，根据驱动过程x和Y的特征来表示一个C（t，x）更自然，这自然有助于傅里叶方法的应用。正如我们从上面的证明中回忆的那样，我们应用了两次度量的变化，然后回到最终定价表达式中的原始概率价差期权和波动率调制VOLTERRA过程7P。因此，我们不需要知道X的特征，而需要一个新的概率来推导价格C（t，X）。请注意，选项在时间t时优先≤ T显式依赖于rt-∞g（T，s）σ（s）dU（s）和rt-∞h（T，s）η（s）dV（s），与X（T）和Y（T）不同，T=T时除外。如果我们考虑OU过程的特殊情况，那么g（t）- s） =exp(-α（t）- s） ，我们发现-∞E-α（T）-s） σ（s）dU（s）=e-α（T）-t） Zt-∞E-α（t）-s） σ（s）dU（s）=e-α（T）-t） X（t）。因此，只要g是OU进程的核函数，我们在C（t，t）中就有一个明确的依赖关系。

事实证明，在一般情况下，我们可以-∞g（T，s）σ（s）dU（s）和rt-∞h（T，s）η（s）dV（s）为即期远期价格。为此，用fi（t，t）表示交付现货的合同的远期价格≤ T和i=1，2。通过定义无套利远期价格（见Duffee[11]和Benth等人[6]），（3.7）fi（t，t）=e[Si（t）| Ft]，i=1，2，这与Si（t）定义一致∈ 根据条件（3.2）确定L（P）。我们发现：提案3.2。它认为f（t，t）=∧（t）expZt-∞g（T，s）σ（s）-) 杜(s)E“expZTtψU(-ig（T，s）σ（s））ds！|Ft#and f（t，t）=∧（t）expZt-∞h（T，s）η（s）-) dV（s）E“expZTtψV(-ih（T，s）η（s））ds！|Ft#代表t≤ T证据根据指数可积条件（3.2），Si（T）∈ L（P）a和应用于Si（T）的expectation操作符是有意义的。在不丧失一般性的情况下，我们只证明了i=1的结果。回想一下（2.6）中对S（t）的定义，即S（t）=∧（t）exp（X（t）），其中X（t）=ZT-∞g（T，s）σ（s）-) dU（s）=Zt-∞g（T，s）σ（s）-) dU（s）+ZTtg（T，s）σ（s）-) 杜（s）。因为X（T）分解中的第一项是Ft自适应的，所以我们有f（T，T）=∧（T）expZt-∞g（T，s）σ（s）-) 杜(s)E“expZTtg（T，s）σ（s-) 杜（s）！|英尺#。根据条件期望塔定律，E“expZTtg（T，s）σ（s-) 杜（s）！|Ft#=E“E”expZTtg（T，s）σ（s）-) 杜（s）！|Gt，T#| Ft#=E“expZTtψU(-ig（T，s）σ（s））ds！|Ft#，其中Gt在道具证明中定义。3.1. 在上面的论证中，我们应用了σ（s）是Gt，t对于s是可测量的∈ [t，t]和U的累积量函数的定义，以及L’evy过程的独立增量性质。这一命题如下。

根据这一提议，我们可以将期权价格重新表示为远期的函数，即（3.8）C（t，t）=eC（t，t，f（t，t），f（t，t）），8 BENTH和Zdanowicz，其中，对于xi>0，i=1，2，eC（t，t，x，x）=e-r（T）-t） ∧（t）2πZRbfc，t（y）exp（iy+c）lnx∧（T）- lnψU（t，t）×exp(1 - （iy+c）lnx∧（T）- lnψV（t，t）ψc，t，t（y）dy，（3.9）和ψU（t，t）=E“expZTtψU(-ig（T，s）σ（s））ds！|Ft#ψV（t，t）=E“expZTtψV(-ih（T，s）η（s））ds！|英尺#。注意，我们有相当复杂的项ψi（t，t），ψc，t，t（y），涉及随机波动过程σ（s）和η（s）泛函的条件期望。在下一节中，我们将利用对远期的依赖来推导期权的对冲策略。在L=（B，W）是双变量布朗运动且波动率σ和η是确定性的情况下，我们恢复了Mar-grabe公式的推广。显然，在失去一般性的情况下，我们可以在确定性波动函数的情况下，假设tσ（s）=η（s）=1，因为我们可以通过eg（t，s）=g（t，s）σ（s）和h（t，s）=h（t，s）η（s）重新定义核函数g和h。我们进一步假设B和W由ρ关联∈ (-1, 1). 那么ψ（x，y）=-（x+2ρxy+y）。因此，lnψc，T（y）=-（y）- ic）ZTtg（T，s）ds+2ρ（y）- (c)(c)- 1）我- y） ZTtg（T，s）h（T，s）ds+（（c）- 1） 我- y） ZTth（T，s）ds！，和lnψU（t，t）=ZTtg（t，s）ds，lnψV（t，t）=ZTth（t，s）ds。我们从傅里叶变换及其逆变换中回忆起，如果Z是一个具有特征函数ψZ的随机变量，则。

Folland[16]，（3.10）ZR^fc，T（y）ψZ（y）dy=2πE[fc，T（Z）]。设Z为正态分布，方差∑（t，t）g为（3.11）∑（t，t）：=ZTtg（T，s）- 2ρg（T，s）h（T，s）+h（T，s）d平均值u为u：=lnxx+ln∧（T）∧（T）+（c-)∑（t，t）。收集（3.9）当量秒（t，t，x，x）=e中的适当术语-r（T）-t） ∧（t）2πeαZR^fc，t（y）ψZ（y）dy=e-r（T）-t） ∧（t）eαe[fc，t（Z）]，其中α：=lnx∧（t）+c lnxx+c ln∧（t）∧（t）+c- 1） ∑（t，t）。价差期权和波动率调制的VOLTERRA过程9，但直接计算fc，T（Z）的预期值会得到结果（经过代数运算）（3.12）eC（T，T，x，x）=e-r（T）-t） {xN（d（t，t））- kxN（d（t，t））}，其中N（d）是累积标准正态概率分布函数，d（t，t）=d（t，t）+∑（t，t）和（3.13）d（t，t）=lnxx- ln k-∑（t，t）∑（t，t）和∑（t，t）在（3.11）中定义。毫不奇怪，我们回到了马尔格拉布公式（见Margrabe[19]），它扩展到了高斯-沃尔特拉过程。我们注意到，在随机波动过程σ和η独立于高斯过程L=（B，W）的情况下，我们可以应用条件来获得定价表达式，（3.14）eC（t，t，x，x）=e-r（T）-t） {xE[N（d（t，t））]- kxE[N（d（t，t））]}，其中（3.11）中的∑（t，t）成为定义为（3.15）∑（t，t）：=ZTt的随机变量g（T，s）σ（s）- 2ρg（T，s）h（T，s）σ（s）η（s）+h（T，s）η（s）ds。对于给定的随机波动率模型，在实践中必须采用蒙特卡罗方法进行预测。在这种情况下，回到原始傅里叶表达式可能更有效。4.远期市场中的二次套期保值在这一部分中，我们利用扩散期权价格C（t，t）中对远期价格f（t，t），f（t，t）的函数依赖性来研究套期保值问题。

为了大大简化问题，我们将注意力集中在非随机波动率的情况，也就是说，我们假设σ（t）≡ σ和η（t）≡ η表示两个正常数σ和η。显然，通过缩放核函数g和h，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设σ=η=1。因此，从道具。3.2，我们发现以下写在Si上的远期价格，i=1，t为2≤ T，f（T，T）=∧（T）expZt-∞g（T，s）dU（s）+ZTtψU(-ig（T，s））ds！andf（t，t）=∧（t）expZt-∞h（T，s）dV（s）+ZTtψV(-ih（T，s））ds！。远期价格动态是鞅，通过直接应用跳跃过程的It^o公式（参见Oksendal和Sulem[20]），我们得到了以下结果：df（t，t）f（t-, T）=cg（T，s）dW（T）+ZRezg（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt），df（t，t）f（t-, T）=ch（T，T）dW（T）+ZRezh（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt）。这里，eN（dz，dz，dt）是L=（U，V）的补偿泊松随机测度，并且是L=（U，V）的L′evy-Kintchine表示中的两个布朗运动，它们通过ρ相关。我们寻求找到一个由远期和银行账户组成的自我融资投资组合，以使对冲误差最小化。套期保值误差以套期保值投资组合和差价期权支付之间预期的二次距离为单位进行测量。这就是所谓的二次he-dge（见Cont和Tankov[10]）。用（φ，φ，φ）表示投资策略，其中φ（t）是时间t时银行中产生无风险利率r的金额，φi（t）是时间t时远期fi（t，t）的位置，i=1，2。我们认为t 7→ （φ（t），φ（t），φ（t））是Ft自适应的。由于远期交易是无成本的（无论是短期还是长期），在时间t时，该投资组合的价值表示为V（t），即在时间t时银行持有的BENTH和Zdanowicz的金额。另一方面，假设一个自我融资的投资组合，投资组合价值的变化将取决于远期价格的变化。

贴现投资组合价值，bV（t）=exp(-rt）V（t）是一个鞅，它将满足动力学（4.1）dbV（t）=φ（t）e-rtdf（t，t）+φ（t）e-rtdf（t，t），由自筹资金的hy pothesis提供。我们假设V（0）=bV（0）=C（0，T），并将hedging误差定义为（4.2）（φ，φ）：=bV（T）-bC（T，T），其中bC（T，T）=exp(-rt）C（t，t）。我们的目标是找到一种最小化误差的策略，即找到φ，φ，使E[（φ，φ）]最小化。这一策略在下一个提案n：提案4.1中衍生。介绍矩阵A（t）∈ R2×2，元素aij（t），i，j=1，2定义为asa（t）=e-rtf（t，t）c+ZR（ezg（t，t）- 1)l（dz，dz）a（t）=a（t）=e-rtf（t，t）f（t，t）ρcc+ZR（ezg（t，t）- 1） （ezh（t，t）- 1) l（dz，dz）a（t）=e-rtf（t，t）c+ZR（ezh（t，t）- 1)l（dz，dz）.此外，设b（t）∈ 用元素sb（t）表示向量=公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）c+ρcc公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）f（t，t）+ZRnbC（t，f（t，t）（1+z），f（t，t）（1+z））-bC（t，t，f（t，t），f（t，t））-Xi=1zi公元前fi（t，t，f（t，t），f（t，t）））f（t，t）（ezg（t，t）- 1) l（dz，dz），b（t）=公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）c+ρcc公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）f（t，t）+ZRnbC（t，f（t，t）（1+z），f（t，t）（1+z））-bC（t，t，f（t，t），f（t，t））-Xi=1zi公元前fi（t，t，f（t，t），f（t，t）））f（t，t）（ezh（t，t）- 1) l（dz，dz）。假设A（t）对于每个t都是可逆的≤ T然后二次套期保值策略φ（t）=（φ（t），φ（t））*是A（t）φ（t）=b（t）的唯一解。证据

从（4.1）中对bV（t）的定义可以看出，bV（t）=V（0）+ZTφ（t）e-rtdf（t，t）+ZTφ（t）e-rtdf（t，t）=V（0）+ZTφ（t）e-rtf（t，t）cdW（t）+ZTφ（t）e-rtf（t，t）cdW（t）+ZTZRφ（t）e-rtf（t-, （T）ezg（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt）价差期权与波动率调制VOLTERRA过程11+ZTZRφ（t）e-rtf（t-, （T）ezh（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt）。接下来，我们在鞅过程t7上应用It^o公式→bC（t，t）：=bC（t，t，f（t，t），f（t，t）），t≤ 我们强调了y对期权价格中f（T，T）和f（T，T）的明确依赖性（回顾（3.9））。