在融资成本和

然后是可测量的间隔Rpt（x，x）：=Pht（x，A，C），Pct（x，-A.-C）被称为套期保值r和交易对手之间OTC合同（A，C）t时的双边定价范围。请注意，在我们的讨论中，我们实际上讨论了至少三个不同的套利概念：（A.1）一级资产交易可能产生的套利机会的经典定义，（A.2）与某个合同中的长期对冲头寸相关的套利机会，以及同一合同中的短期未对冲头寸；在这种情况下，时间0的合同价格被认为是由市场外部给出的，也就是说，它是由供求规律驱动的（参见给定合同中套利的定义3.3），（a.3）套利机会与套期保值者和交易对手可能需要不同的溢价来实施各自的复制策略这一事实有关；如果这种套利机会a上升，则参与OTC合同的双方都可以同时获得这种套利机会，且价格由双方协商（定义3.11）。请注意，在案例（C.2）中，对于第三方，即可以同时从一方“购买”合同并向另一方“转售”的交易员，会出现立即转售套利机会。具体而言，如果Pht（x，A，C）≤ 0和Pct（x，-A.-C） >0，则第三方可以与套期保值者进行交易，以面对(-A.-C） 接受-Pht（x，A，C）≥ 0，同时与对方签订合同，以面对（A，C）并获得Pct（x，-A.-C） >0。这种绩效设置策略会立即产生Pct（x，-A.-C）- 对于第三方，Pht（x，A，C）>0。4定价BSDE和复制策略NEXT的目的是表明可以通过解决合适的BSDE找到套期保值者和交易对手的价格及其复制策略。

为此，我们将使用多维连续martinga-les驱动的BSDE的一些辅助结果（见[14]和其中的参考文献）。在提案4.1和4.2中，我们将表明如果xx≥ 然后是价格Pht（x，A，C）和pCT（x，-A.-C） 由公共（ePl，G）-loc al鞅esl，cld（当x≥ 0，x≥ 0）或公共（ePb，G）-loc al鞅b，cld（当x≤ 0，x≤ 0). 相反，当不平等性xx<0成立时，比如x>0和x<0，那么价格分别与ESL、cld和ESB、cld驱动的两个BSDE的解有关。因此，为了使用BSDE的比较定理确定公平（或可预测）双边价格的范围，我们首先需要为双方找到一个合适的BSDE定价变量，该变量将由一个共同的连续局部鞅驱动（见第5.2节）。4.1风险资产建模以显示BSDE定价解决方案的存在，我们需要通过对基础市场模型施加特定条件来补充假设3.1和3.2。对于任意d×d矩阵m，18 T.Nie和m.Rutkowski，m的范数由| | | | | | | |：=Tr（mm）给出*). 在下一个假设中，上标k代表l或b。假设4.1我们假设：（i）过程CLD是一个连续的、平方可积的（ePk，G）-鞅，并且对于ePk下的过滤G具有可预测的表示特性（PRP），（ii）存在一个Rd×d-值、G-适应过程MK，使得Hesk，cldit=Ztmku（mku）*du（4.1），其中mk（mk）*是可逆的，存在一个常数Km>0，这样，对于所有t∈ [0，T]，| | | | | | | | | |+| | | |（mkt）*)-|||| ≤ Km，（4.2）（iii）价格过程Si，i=1，2，风险资产的数量是有限的。请注意，条件（4.2）表示过程满足[14]中的假设5.2。

尽管假设价格为Si，i=1，2，d是有界的，这可以被视为一个相当合理的现实要求，但在常用的金融模型（包括古典布莱克和斯科尔斯模型）中，它很少得到满足。同样值得注意的是，条件（4.2）可能显得过于严格。为了放宽这一条件，我们需要对heSl、cldi过程施加更严格的条件。具体而言，我们定义了矩阵值过程SSt：=St0。00街。0............0 0 . . . Sdt.定义4.1如果存在常数∧>0dXi，j=1（γtγ），我们说γ满足椭圆度条件*t） Ijaij≥ ∧| a |=∧a*a、 尽管如此∈ RDT∈ [0，T]。（4.3）我们考虑以下假设，应将其视为假设4.1的替代方案。同样，上标k等于l或b。假设4.2我们假设：（i）过程k，cldis是一个连续的，平方可积的，（ePk，G）-鞅，并且具有关于过滤G的PRP，在ePk下，（ii）等式（4.1）与适应G的过程mk保持一致，使得mk（mk）*是可逆且令人满意的（mk）*= Sγγ*其中G适应过程的d维方阵γ满足椭圆度条件（4.3）。备注4。1我们将证明，当风险集合的价格由扩散型模型给出时，可以很容易地满足假设4.1或4.2。例如，我们可以假设每个有风险的ass etSi，i=1，2，d有P下的除息价格动态，由DSIT=Sit给出uitdt+dXj=1σijtdWjt, 或是维度S>0，过程S=*满意度=St（utdt+σtdWt）定价，含融资成本和担保19，其中W=（W，…，Wd）*是d维布朗运动，u=（u。

，ud）*是一个Rd值d，FW适应过程，σ=[σij]是满足椭圆度条件的FW适应过程的d维平方矩阵。我们现在设置G=FW，我们还记得，相对于自然过滤FW，d维布朗运动W具有可预测的表示性质；该财产由定义的流程（4.5）共享。假设相应的红利过程由Ait=RtκiuSiudu给出，我们得到desi，l，cldt=（Blt）-1.dSit+dAit- rltSitdt= （Blt）-1信息uit+κit- rltdt+dXj=1σijtdWjt.如果我们表示Sl，cld=（S1，l，cld，…，Sd，l，cld）*和u+κ- rl=（u+κ）- rl，ud+κd- rl）*, 然后是desl，cldt=（Blt）-第一ut+κt- rltdt+σtdWt.我们设定为：=σ-1t（ut+κt）- rlt）对于所有的t∈ [0，T]我们定义了概率度量(Ohm, FWT）bydePldP=exp-ZTatdWt-ZT | at | dt. （4.4）Neplis等价于P，根据Girsanov定理，过程fW:=（fW，fW，…，fWd）*是EPL下的布朗运动，其中dfwt:=dWt+atdt=dWt+σ-1t（ut+κt）- rlt）dt。（4.5）很明显，在EPLDESL下，cldt=（Blt）-第一σtdfWt。因此，如果过程u、σ和κ是有界的，那么过程sesi、l、cld、i=1、2、，d是连续的，平方可积的，（ePl，G）-鞅。此外，ESL，cldequalsheSl，cldit=Ztmlu（mlu）的二次变化*duml（ml）*= SγS和γ：=（Bl）-1σ. 显然，ml（ml）*是可逆的，因此假设4.2是满足的。此外，如果过程Si，i=1，2，d是有界的，那么过程满足条件（4.2），因此假设4.1在k=l.4.2套期保值者的价格和复制策略下有效。从现在起，我们在假设Qt=t的情况下工作，每t∈ [0，T]在假设3中。[14]中的1，以及[14]第3-5节中的所有结果（尤其是在定义spac ebH2的形式，dλ）。

请注意，这一假设与假设4.1和4.2中的任何一个都是一致的。此外，我们假设过程rl，rband ri，bfor i=1，2，d是非负的，有界的。以下结果描述了套期保值者的价格和套期保值策略。回想一下AC:=A+C+FCT和FCT=-Zt（不列颠哥伦比亚大学，波士顿大学）-1C+udBc，bu+Zt（Bc，lu）-1C-udBc，陆。在[14]之后，但Qt=t，我们用| X | bH2，d:=EP表示所有Rd值d，G-适应过程X的子空间ZTkXtkdt< ∞. （4.6）同样，让bL代表所有实值、GT可测随机变量η的空间，使得|η| bL=EP（η）<∞.20 T.Nie和M.RutkowskiDe定义4.2如果过程AC，lbelongs to hand the随机变量AC，Lt to lunderepl，则合同（A，C）可以不解除约束。合同（A，C）在过程AC，bbelongs tobHand随机变量AC，Btlunderepb下是可容许的。建议4.1（i）假设假设4.1或假设4.2中的k=l，然后对于任何实数x≥ 0和EPL下允许的任何合同（A，C），套期保值者的除息价格满足Ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x- 十）- 其中（Yh，l，x，Zh，l，x）是BSDE的唯一解决方案（dYh，l，xt=Zh，l，x，*tdeSl，cldt+eflt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dAC，lt，Yh，l，xT=x。（4.7）独特的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl在哪里，对每个人来说∈ [0，T]和i=1，2，d、 ξit=Zh，l，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C+t，ηlt=（Bc，lt）-1C-t、 ψlt=（Blt）-1.BltYh，l，xt+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.BltYh，l，xt+Pdi=1（ξitSit）--.（ii）满足假设4.1或假设4.2中的k=b。

那么对于任何实数x≤ 0和EPB下允许的任何合同（A，C），套期保值者的除息价格满足（x，A，C）=Bb（Yh，b，x- 十）- 其中（Yh，b，x，Zh，b，x）是BSDE的唯一解决方案（dYh，b，xt=Zh，b，x，*tdeSb，cldt+efbt、 Yh，b，xt，Zh，b，xtdt+dAC、bt、Yh、b、xT=x。（4.8）独特的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl在哪里，对每个人来说∈ [0，T]和i=1，2，d、 ξit=Zh，b，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C+t，ηlt=（Bc，lt）-1C-t、 ψlt=（Blt）-1.BbtYh，b，xt+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.BbtYh，b，xt+Pdi=1（ξitSit）--.证据首先假设x≥ 0.然后，根据[14]中的定理4.1和5.1，我们知道，如果假设4.1或假设4.2中的k=l满足，并且AC，l∈班德AC，中尉∈然后BSDE（4.7）有一个独特的解决方案（Yh，l，x，Zh，l，x）。因此，从[2]中的命题5.2，我们得到ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x）- 十）- C.此外，如第2.3节所述，复制策略可以独特构建。鉴于[2]中的备注5.3，当初始捐赠满足x时，可以进行类似分析≤ 0 . 备注4。2让我们对命题4中复制策略的独特性给出一些评论。1.我们只考虑x时的情况≥ 0，因为类似的参数适用于案例x≤ BSDE（4.7）解的唯一性意味着如果（Y，Z）和（Y，Z）是BSDE（4.7）的两个解，则ZT | Yt- Yt | dt+ZTk（mlt）*Zt- （mlt）*Ztkdt= 0.（4.9）具有融资成本和抵押21的定价在假设4.1下，存在一个常数Kmt，使得| | | |（mlt）*|||| ≥ K和常数K，如| | | | | | | | | |≤ K.因此，从（4.9）中我们可以得出ZTkStZt- StZtkdt= 0

（4.10）在假设4.2下，k=l，我们得到了ml（ml）*= Sγγ*S和thusEePlZTk（mlt）*（Zt）- Zt）kdt= EePlZT（ZT- （Zt）*Sγγ*S（Zt）- Zt）dt.由于γ满足椭圆度条件，因此存在一个常数∧>0，因此ZT（ZT- （Zt）*Stγγ*St（Zt）- Zt）dt≥ ∧EePlZTkStZt- StZtkdt.我们得出结论，在假设4.1和4.2（k=l）中的任何一种情况下，等式（4.10）由BSDE（4.7）的任意两个解满足。从上述论点和复制策略的结构（见命题4.1）可以看出：=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl,我们知道唯一性是关于Pl的等价意义 l. 此外，对于ξ=（ξ，…，ξd）*, ψl，ψ带ψ=（ψ1，b，…，ψd，b）*唯一性存在于以下规范kаk:=EePl中ZTkStξtkdt+ZT（|ψlt |+|ψbt |）dt+ZTkψtkdt.4.3交易对手的价格和复制策略首先让我们注意到，鉴于第2.5条，我们(-（A）-C=-AC.使用定义3.8，可以为交易对手证明以下结果。提案4.2假设提案4.1中第（i）或（ii）部分的假设满足x≥ 0和x≤ 分别为0。然后，交易对手的除息价格满足每t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C） =-Blt（Yc，l，xt）- x） +Ct{x≥0}-Bbt（Yc、b、xt）- x） +Ct{x≤其中（Yc，l，x，Zc，l，x）和（Yc，b，x，Zc，b，x）分别是BSDE的唯一解（dYc，l，xt=Zc，l，x，*tdeSl，cldt+eflt、 Yc，l，xt，Zc，l，xtdt- dAC，lt，Yc，l，xT=x，（4.11）和（dYc，b，xT=Zc，b，x，*tdeSb，cldt+efbt、 Yc，b，xt，Zc，b，xtdt- dAC、bt、Yc、b、xT=x。（4.12）独特的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl在哪里，对每个人来说∈ [0，T]和i=1，2。

，d，ξt=Zc，l，xt{x≥0}+Zc，b，xt{x≤0}，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C-t、 ηlt=（Bc，lt）-1C+t和ψlt=（Blt）-1.BltYc，l，xt{x≥0}+BbtYc，b，xt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.BltYc，l，xt{x≥0}+BbtYc，b，xt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）--.22 T.Nie和M.Rutkowski5套利价格的性质要求我们考虑带有再抵押现金抵押品的外汇保证金账户的特殊情况。外生属性意味着C不依赖于策略和策略的价值。我们用x（分别，x）表示套期保值者（分别，交易对手）的初始捐赠。我们将研究双方在以下情况下的定价和套期保值问题：–初始捐赠满足x≥ 0和x≥ 0–初始捐赠满足x≤ 0和x≤ 0–初始捐赠满足xx≤ 0.我们的目标是为上述三种情况中的每种情况（分别见提案5.1、5.2和5.4）确定单边价格的不平等性，从而得出公平双边价格的范围。在最后一种情况下，即xx≤ 0我们还研究了单调契约类的性质（见第5.2.2节）。最后，我们研究了单边收益相对于初始禀赋的单调性，并推导了马尔可夫框架下的定价偏微分方程。5.1等号初始禀赋首先假设双方都有正初始禀赋，即x≥ 0和x≥ Nie和Rutkowski[14]（见[14]中的定理5.2）给出了命题5.1的证明，其中还证明了由多维鞅驱动的BSDE的可测比较定理。5.1假设4.1或假设4.2（k=l）成立。

如果x≥ 0和x≥ 0，那么对于任何合同（A，C），我们有∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。在第二步中，我们假设双方都有积极的初始禀赋，即x≤ 0和x≤ 0.正如Remar k 3.1中所解释的，我们现在需要假设rbt≤ ri，btfori=1，2，d、 5.2号提案的起草推迟到附录中。假设5.2假设4.1或假设4.2，k=b。如果x≤ 0，x≤ 0Rb≤ i=1，2，d、 那么对于EPBW下可接受的任何合同（A，C），我们有∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePb- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。5.2相反符号的初始捐赠我们现在考虑当双方的初始捐赠具有相反符号时的情况，具体来说，我们认为≥ 0和x≤ 0.从命题4.1和命题4.2中，得出ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x- 十）- 其中（Yh，l，x，Zh，l，x）是BSDE的唯一解（dYh，l，xt=Zh，l，x，*tdeSl，cldt+eflt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dAC，lt，Yh，l，xT=x和Pc（x，-A.-C） =-（Bb（Yc，b，x）- x） +C）其中（Yc，b，x，Zc，b，x）是BSDE（dYc，b，xt=Zc，b，x，*tdeSb，cldt+efbt、 Yc，b，xt，Zc，b，xtdt- dAC、bt、Yc、b、xT=x。包含融资成本和抵押23的定价请注意，Yh、l、xis的BSDE由（ePl、G）-loc al鞅ESL、cld驱动，但Yc、b、xis的SDEB由（ePb、G）-loc al鞅ESB、cld驱动。现在，我们将尝试找到另一个与P和a（eP，G）-局部鞅CLD等价的概率度量，使得与Ph（x，a，C）和Pc（x，a，C）相关的BSD都由一个公共（ePb，G）-局部鞅CLD驱动。如果我们表示Yh，l，x=Bl（Yh，l，x- x） ，那么Ph（x，A，C）=eYh，l，x- C

鉴于（2.14）和（2.16），我们得到了deyh，l，xt=-xdBlt+Yh，l，xtdBlt+BltdYh，l，xt=- xrltBltdt+rltBltYh，l，xtdt+BltZh，l，x，*BLESDT+CLTDLt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dACt=- xrltBltdt+rltBltYh，l，xtdt+Pdi=1Zh，l，x，itdSit- rltSitdt+dAit+ 佛罗里达州t、 BltYh，l，xt，Zh，l，xtdt- rltBltYh，l，xtdt+dACt=- xrltBltdt+Pdi=1Zh，l，x，itdSit- rltSitdt+dAit+Pdi=1rltZh，l，x，itSitdt-Pdi=1ri，bt（Zh，l，x，itSit）+dt+rltBltYh，l，xt+Pdi=1（Zh，l，x，itSit）-+dt- rbtBltYh，l，xt+Pdi=1（Zh，l，x，itSit）--dt+dACt=- xrltBltdt+Pdi=1Zh，l，x，itdSit+dAit+ g（t，BltYh，l，xt，Zh，l，xt）dt+dACtwhereg（t，y，z）=-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+Pdi=1（ziSit）--. （5.3）Upo n表示Zh，l，x=Zh，l，x，我们得到了deyh，l，xt=Pdi=1eZh，l，x，itdSit+dAit- xrltBltdt+gt、 啊，我，xt+xBlt，以斯，我，xtdt+dACt。类似地，如果我们表示Eyc，b，x=-Bb（Yc，b，x- x） andeZc，b，x=-Zc，b，x，那么反对党的精神等于Pc（x，A，C）=eYc，b，x- C.考虑到（2.15），（2.17）和（5.3），我们得到了deyc，b，xt=xdBbt- Yc，b，xtdBbt- BbtdYc，b，xt=xrbtBbtdt- rbtBbtYc，b，xtdt- BbtZc，b，x，*tdeSb，cldt- Bltefbt、 Yc，b，xt，Zc，b，xtdt+dACt=XRBTBTDT- rbtBbtYc，b，xtdt-Pdi=1Zc，b，x，itdSit- rbtSitdt+dAit- fbt、 BbtYc，b，xt，Zc，b，xtdt+rbtBbtYh，l，xtdt+dACt=XRBTBTDT-Pdi=1Zc，b，x，itdSit+dAit- g（t，BltYc，b，xt，Zc，b，xt）dt+dACt=Pdi=1eZc，b，x，itdSit+dAit+ xrbtBbtdt- GT-eYc，b，xt+xBbt，-eZc，b，xtdt+dACt。以下假设分别基于假设4.1和4.2。假设5.1我们假设：（i）存在一个与P等价的概率度量，使得过程sesi，cld，i=1，2。