论波动率微笑与资金短缺的投资策略

持续波动、股票收益无自相关、正态分布增量和无波动微笑）10 JARNO TALPONENthen每个月购买一个便宜的看涨期权已经导致高夏普比率和低贝塔。图7。图8。波动性微笑和缺钱电话11图9。图10.12 JARNO Talponen图11。每年增加持有期可以提高夏普比率。3.理论考虑。1.数字选项。我们将看一看数字选项，因为它们很容易分析，但它们捕捉了这里讨论的基本现象。由于这些选项的分析是透明的，甚至是相当基本的，其好处是我们不需要任何数值计算。因此，我们将通过使用数字期权代替普通看涨期权来重新审视交易策略。让我们考虑一下欧式数字期权的价格D（St，t，t，K），如果基础证券满足要求，则在到期日t时支付1个单位的计息≥ K.这种数字期权在支付和价格上都可以近似，方法是以敲打价格K购买许多欧洲期权，并以敲打价格K+1/i做空许多期权，参见[Breeden&Litzenberger 1987]和[Jarrow 1986]。这里提到的所有选项的到期时间都是相同的，并且随着i的增加，近似值也会提高。在BSM模型中，数字期权在t isD（St，t，t，K）=e时的价值-r（T）-t） 情商（第一）≥K） =e-r（T）-t） Q（圣≥ K） 其中，STI的当前值具有确定性。

右侧的风险中性概率等于Q（ST≥ K） =σp2π（T）- t） Z∞凯-（是/圣）-（r）-σ/2）（T-t） ）2σ（t-t） dy.考虑微分的定义，把h=1/i，i作为一个大的自然数是很有用的。波动性微笑和缺钱电话13相反，这应该与期权被触发的物理概率相比较：σp2π（T- t） Z∞凯-（是/圣）-(u-σ/2）（T-t） ）2σ（t-t） dy.在上一节的投资策略中，我们将现金投资于无风险债券，而不是投资于看涨期权。然而，在本文中，兴趣的积累并没有起到显著的作用。因此，在下文中，为了简单起见，我们将考虑将现金投资到一个零利率的银行账户中，同样地，我们将把贴现系数e处理-r（T）-t） 按照惯例。事实上，这不会造成任何问题，因为我们没有运行任何类型的复制策略来合成衍生产品，因此我们可以分离BSM模型和银行账户中出现的短期利率。夏普比率（1.1）在现金流的正标度下是不变的，因此在计算中，投资的初始资本是什么并不重要。数字期权的预期收益率很容易计算：（3.1）R=R∞凯-（是/秒）-(u-σ/2）（T-t） ）2σ（t-t） 迪尔∞凯-（是/秒）-（r）-σ/2）（T-t） ）2σ（t-t） dy- 1.上述比率如下：期权的潜在付款（即1）乘以期权被触发的概率除以期权的购买价格。由于（2.2）在x中减少，很容易检查（3.1）中的分数是否满足（3.2）R=pq- 1.≥ e（u）-r） （ln（K/St）σ-（u+r）/n2σ+1/2n）- 1其中1/n是每个持有期的长度。

特别是，随着K的增加，预期投资回报率（3.1）趋于一致。现在，假设我们将以与之前引入的交易策略类似的方式使用数字期权。那么结果就很容易理解了。也就是说，对于n个保持期，i=0，1，N- 1我们将在每个周期开始时购买1/4个数字期权，地平线为1/n，Strike cistis的总价值为1/n。然后支付是二元分布的，因为我们基本上处理的是一个二元随机变量的i.i.d.序列。每个独立赌注的预期收益由PI=P（Sti+1）给出≥ ciSti）=σp2π/nZ∞西斯提耶-（ln（y/Sti）-(u-σ/2）/n）2σ/ndy=Stiσp2π/nZ∞cixe-（ln（x）-(u-σ/2）/n）2σ/ndx。14 JARNO-Talponen式中，Ci是方程1/n=qiSti=σp2π/nZ的唯一解∞cixe-（ln（x）-（r）-σ/2）/n）2σ/ndx。上面我们应用了变量x=y/Sti的变化。我们观察到皮奇→ ∞作为ci→ ∞. 在附录中，我们将说明后者作为n→ ∞.使用二元期权运行上述策略所产生的预期收益明显为PIPI，且收益的标准偏差为IPPI（1- pi）。夏普比率为thenPipi- 1皮皮（1）- （圆周率）≥皮皮- 1皮皮→sXipi=snXipiqi→ ∞, N→ ∞.我们注意到，在（3.2）中，选择高c和n会导致低p和q，高K和R。在上述交易策略中，我们让参数c（和thusK）变化，以避免涉及（3.2）的一些技术计算。我们注意到，上面我们让K和p/q趋于一致是很重要的。也就是说，对于固定的p/q，相应的二项式支付过程Sharperatio趋于0.3.2。双数字选项。如果使用双数字选项，而不是简单的数字选项，上述考虑也适用。

回想一下，双重数字期权是一种欧式衍生工具，如果标的资产的价值在到期时达到一个封闭区间，它将支付1个单位的计息。采用双数字选项实施的上述策略也会导致二元分布的现金流。对于期权被触发的短时间间隔，q/p比率将接近（2.2），因此易于理解。对于极小的时间间隔，双数字期权可以被视为理论上的Arrow Debreu证券，在这种情况下，q/p.3.3的比率（2.2）实际上保持不变。BSM模型和CAPM不兼容。所描述的（理论上的）投资机会的存在似乎与现代投资组合理论不一致，因为投资机会的夏普比率变得不切实际地高。所提出的交易策略还具有一些方便的线性统计特性，这是因为它具有一个简单的特征，即大多数时候购买的欧式看涨期权都是无效的。也就是说，由于这个原因和线性相关性的基本属性，对于大n，该策略的收益率β接近于零。大致来说，在大多数持有期，收益与市场完全不相关。即使标的资产是一个与市场波动率微笑和现金流投资组合相对应的大型基础股票指数，这一点仍然成立。然而，投资策略支付过程随着基础资产的大幅增加而变化，这一事实使情况变得复杂。有关使用centrallimit定理分析beta的信息，请参见附录。在BSM框架中，连续持有的期权是非自相关的，甚至是独立的。根据（1.3）和我们购买1/Stmany看涨期权的事实，每个持有期产生的收益分布相同。

因此，根据中心极限定理，投资策略的总收益在很大的持有期内大致呈正态分布。贝塔系数可以非常小，理论投资机会更是与CAPM不相容。BSM模型暗示了在CAPM框架中无法找到的利润丰厚的投资机会，即同时存在低贝塔系数和高夏普系数。因此，这些模型似乎在结构上不兼容。APT模型的考虑因素基本相同，因为很难通过宏观经济因素预测股票价格或股票指数的特定短期变化。目前尚不清楚该如何解释这种不匹配。也许这些发现表明，均衡估值模型（如CAPM和APT）倾向于取消风险，而另一方面，基于分类的估值代表了不同的金融经济学范式。例如，在风险中性定价的背景下，“套利”一词是一个非常不同的概念，与APT中出现的“套利”一词相比，后者代表统计套利。在风险中性定价中，确定现金流的价值，其与概率1一致。另一方面，在APT one中，现金流的价值只有相同的分布，事实上只有某些相同的参数（因子）描述了分布。3.4。微笑。正如我们在导言中已经指出的，投资策略基于一个关键观察结果，即物理密度和风险中性密度不具有渐近可比性。

到目前为止，我们已经讨论过一种策略，即一个人连续购买欧洲香草或数字电话，但低尾密度的不可比性表明了一种类似的投资策略，即一个人连续卖空。假设提议的投资策略类型在实践中是可行的。然后，这些交易策略的广泛采用应该会在短期内，向上调整资金以外的看涨期权的市场价格。类似地，低行权的短期看跌期权的市场价格应调整分配中的明显扭曲，例如，由股票价值模型分摊的有限损失。16 JARNO TALPONENdownward，与BSM模型提供的基准进行比较。如果交易的流动期权数量超过了基础证券的数量，那么我们对期权定价的关注将从享乐论转向供求定律，参见[Fengler 2005，p.45]。接下来，我们将看到当州价格-密度曲线被调整成一种形状，使得提议的投资策略不再存在时会发生什么。让我们分析渐近比率（2.3），因为它涉及履约价格和波动率之间的简单关系。即DPDQ≈ ex（u）-r） σ倾向于∞ （分别为0）作为x→ ∞ （分别为x）→ -∞) 结果期权价格与一些均衡估值模型不相容，如ECAPM。解决这种情况的一个一贯方法是改变潜在的州价格密度（另见[Fengler 2005]）。让我们用函数σ（x）代替（2.3）中的常数σ。我们的启发性原理是σ（x）应以（3.3）R-<x（u）- r） σ（x）<r+对于某些合理（有限）界限r-< 0<R+。

这意味着BSM状态价格密度可以通过不断改变σ来调整，从而在货币上不发生变化（见（2.3）之后的注释），在上述不等式中，边界是渐近获得的。我们将对这些界限的探索留给未来的研究，但我们建议，研究由此产生的投资策略收益的夏普比率应该是一个很好的起点。上述不等式表明，在调整状态价格密度时，σ（ln（K））具有以下渐近性，这也涉及波动率微笑：（3.4）σ（ln（K））≈qln（K）（u）-r） 0<<ln Kqln（K）（u）时的r+-r） r-对于ln K<<0接下来，我们将给出一个波动率smilecurve的特别公式作为示例。我们选择R=R+=-R-并应用合适的类logistic函数对上述渐近性进行建模。PutL（x）=符号（x）（1）- E-√|x |）兰德考虑x（u）- r） σ（x）=L（x）直觉上，这似乎会导致隐含波动率降低，但以下形式上的原因表明了相反的结果。波动性微笑和缺钱通话，其中σ（0）=0。我们得到了以下关于x=ln（K/S）的启发式公式：σ（x）=σ+sx（u）- r） L（x），x6=0，σ（0）=σ。（3.5）这种方法虽然是临时的，不会产生完全令人满意的波动率微笑曲线，但在描述尾部方面相当透明。我们已经讨论了一种短时间间隔的交易策略，这进一步加剧了正在调查的现象。拥有这种低波动性的解释，意味着最相关的是短期波动性。常数拉博夫看起来像一个市场微笑因子，应该根据市场数据进行校准。事实上，因子R在我们的环境中有明确的解释。

也就是说，因为R被选为（2.3）右手边倒数的绝对值的上确界，所以量exp（R）- 1可以描述为短期模型中所有欧式衍生品预期收益率的最小上界。在上述框架中，市场“容忍”高R的特性对应于弱波动性。4.讨论我们使用BSM模型的结构假设来论证某种形式的波动微笑是一种预期现象。当然，我们在这里并不是说收益分布和跳跃的厚尾不会导致波动。我们接下来要说几句话。数字选项的后一个例子产生的预期回报增长较慢，因为在处理常规调用时，函数（x）的集成- K） +（而不是1x≥K） 与物理概率和风险中性概率相比，上尾翼的重量更大，此时比率Pdq（ln K）迅速增加。因此，所讨论的现象适用于欧洲普通普通电话（而非数字选项）。我们认为，投资策略的回报贝塔系数很小，因为大部分时候买入的期权都是一文不值的。这直观地表明，在大多数持有期，收益恰好与市场完全不相关。类似地，支付过程的自相关性接近于零，即使基础数据是强自相关的。此外，根据同样的推理，APT模型采用的宏观经济指标与产量过程的相关性接近于零。18贾诺·塔波宁4。1.扩展。如果参数u、r和σ随时间变化，所讨论的基本现象不会发生显著变化。

因此，即使在两个等待期之间使用新的参数值更新模型，策略也应以类似的结论运行。当然，这里没有考虑与BSM框架相关的问题，比如收益率分布的非正态性。也许分布的问题在这里并不重要，因为我们基本上只应用了定价系统的最基本的属性，即dqdp | ST=K终止于0作为K→ ∞. 因此，该策略应能在任何具有该关键功能的定价系统中成功执行。紧接着出现了两个问题：（1）如果在投资策略中使用非欧洲风格的期权，会发生什么？（2） 如果一个人用类似的逻辑交易欧洲电话，但不等待到期，会发生什么？这些问题与这样一个事实有关，即发行期权的到期时间从下到下是有界的，因此在实践中，人们不能每年拿n到bevery large。在实际市场中，还有两个更严重的问题似乎阻碍了所述战略的运作。一个是隐含在衍生品价格中的市场信息，另一个是证券的自相关性。衍生品的价格通常被认为包含有关标的资产未来价值的信息（或至少市场情绪）。因此，有人可能会说，所描述的策略失败了，因为市场预期未来衍生品价格中的证券价值会上升/下降，而这里强烈利用的真正随机性的影响会消失。此外，有人可能会说，尽管从长远来看，市场的未来价值很难预测，但市场对近期的前景有着不成比例的洞察力。这似乎是一个似是而非的担忧，尤其是在我们可能最终会押注于消息灵通的特工的意义上。

此外，市场可能会对这种持续的交易做出反应，让资金的深度调用变得更便宜。由于供求规律，我们不仅将我们的担忧限制在市场的“自发”反应上，还可能通过一些代理人的战略决策。这一点已经在与波动性微笑相关的问题上进行了讨论。另一种可能的批评涉及自相关证券回报。也就是说，在熊市中继续下注（在我们的背景下是向上下注）可能会产生与对消息灵通的投资者下注类似的后果。我们承认，在熊市中，目前的策略可能不是一个好主意。不过，似乎有可能解决这些问题。在这两个例子中，问题都是由于缺乏随机性而导致模型严重失败。这个想法是为了进一步培养策略，以便在某种意义上强行将事件随机化。波动性微笑和缺钱电话19让我们首先尝试应对知情市场的影响。我们声称，即使一些参与市场的代理人掌握有关标的证券或指数未来价值的信息，也不容易预测标的证券或指数的准确价值。因此，我们可以通过交易双数字期权而不是普通的普通看涨期权来规避所提出的问题。双数字选项的支付功能可被视为可能短间隔[a，b]上的指示功能1[a，b]。