一类非线性方程的摄动分析

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英文标题：
《Perturbation analysis of a nonlinear equation arising in the
  Schaefer-Schwartz model of interest rates》
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作者：
Beata Stehlikova
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We deal with the interest rate model proposed by Schaefer and Schwartz, which models the long rate and the spread, defined as the difference between the short and the long rates. The approximate analytical formula for the bond prices suggested by the authors requires a computation of a certain constant, defined via a nonlinear equation and an integral of a solution to a system of ordinary differential equations. In this paper we use perturbation methods to compute this constant. Coefficients of its expansion are given in a closed form and can be constructed to arbitrary order. However, our numerical results show that a very good accuracy is achieved already after using a small number of terms.
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中文摘要：
我们讨论Schaefer和Schwartz提出的利率模型，该模型对长期利率和利差进行建模，定义为短期利率和长期利率之间的差异。作者提出的债券价格的近似分析公式需要计算某个常数，该常数通过一个非线性方程和一个常微分方程组解的积分来定义。在本文中，我们使用微扰方法来计算这个常数。其展开系数以闭合形式给出，可以构造为任意阶。然而，我们的数值结果表明，在使用少量项后，已经达到了非常好的精度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Perturbation_analysis_of_a_nonlinear_equation_arising_in_the_Schaefer-Schwartz_m.pdf (137.62 KB)

2022-5-7 02:04:23 上传

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关键词：非线性方程 线性方程 非线性 Perturbation Differential

Schaefer-Schwartz利率模型中出现的非线性方程的摄动分析Be\'ata Stehlikov\'a摘要我们处理Schaefer和Schwartz提出的利率模型，该模型对长期利率和利差进行建模，定义为短期利率和长期利率之间的差异。作者提出的债券价格的近似分析公式需要计算某个常数，该常数通过非线性方程和一个普通微分方程组的整体解定义。本文用摄动法计算这个常数。它的展开系数以封闭形式给出，可以构造成任意阶。然而，我们的数值结果表明，在使用少量项后，已经达到了非常好的精度。1.介绍利率是为使用货币而收取的利率。它的随机性（可以在金融市场上观察到）激发了利率的随机建模。其中一类模型称为短期利率模型，其基础是指定瞬时利率（也称为短期利率）的随机微分方程或确定瞬时利率的几个f因子。然后根据债券价格计算其他到期日的利率，债券价格作为抛物线偏微分方程的解获得。

关于利率模型的更多细节可以在书[14]、[3]中找到。多因素模型包括各种因素，以更好地描述短期利率：它们考虑了随机波动性（有关这些模型的最新处理方法，请参见一本书[8]）、货币联盟中的利率对一个国家在[7]、[20]加入该联盟之前的影响，将短期利率写为一系列因素的总和，例如在[2]中，这些因素被解释为经济“新闻”流的当前效应。校准模型的一种可能方法是将市场利率与模型确定的利率进行比较，例如，单因素模型的校准见[19]，双因素模型的校准见[7]。这要求对键合进行精确计算，因为需要对校准中使用的所有数据和优化过程中考虑的每个参数集进行计算。然而，债券价格部分微分方程的封闭形式解仅适用于少数模型。因此，有论文找到了更多复杂模型的近似解析解，例如[6]、[18]、[16]、[13]、[17]、[9]。在本文中，我们考虑了一个模型，该模型使用短期利率和长期利率，并通过计算长期利率和利差（即短期利率和长期利率之间的差异）来进行参数化。最初的模型是在20世纪80年代[15]制定的。然而，m odellingspread也是一个有趣的功能，参见[1]和最近的一篇论文[5]，用于预测用途。考虑到波动率和相关性的更一般形式，对原始论文[15]进行了推广，并在[4]中使用计量经济学时间序列技术进行了研究。带有这些变量的模型是[10]中考虑的两因素模型之一，他们应用了他们的估算方法。

我们认为，在这个模型和应用程序中，债券的定价摄动分析（参见[11]，[12]）是一个积分方程和一个非线性方程，为了应用[6]中提出的债券价格的近似分析公式，需要求解该方程。本文的结构如下：在下一节中，我们介绍了SchaeferSchwartz模型[15]，以及在评估债券价格的近似公式时解决的数学问题。在第3节中，我们介绍了一个小参数，它在随后的小节中用于渐近展开。第4节提供了通过展开式获得的结果的数值示例，并将其与通过数值计算获得的值进行比较。文章最后总结了研究结果。2 Schaefer-Schwartz模型及其债券价格的近似解析解Schaefer和Schwartz在[15]中提出的模型是根据合并利率的随机微分方程（定义为具有恒定连续息票和最终到期日的债券收益率，也称长期利率）建立的l 并在短期利率和长期利率之间进行分摊。作者假设变量遵循随机微分方程系统SDS=m（u- s） dt+γdw，（1）dl = β（s，l, t） dt+σ√l dw，（2）式中，w，被假定为不相关的维纳处理；Schaefer和Schwartz为支持这一假设的实证研究提供了参考。本规范假设利差根据Ornstein-Uhlenbeck过程（1）演变，该过程是一个条件正态分布的均值回复过程。这是一个合理的假设，利率之间的利差可以是正值，也可以是负值。利率本身不应达到负值，而负值会在这个过程（2）中激发波动的平方根类型。

注意，如果假设它也是均值回复，我们得到了众所周知的n平方根贝塞尔过程。然而，如[15]所示，函数β（s，l, t） 对债券价格的偏微分方程没有影响，因此它保持一般形式。价格V（s），l, τ） 当当前息差等于贴现率时，到期日为τ的贴现债券l 是偏微分方程的解，见[15，方程（4）]，γ五、s+σl五、l+ m（μu）- （s）五、s+（σ）- l（s）五、l- (l + s） 五-五、τ=0（3）表示τ∈ [0，T），s∈ Rl ∈ R+，初始条件为V（s，l, 0）=1，其中^u=u-λγm（4）和λ是所谓的利差风险的市场价格，假定其为常数。Schaefer和Schwartz提出的近似是基于找到与（3）密切相关的方程的精确解。特别是，它们会在五/l 然后，方程的解V可以以V（s）的形式分离，l, τ）=X（s，τ）Y(l, τ）其中函数X和Y可以用封闭形式表示。我们建议读者参考原始论文[15]了解动机的细节（基于用所谓的风险中性等价度量表示随机微分方程，暂时忽略其随机部分），以及根据所选标准对与发现相对应的问题进行数学推导；现在我们介绍由此产生的问题的公式。最终结果是，选择常数^s作为非线性方程的解l =l^s- σ^sτ1.- E-^sτ+σ^s，（5）在哪里l =Zτl（t） dt（6）和l（t） 是系统的解决方案ds=m（u- s） dt，（7）dl = (σ- sl) 初始条件为s（0）=s时，l(0) = l这是债券价格评估的价差和利率的值。

他们将该程序计算的债券价格结果与数值求解偏微分方程（3）进行了比较，并得出结论，ap近似给出了准确的结果。然而，整数的表达式l 作者给出的（6）定义非常复杂（参见[15，等式（A6）]：o对于s>l =E-VVαlmτ+σγ（α，V）mτ∞Xm=0Vn-α- 越南-ατ（n）- α） n！-σΓ（α）mτ∞Xn=1Vn- VnτnΓ（α+n+1）-σαm，（9）o对于s=^ul =l^u-σuτ1.- E- ^uτ+σ^u，（10）o对于s<l =σmτ“eVVαlmσ+Vα+∞Xn=1Vα+n（α+n）n！！×V-ατ- 五、-αα+∞Xn=1(-1） n（Vn）-α- 越南-ατ）（n）- α） n！！-αmτ+∞Xn=1(-1） n（Vn）- Vnτn！！-E-Vτ- E-Vα+1+∞Xn=2γ（n，V）- γ（n，Vτ）（α+n）n！！#，（11） 其中Γ（x）是伽马函数，γ（p，x）是不完全伽马函数，V=|s- u| m，Vτ=Ve-mτ，α=-u和α被假定为正（这意味着u<0，这是经验相关的情况，在平衡状态下，控制率高于瞬时率）。这些复杂的表达式促使我们使用微扰方法，并使积分（6）和非线性方程（5）的解的近似值易于计算。或者，普通微分方程组（7）、（8）可以很容易地用数值方法求解；我们使用这种方法来获得数值，并将其与近似值进行比较。3微扰法近似于发现^首先，我们注意到初始条件为s（0）=的方程（7）的解为s（t）=^u+（s- ^u）e-我们引入了小参数ε=s- ^u，（12）将在后续计算中使用。请注意，is代表价差的当前值与其平衡值之间的差异。利率在期限结构模型中表示为十进制数（例如，0.01对应于每年1%的利率），因此我们可以预期该参数为“小”。

使用这个参数，我们表示s（t）ass（t）=^u+εe-mt.（13）3.1l（t） 我们写作l（t） 以ε的整数幂的渐近级数形式：l（t） =c（t）+c（t）ε+c（t）ε+。（14） 从最初的状态l(0) = l我们得到C（0）=l, 当k=1，2。（15） 将（14）和（13）代入普通微分方程（8），我们得到函数ck:˙c（t）=σ的方程组- ^uc（t），˙ck（t）=-^uck（t）=e-mtck-1（t）表示k=1，2。（16） 因此，c（t）=c+ce-ut，其中c=σ^u，c=l-σ^u（17）和函数ckk可以通过计算递归lyck（t）=-E- ^utZte（^u-m） sck-1(s)ds。它们是指数函数的线性组合；我们列出了一些选项：c（t）=ce-^u+m）t+ce-mt+ce- ^ut，c（t）=ce-^u+m）t+ce-（^u+2m）t+ce-2mt+ce- ^ut，c（t）=ce-^u+m）t+ce-（^u+2m）t+ce-（^u+3m）t+ce-3mt+ce- ^ut，系数c=cm，c=-c^u-m、 c=-（c+c），c=cm，c=c2m，c=-c^u-2m，c=-（c+c+c），c=cm，c=c2m，c=c3m，c=-c^u-3m，c=-（c+c+c+c）。我们假设^u不是m的整数倍，这在一般情况下是可以满足的，因为^u是（4）给出的价差调整后的均衡值（在金融环境中，其在等效风险中性定价措施下的均衡值），m是sp读取到均衡值的平均值反转速度。3.2“积分”的扩展l由于展开式（14）的系数ck（t）是指数的线性组合，我们可以很容易地导出整数（6）的类似展开式。我们写下（因为这是积分的倍数，将在下一节中使用）τ‘l（τ） =L（τ）+L（τ）ε+L（τ）ε+。

（18） 然后，Lk（τ）=Rτck（t）dt和第一项由L（τ）=Lτ+Le给出- ^τ+L，L（τ）=Le-（μu+m）τ+Le-mτ+Le- ^τ+L，L（τ）=Le-（μu+m）τ+Le-（μu+2m）τ+Le-2mτ+Le- ^τ+L，L（τ）=Le-（μu+m）τ+Le-（μu+2m）τ+Le-（μu+3m）τ+Le-3mτ+Le- ^uτ+L，系数为byL=c，L=-c^u，L=c^u，L=-c^u+m，L=-厘米，升=-c^u，L=-Xi=1L1jL=-c^u+m，L=-c^u+2m，L=-c2m，L=-c^u，L=-Xi=1L2jL=-c^u+m，L=-c^u+1m，L=-c^u+3m，L=-c3m，L-c^u，L=-Xi=1L3j3。3^sWe的展开式将方程（5）改写为τ′的形式l^s=(l^s- σ)(1 - E-^sτ）+σ^sτ（19），并将其解^s写成^s=k（τ）+k（τ）ε+k（τ）ε+。（20） 现在，使用τ′的（20）展开式，在ε的无符号表达式中，很容易写出（19）的左侧和右侧l 由（18）和（为了简洁起见，我们在系数中省略了参数τ）1给出- E-^sτ=1- E-kτe-（kε+kε+…）τ= 1 - E-kτ1.- （kε+kε）- . . .)τ+（kε+kε+…）τ-. . ..匹配（19）中O阶（εk）的系数，我们得到thatk=^u（21）h(lK- σ） e-kττ+l(1 - E-kτ）+στ- 2Lkikn=rhsn，（22），其中n=1，2。，右侧rhsnof（22）由之前计算的量表示。再次，我们写下将在数值实验中使用的第一项：rhs=Lk，rhs=Lk+2LK+Lk+kτ(lK- σ） e-kτ- lkτe-kτ，rhs=2Lkk+L（2kk+k）+2Lkk+Lk- (lK- σ） e-kτ(-τkk+τk）-l柯-kτ（kτ）-τk）- l柯-kτkτ。请注意，结果（21）与比较（10）和（5）的结果一致，从中可以看出，如果s=^u（即ε=0），则^s=^u，正如文[15]中所述。4数值结果我们使用[15]中用作基本参数的值：m=0.72，u=-0.01, γ =0.007, σ= 0.0003, λ = 0. [15]中考虑的价差和收益率的初始值为[-0.05,0.05]对于砂[0,0.2]f或l.

我们采取l= 0.1（其范围的中间值）和以下三种选择：临界情况s=-0.05和s=0.05，以及区间s=0的中间。这些对应于ε=-0.04，ε=0.06和ε=0.01。图1、图2和图3显示了连续近似值的比较l（t） 用（13）代替s（t）的普通微分方程（8）的数值解。表1显示了τ′项的连续近似值l, 在哪里l 是积分（6），并与通过积分（8）得到的结果进行比较，该结果适用于成熟度τ=1年的债券。

最后，表2 s展示了^s的逐次近似值，即感兴趣的质量，与数值获得的值相比，τ=1。顺序s=-0.05 s=0 s=0.050.1006522 0.1006522 0.10065221 0.1022593 0.1002504 0.09824152 0.1022755 0.1002514 0.09827803 0.1022756 0.1002514 0.0982776数值0.1022756 0.1002514 0.0982776表1：术语τ的近似值l顺序s=-0.05 s=0 s=0.050-0.01-0.01-0.0118965-0.002059-0.03784482-0.0418789-0.0020448-0.03788443-0.0418789-0.0020448-0.0378844数值-0.0418789-0.0020448 0.0378844表2：^S021 30.5 1.5 2.5 2.5 3.54.50.10.10.110.1020.1040.1060.1080.1120.1140.1010.1130.1090.1070一阶时间近似解近似三阶近似图1：比较f或s=-0.055结论我们提出了一种应用微扰法来逼近变量的方法，该变量用于评估Schaefer和0 21 30.5 1.5 2.5 3.54.50.10.1020.1040.1060.1010.1030.1050.10050.10150.10250.10350.10450.10550.1065中债券价格的分析近似公式。0次近似1次近似2次近似3次近似近似值图2：s=0 Schwartz模型的比较[15]。我们将当前价差水平与其平衡值之间的差异作为一个小参数，并构造了最终导致近似公式中所需常数展开的展开式。系数以封闭形式给出，我们的数值结果显示了很好的逼近能力，这表明该方法可以成功地用于模型的实际评估。参考文献[1]R.阿伦斯：通过利差预测衰退：一项多国区域切换分析。《国际货币与金融杂志》2002年第21期，第。