标记点驱动的纯跳跃模型中的效用最大化

在卖空交易中，投资者借入股票——通常是从经纪交易商或机构投资者那里借入——并在市场上出售，在未来的某个时候，投资者必须回购股票，将其返还给贷款人，以期在股价下跌时获利。为了借入股票，卖空者必须签订证券借贷协议，并向贷款人支付贷款费用。这笔费用主要取决于找到和借用证券的难度。卖空者还必须提供抵押品，以更好地确保借入的股份将返还给贷款人。可接受的抵押品包括现金、ZF债券或银行信用证。如果抵押品是现金，贷款人将抵押品的利息“回扣”给借款人，这通常会设定股票贷款费用。然而，如果对证券的需求很大，股票贷款费用可能会超过现金抵押利率，并且回扣率将为负。我们假设风险资产St就是这种情况。此外，我们假设短期销售的现金收益作为抵押品持有，并以货币账户利率rt赚取利息。更具体地说，让股票贷款费用rLt成为F-可预测的一致有界rLt≥ rta。s、 尽管如此，t∈ [0，T]。然后，保证金支付函数是g（t，π）=（rt- rLt）π-.这里是π-:= - min{0，π}表示π的负部分∈ R.我们建议读者参考达沃里奥[11]的论文，以全面描述股票借贷市场、卖空以及负回扣率的经验证据。现在，我们引入风险规避效用最大化问题来优化投资组合和消费过程。

设U:[0，T]×0，∞) → [-∞, ∞) 和U:[0，∞) → [-∞, ∞) 分别表示消费和投资风险规避效用函数，满足以下条件（i）U（t，x）>-∞ U（x）>-∞ 尽管如此，t∈ [0，T]和x∈ (0, ∞),（ii）对于每个t∈ [0，T]映射U（T，·）：（0，∞) → R和U（·）：（0，∞) → R是严格增加的，严格凹的，属于Con（0，∞), 这样的限制↓0，x>0Ux（t，x）=+∞, 利克斯→∞Ux（t，x）=0，limx↓0，x>0U（x）=+∞, 利克斯→∞U（x）=0。（iii）UandU在[0，T]×（0，∞).设A（x）表示可容许的投资组合消费策略类（π，c）∈ A（x）这样的ZTU（t，ct）-dt+U（Vx，π，cT）-< +∞.我们定义了效用函数lj（x；π，c）：=EZTU（t，ct）dt+U（Vx，π，ct）, （π，c）∈~A（x）。我们的主要研究对象是以下风险规避效用最大化问题θ（x）：=sup（π，c）∈π（A）x>0。（2.6）3主要假设：局部特征slet N（dy，dt）表示随机计数度量（2.1）。回想一下，N（dy，dt）的补偿器F-可预测投影ρ（dy，dt）是唯一的（可能达到零集）正随机测度，因此，对于每个F-可预测实值映射φ（t，y），以下两个条件保持不变。过程ztzeφ（s，y）ρ（dy，ds），t≥ 0，是F-可预测的。二、如果过程ztze |φ（s，y）|ρ（dy，ds）<+∞, T≥ 0.0是递增的且局部可积的，那么mt（φ）：=ZtZEφ（s，y）N（dy，ds）-ZtZEφ（s，y）ρ（dy，ds），t≥ 0是F-局部鞅（参见Jeanblanc等人[21，定义8.8.2.1]）。

等价地，对于所有T>0，EZTZEφ（s，y）N（dy，ds）= EZTZEφ（s，y）ρ（dy，ds）.以下是本文其余部分的主要假设：计数测度N（dy，dt）的补偿器ρ（dy，dt）满足ρ（dy，dt）=Ft（dy）λtdt（A），其中λ是正F-可预测过程，而Ft（dy）是可预测概率转移核，即在B（E）上具有集合概率测度值的F-可预测过程。在这种情况下（λt，Ft（dy））被称为标记点过程{（τn，Yn）}n的F-局部特征≥1，参见例如Br\'emaud[2，第八章]。在这个假设下，对于每个∈ B（E）计数过程Nt（A）是具有随机强度λtFt（A）的非齐次泊松过程。这可以解释为，考虑到事件已经发生，可以将事件发生的概率与标记的条件分布分开。因此，Ft（dy）是时间t处标记的条件分布，λtdt给出了下一个微小时间步长dt内发生事件的概率。下面我们给出两个满足主要假设（A）的例子。在这两种情况下，非局部特征（λt，Ft（dy））取决于（可能是外生的）马尔可夫状态过程，带有RCLL路径，可用于描述日内市场活动、宏观经济因素、驱动市场的微观结构规则或经济或商业周期的变化，参见例[15]。在第一个例子中，状态过程是两状态连续时间马尔可夫链。在第二个例子中，这是一个跳跃差异过程，可能与风险资产St.例3.1（马尔可夫调制标记点过程）有共同的跳跃。

设{ε（t）}t≥0是一个两状态连续时间马尔可夫链，其值在{0，1}和极小生成元（强度矩阵）Q中=-λλλ-λ.对于每个i=0，1，让{Yi，n}n≥1be一系列独立的E-分布为P（Yi，n）的有值随机变量∈ dy=Fi（dy），n≥ 1.假设这两个分布与马尔可夫链{ε（t）}t无关，也与它们无关≥设{τn}n≥1denote{ε（t）}t的跳跃时间≥设εn:=ε（τn-) 表示马尔可夫链{ε（t）}t的状态≥0就在n之前-跳吧。因此，对于每个n≥ 1符号Yεn，是一个分布为Fεn（dy）的随机变量。然后，F-与标记点过程{（τN，YεN，N）}N有关的计数测度N（dy，dt）的可预测投影ρ（dy，dt）≥1满足条件（A）与F-局部特征λt=λε（t）-)Ft=Fε（t-).有关证据，请参见欧佩兹和塞拉诺[27]中的第4节。例3.2。设ν（dξ）为σ-可测空间Z上的有限测度。设γ（dξ，dt）表示Z×R+上的F-泊松随机测度，平均测度为ν（dξ）dt，设为F-布朗运动。设（X，Z）表示It^o-Levy型随机微分方程dxt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZZη（t，Xt）系统的解-, ξ） γ（dξ，dt），X∈ RdZt=ZZη（t，Xt-, Zt-, ξ） γ（dξ，dt），Z∈ R.我们假设泊松测度γ（dξ，dt）与wt无关，系数b、σ和η是满足通常线性增长和Lipschitz条件的参数的可测函数。定义随机时间序列{τn}n≥1是过程Zt的跳跃时间，即τ：=0τn+1:=inft>τn:ZtτnZZη（s，Xs-, Zs-, ξ） γ（dξ，ds）6=0, n=1,2。

.每n≥ 1，标记Yn（标记空间E=R）是进程ztatimeτn的跳跃，Yn:=Zτn=Zτn- Zτn-1.对于t≥ 0和A∈ B（R）我们定义了SETDT（x，z；A）：=[η（t，x，z，·）-1] （A\\{0}）={ξ∈ Z:η（t，x，Z，ξ）∈ A\\{0}。然后，ifZTν（Dt（Xt，Zt；R））Dt<+∞, P- a、 s.F-与{（τN，Yn）}N有关的计数测度N（dy，dt）的可预测投影ρ（dy，dt）≥1满足条件（A）和F-局部特性λt=ν（Dt（Xt-, Zt-; R） ）Ft（dy）=λtν（Dt（Xt）-, Zt-; dy）。有关证明，请参见Ceci[4]中的命题2.2。4凸对偶方法和主要结果在本节中，我们介绍了Cuoco和Liu[8]的一些凸对偶技术，并在存在最优投资/消费政策的充分条件下建立了我们的主要结果。设δK（π）：=0，如果π∈ K+∞, 如果π/∈ Kdenote投资组合约束集K的指标函数（在凸分析的意义上）和letgK（ω，t，π）：=g（ω，t，π）- δK（π）。函数gK（ω，t，·）是上半连续的凹函数，对于所有t，gK（ω，t，0）=0a.s∈ [0，T]。我们用~gK（ω，t，ζ）：=supπ表示∈R[gK（ω，t，-π） +πζ]=supπ∈K[g（ω，t，π）- πζ], ζ ∈ r3π7的凸共轭→ -gK（t，-π) ∈ R.从0开始∈ K、 从定义中可以清楚地看出gK≥ 此外，gK（ω，t·）是下半连续凸的，且gK（ω，t，π）=infζ∈R[~gK（ω，t，ν）+πζ]。（4.1）如果K=R，我们简单地用g表示gK。我们定义了gK（ω，t，ζ）的有效域，用Nt表示，asNt（ω）：={ζ∈ R:~gK（ω，t，ζ）<+∞} .最后，让D表示F-逐步可测过程（ζt）t的集合∈[0，T]令人满意的支持∈[0，T]|ζT |+ZT|gK（T，ζT）dt<+∞, a、 例4.1。

考虑例2.1中的保证金支付函数，在禁止卖空风险资产的投资组合约束下，即K=[0+∞).ζ∈ 固定，mapR 3π7→ g（t，π）- πζ =-πζ, π ∈ [0, 1],-（ζ+Rt）- rt）π+（rt）- rt），π>1，当且仅当-（ζ+Rt）- （右）≤ 0.在π=1时，如果-ζ ≥ 0和π=0，如果-ζ ≤ 0.因此，我们有gK（t，ζ）=0, ζ ≥ 0,-ζ, ζ ∈ [-（Rt）- rt），0]+∞, ζ < -（Rt）- rt）（4.2），有效域Nt=[-（Rt）- rt）+∞).例4.2。现在考虑示例2.2的保证金支付函数，投资组合约束为禁止从货币账户借款，即K=(-∞, 1].ζ∈ 固定，mapR 3π7→ g（t，π）- πζ =-πζ, π ∈ [0,1]，（rLt- rt- ζ） π，π<0，当且仅当rLt- rt- ζ ≥ 0.同样，在π=1时，如果-ζ ≥ 0和π=0，如果-ζ ≤ 0.那么，我们就有gK（t，ζ）=0, ζ ≤ 0-ζ, ζ ∈ [0，rLt- [rt]+∞, ζ>rLt- rt（4.3），有效域Nt=(-∞, rLt- rt]。设Θ表示局部有界F-可预测E的集合-对于ρ，符合（i）ν（t，y）>0 a.s.的标记过程-几乎每（t，y）∈ [0，T]×E（ii）过程（ζφT）T∈[0，T]定义为ζ~nT:=rt- ut- λtZEf（t，y）~n（t，y）Ft（dy），t∈ [0，T]属于D.LeteN（dy，dt）：=N（dy，dt）- Ft（dy）λtdt表示计数测度N（dy，dt）的补偿鞅测度。对于每种类型∈ 设HΘ表示线性dedht=Ht的解--[rt+~gK（t，ζ~nt）]dt+ZE（η（t，y）- 1） eN（dy，dt）H=1（4.4）引理4.3。对于每种类型∈ Θ和（π，c）∈ A（x），我们有H k TVx，π，cT+ZTH k Tcsds≤ x、 （4.5）证据。

利用跳跃过程的乘积规则，我们得到了（H k tVx，π，ct）+H k tctdt=H k t-dVx，π，ct+Vx，π，ct-dHаt+Hаt-Vx，π，ct-πtZEf（t，y）（φ（t，y）- 1） N（dy，dt）+H k tctdt=H k t-Vx，π，ct-[rt+g（t，πt）]dt+πth（ut- rt）dt+ZEf（t，y）N（dy，dt）i- Htctdt+Ht-Vx，π，ct--[rt+~gK（t，ζ~nt）]dt+ZE（η（t，y）- 1） eN（dy，dt）+ H k t-Vx，π，ct-πtZEf（t，y）（φ（t，y）- 1） N（dy，dt）+H k tctdt=H k t-Vx，π，ct-hg（t，πt）- πtrt- ut- λtZEf（t，y）~n（t，y）Ft（dy）- ~gK（t，ζ~nt）idt+ZE（πtf（t，y）~n（t，y）+~n（t，y）- 1） eN（dy，dt）从0到T积分，并使用gK的定义，我们得到了φTVx，π，cT+ZTHφtctdt≤ x+ZTZE（πtf（t，y）~n（t，y）+~n（t，y）- 1） 最后一个不等式右边的随机积分是一个F-局部鞅，它在下面有界，因此是一个F-局部鞅-超鞅和（4.5）如下。现在我们引入一个辅助函数，它与效用函数的凸对偶有关。让U用t表示U（·）或U（t，·）∈ [0，T]固定。让我表示U的倒数，这样I（U（x））=U（I（x））=x，x>0。然后，I satifiesi（y）=arg maxx>0{U（x）- yx}，y>0。特别是U（I（y））- 易（y）≥ U（x）- yx，x、 y>0。（4.6）注意U（I（y））-yI（y）=U*（y） ，你在哪里*（y） ：=supx>0{U（x）- yx}是地图的LegendreFenchel变换(-∞, 0）3 x 7→ -U(-十）∈ R.地图U*被称为效用函数U的凸对偶∈ Θ，我们定义了mapXΘ（y）：=EZTHаtI（t，yHаt）dt+HаtI（yHаt）.LeteΘ：={Θ∈ Θ：XΘ（y）<∞, y>0}。对于每种类型∈eΘwe表示YΘ：=（XΘ）-1并确定工艺（cx，k t）t∈[0，T]和随机变量Gx，~n如下所示cx，~nT:=I（T，Y k（x）HаT），T∈ [0，T]，Gx，~n：=I（Yа（x）HаT）。（4.7）最后，我们定义了辅助函数ll（x；~n）：=EZTU（t，cx，~nt）dt+U（Gx，~n）, x>0，ν∈eΘ。引理4.4。J（x；π，c）≤ L（x；~n）表示所有（π，c）∈§A（x）和∈eΘ。证据

从（4.6）到（4.7），我们有（t，ct）≤ U（t，cx，аt）+Yа（x）Hаt（ct）- cx，~nt）和u（Vx，π，cT）≤ U（Gx，ν）+Yа（x）HаT（Vx，π，cT）- Gx，~n）。然后，通过（4.5）和Y的定义，我们得到了j（x；π，c）≤ L（x；а）+Yа（x）·EZTH~nt（ct）- cx，~nt）dt+HT（Vx，π，cT- Gx，~n）≤ L（x；а）+Yа（x）[x- Xа（Yа（X））]=L（X；а），然后得到期望的结果。设θ（·）表示最小化问题θ（x）的最优值函数：=infθ∈eΘL（x；Θ）。（4.8）引理4.4中我们有θ（x）≤θ（x）。我们现在的目标是找到一个充分的条件，证明在初始财富x>0的情况下，存在二元缺口和最优投资组合消费过程（^π，^c）。对于每种类型∈Θ，定义流程yx，Θt:=EH k TGx，а+ZTtHаscx，аsds英尺, T∈ [0，T]和mx，~nT:=Yx，~nT+ZtH k scx，k sds，T∈ [0，T]。观察Mx，~ntsatis fiesmx，~nt=EH k TGx，k+ZTH k scx，k sds英尺, T∈ [0，T]。（4.9）也就是说，过程（Mx，~nt）t∈[0，T]是F-鞅。设βx，а（t，y）表示Mx，аt相对于补偿测量值（dy，dt），dMx，аt=ZEβx，а（t，y）eN（dy，dt）的基本鞅表示系数。（4.10）注意，Yx，~n=Xа（Yа（X））=X和Yx，аt≥ 0代表所有t∈ [0，T]。此外，该对（Yx，~n，βx，~n）满足线性后向SDEYx，~nt=H k TGx，k+ZTtH k scx，k sds-zTZEβx，~n（s，y）eN（dy，dt），t∈ [0，T]，（4.11）最终条件为Yx，~nT=H~nTGx，~n。以下是本文定理4.5的主要结果。对于x>0固定，假设存在∈Θ和一个F-可预测的portfolioproportion过程^π，K值满足g（t，πt）- ^πtζ^^k t=~gK（t，ζ^k t），所有t的a.s∈ [0，T]，（4.12）和^πtf（T，y）+1=^k（T，y）“βx，^k（T，y）Yx，^k T-+ 1#，ρ的a.s-a、 e.（t，y）∈ [0，T]×E.（4.13）进一步假设（2.3）有（^π，^c）的解，其中^c=cx，^^。

那么以下断言成立（a）（π，c）∈■A（x）和最大化（2.6），（b）财富过程Vx，π，^是对过程Xx的修改，^t:=Yx，^^t/H^t，（c）效用最大化的最优值函数（2.6）满足度θ=K^o Y^^^（Y）：=EZTU（t，I（t，yH^k t））dt+U（I（yH^k t））, y>0。证据我们首先证明（b）部分。由于Xx，^^=Yx，^^=x，有必要证明Xx，^^t是这对（^π，^c）的财富方程（2.3）。回想一下，H^^tsatis fies是线性的随机方程DH^^t=H^^t-N-[rt+~gK（t，ζ^^k t）]dt+ZE（t，y）- 1） eN（dy，dt）o=H^~nt-N-hrt+~gK（t，ζ^^k t）+λtZE（t，y）- 1） Ft（dy）idt+ZE（t，y）- 1） N（dy，dt）使用伊藤的跳跃过程公式，比亚迪给出了1/H^^k的差值H^^t=H^^t-nhrt+~gK（t，ζ^~nt）+λtZE（t，y）-1） Ft（dy）idt+ZE^~n（t，y）-1.N（dy，dt）o.从（4.11）开始，Ytis的差值由dyx给出，^^t=-H^~ntcx，^~ntdt+ZEβx，^~n（t，y）eN（dy，dt）使用跳跃过程的乘积规则，我们已经Yx，^^^^t= Yx，^^t-DH^^t+H^^t-dYx，^~nt+H^~nt-ZEβx，^~n（t，y）^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）=Yx，^^t-H^^t-nhrt+~gK（t，ζ^~nt）+λtZE（t，y）- 1） Ft（dy）idt+ZE^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）o- cx，^~ntdt+H^~nt-nZEβx，^~n（t，y）eN（dy，dt）+ZEβx，^~n（t，y）^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）乘以最后一个括号并除以Yx，^^t-和useeN（dy，dt）=N（dy，dt）-λtFt（dy）dtYx，^^^^t=Yx，^^t-H^^t-（[rt+~gK（t，ζ^ˋt）+λtZE~n（t，y）- 1.-βx，^^（t，y）Yx，^^t-Ft（dy）dt+ZE^~n（t，y）- 1+βx，^ˋ（t，y）ˋ（t，y）Yx，^ˋt-N（dy，dt））- 对于随机积分中的被积函数，我们有- 1+βx，^ˋ（t，y）ˋ（t，y）Yx，^ˋt-= ^πtf（t，y）和（4.13）与（4.12）的结合产生gK（t，ζ^~nt）+λtZE^~n（t，y）- 1.-βx，^^（t，y）Yx，^^t-Ft（dy）=gK（t，ζ^k t）+λtZE（t，y）- ^~n（t，y）（^πtf（t，y）+1）Ft（dy）=gK（t，ζ^~nt）+λtZE-^πt^~n（t，y）f（t，y）Ft（dy）=g（t，^πt）+^πt（ut- （rt）和（b）部分如下。

这反过来意味着Vx，π，cT=Yx，T/H，T=Gx，a.s。特别是，我们得到j（x；π，c）=L（x；^^^）（4.14），而（a）部分来自引理4.4。由于θ（x）=θ（x）=L（x；^θ）。备注4.6。根据（4.12）和gK的定义，投资组合过程^π满足^πt=arg maxπ∈Kg（t，π）- πhrt- ut- λtZEf（t，y）^~n（t，y）Ft（dy）i或者，相当于rt- ut- λtZEf（t，y）^~n（t，y）Ft（dy）=arg minζ∈R（gK（t，ζ）+πtζ）。1对数效用我们首先通过考虑对数效用函数U（t，x）=U（x）=Lnx来说明主要结果。引理5.1。为了所有人∈对于ρ-a.e.（t，y），我们有βx，Θ（t，y）=0，a.s∈[0，T]×E.证明。在这种情况下，对于y，我们有I（t，y）=I（y）=1/y和X~n（y）=（t+1）/y∈ (0, ∞).然后，当x>0时，Yü（x）=（T+1）/x和cx，νT=x（T+1）H~nT，T∈ [0，T]，（5.1）Gx，~n=x（T+1）HаT。因此，对于所有T∈ [0，T]，期望的结果如下。定理5.2。让x固定。假设存在一个F-可预测投资组合过程（^πt）t∈[0，T]K中的值满足（i）1+πtf（T，y）>0 a.s.对于ρ-a.e.（T，y）∈ [0，T]×E（ii）过程^ζT:=rt- ut- λtZEf（t，y）1+πtf（t，y）Ft（dy），t∈ [0，T]，（5.2）属于D和satifiesg（T，^πT）- ^πt^ζt=~gK（t，^ζt），所有t的a.s∈ [0，T]。（5.3）那么对（^π，^c）是最优的，其中^c=（^ct）t∈[0，T]是由^ct:=x（1+T）V1，^π，0t，T定义的消费过程∈ [0，T]和V1，π，0=（V1，π，0t）T∈[0，T]是初始财富1和投资组合消费对（^π，0）的财富过程。此外，最优财富过程Vx，^π，^csatis fiesvx，^π，^ct=Vx，^π，0t- t^ct=Vx，^π，0t1.-tT+1, T∈ [0，T]。证据定义^^（t，y）：=1/[1+^πtf（t，y）]。然后呢∈Θ和ζ^ˋ=ζ。根据引理5.1，^^和^π满足定理4.5的假设。