标记点驱动的纯跳跃模型中的效用最大化

那么这对（π，cx，φ）是最优的。再次使用（5.3），我们可以看到（H^^t）的差异-1统计H^^t=H^^t-nhrt+~gK（t，^ζt）+λtZE（t，y）- 1） Ft（dy）idt+ZE^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）o=H^~nt-hrt+g（t，πt）idt+πtut- rtdt+ZEf（t，y）N（dy，dt）.因此，过程（H^^^t）-1是V1，π，0t的修正。鉴于（5.1），我们得出^c=cx，^~n，第一个断言如下。第二个断言来自（2.5）。5.2具有马尔可夫调制跳跃大小分布的体制转换模型这里我们考虑具有来自欧佩兹和拉塔诺夫[26]的马尔可夫调制跳跃大小分布的纯跳跃模型（另见欧佩兹和塞拉诺[27]）和对数效用。设{（τn，Yεn，n）}n≥1be示例3.1中的标记点过程，E=R.随机数乘以{τn}n≥1定义为两状态连续时间马尔可夫链ε（·）={ε（t）}t的跳跃时间≥0与强度矩阵xq=-λλλ-λ.每n≥ 1，εn:=ε（τn）-) 州ZF就在n之前吗-ε（·）和矩Yεn的跳跃是一个分布为Fεn（dy）的随机变量。对于每个i=0，1，让ri>0，并分别记录制度i中的连续复合利率和股票升值率。设bt表示具有马尔可夫调制利息力{rε（t）}t的默认自由货币市场账户∈[0，T]，即为bt=expZtrε（s）ds, T∈ [0，T]。风险资产或股票遵循指数模型St=Sexp（~Lt），S>0且~Lt=Ztμε（S）ds+Nt（E）Xn=1Yεn，n，t∈ [0，T]观察f（T，y）=ey满足线性方程（2.2）- 1.我们假设，对于每个制度i=0，1存在一个保证金支付函数gi（π），投资组合约束集为K。例如，在借贷利率不同以及禁止卖空的情况下，它由gi（π）给出-（Ri）- ri）（π- 1)+, π ∈ K=[0，∞)式中，Ridenotes为制度i中的借款利率，假设该利率大于借款利率ri。

在有现金抵押品和负回扣的卖空以及禁止从货币账户借款的情况下，gi（π）=（ri- rLi）π-, π ∈ K=(-∞, 1] 其中，rli是制度i中的股票贷款费用。最后，对于每一个i=0，1，我们定义gi（ζ）：=supπ∈K[gi（π）- πζ], ζ ∈ Rand Ni:={ζ∈ R:~gi（ζ）<+∞} . 利用定理5.2和[27]第4节中的结果，我们得到以下推论5.3。设U（t，x）=U（x）=lnx。假设每个i=0，1存在‘πi∈ Kisuch表示1+/πi（ey- 1） 所有y都大于0∈ 谢谢。进一步假设以下条件保持（i）’ηi:=ZRln（1+’πi（ey）- 1） ）Fi（dy）<+∞（ii）ζi:=ri- ui- λiZRey- 11+πi（ey）- 1） Fi（dy）∈ Ni（iii）gi（°πi）- πiζi=~gi（\'ζi）。设θi（x）表示初始财富x>0和初始状态ε（0）=i的最佳值。那么，我们有θ（x）=（T+1）lnx- （T+1）项次（T+1）-2λ（λ′d+λ′d）T+T+λ（`d）-\'d）2λhT+1.- E-2λT1 +2λ我和θ（x）=（T+1）lnx- （T+1）项次（T+1）-2λ（λ′d+λ′d）T+T-λ（`d）-\'d）2λhT+1.- E-2λT1 +2λ我式中，2λ：=λ+λ和‘di:=’πiui+（1- πi）ri+λiηi，i=0，1.5.3功率效用我们现在考虑形式为U（t，x）=U（x）=xγ的CRRA（分数）功率效用函数∈ （0,1）固定。我们假设模型rt，ut，f（t，y），f-局部特征（λt，Ft（dy））和保证金支付函数g（t，π）中的所有系数都是非随机的。引理5.4。适用于所有x>0和Ф∈Θ确定性，我们有βx，Θ（t，y）=Yx，Θt-ν（t，y）γ-1.- 1., ρ-a.e.（t，y）∈ [0，T]×E.（5.4）证明。注意，（H k t）γγ-1=ht其中，ht是确定性函数ht=expZtn-γγ - 1[rs+~gK（t，ζаs）]+λsZEhа（s，y）γγ-1.- 1 +γγ - 1(1 - ~n（s，y））如果（dy）ods是F-鞅的∧Ht=∧HtZEν（t，y）γ1-γ- 1.~N（dy，dt），~H=1。ThenX~n（y）=yγ-1EZT（H k t）γγ-1dt+（H k T）γγ-1.= κyγ-1带κ：=hT+RThtdt。

它紧随着yа（x）=xκγ-1，x>0和cx，~nt=xκ（H~nt）γ-1，t∈ [0，T]，（5.5）Gx，~n=xκ（H k T）γ-1.HenceYx，~nt=xκE（H~nT）γγ-1+ZTt（H k s）γγ-1ds英尺=HtxκhhT+ZTthsdsiandMx，Дt=xκ~HthhT+ZTTHSSI+Zt ~HSDS, T∈ [0，T]。Mx的差异，k tsatis fiesdmx，k t=xκhhTdHt+ZTthsdsdHti=Yx，~nt-泽ν（t，y）γ1-γ- 1.N（dy，dt）和（5.4）如下。为简单起见，假设不允许消耗，即所有t的ct=0∈ [0，T]。定理5.5。设π=（πt）t∈[0，T]是一个（确定性）投资组合过程，其值满足（i）1+πtf（T，y）>0表示所有（T，y）∈ [0，T]×E，（ii）映射^ζT:=rt- ut- λtZEf（t，y）[1+πtf（t，y）]1-γFt（dy），t∈ [0，T]属于D和satiesg（T，^πT）- ^πt^ζt=~gK（t，^ζt），所有t的a.s∈ [0，T]。那么投资组合过程^π是最优的。证据定义^^（t，y）：=1/[1+^πtf（t，y）]1-γ. 然后呢∈Θ和ζ^ˋ=ζ。由（5.4）可知，^^^和^π满足定理4.5的假设，预期结果如下。例5.6。考虑示例2.1g（t，πt）=-（Rt）- rt）（πt- 1） +在禁止卖空股票的投资组合约束下，模拟不同的利率。如例4.1所示，~gKisNt的有效域=[-（Rt）- rt）+∞).进一步假设所有（t，y）的1+πf（t，y）>0∈ [0，T]×E和π≥ 而mapht（π）：=ut+λtZEf（t，y）[1+πf（t，y）]1-γFt（dy），π≥ 0（5.6）对于每个t∈ [0，T]和γ∈ [0，1）。γ=0的情况对应于对数效用，在这种情况下，我们允许rt，rt，ut，f（t，y）和f-局部特征（λt，Ft（dy））是f-可预测的过程- ht（π）=rt- ut- λtZEf（t，y）[1+πf（t，y）]1-γFt（dy），属于反作用力（π）≤ Rt.使用（4.2），条件g（t，πt）- πtqt（πt）=gK（t，qt（πt））读取[rt- ht（πt）]-+ πt[rt- ht（πt）]+（Rt- rt）（πt- 1)+= 0.

（5.7）现在，观察ht（·）对于每一个t∈ [0，T]sinceht（π）：=λT（γ）- 1） ZEf（t，y）[1+πf（t，y）]2-γFt（dy）<0，π≥ 0.ht的范围是间隔（ut，ht（0）]。如果Rt>utalso成立，可以很容易地检查以下投资组合权重^πt=0，ht（0）<rth-1t（rt），ht（1）≤ rt<ht（0）1，rt<ht（1）≤ Rth-1t（Rt），Rt<ht（1）（5.8）满足ht（πt）≤ Rtand（5.7）。因此，它是最优的。观察到在ht（0）<rt的条件下，最优投资组合^πt=0不依赖于风险规避指数γ。还请注意，ht（0）和ht（1）可以根据分布Ft（dy）的矩母函数mt（·）明确给出。实际上，ht（0）=ut+λt[mt（1）- 1] andht（1）=ut+λt[mt（γ）- mt（γ）- 1)].图1包含给定t的ht（π）曲线图∈ [0，T]和不同的γ值。下面的图2显示了最优投资组合^πtas的行为，它是γ的函数。观察到，通过取γ的不同值，我们可以得到（5.8）中最后三种情况中的每一种。0.1 2 3 4 500.010.020.030.040.060.07πh（π）γ=0γ=0.1γ=0.4γ=0.7γ=0.8rr图1:5.6给出的不同γ值的h曲线图，其中u=-0.05，λ=1，r=0.045，r=0.05，f（y）=ey- 1和F（dy）=10e-10yy≥0dy。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.511.522.533.5γ^π图2：（5.8）给出的^π随γ变化的曲线图。例5.7。最后，考虑示例2.2g（t，πt）=（rt）的保证金支付函数- rLt）π-twith K=(-∞, 1] ，它用负回扣率和禁止从货币账户借款来模拟卖空。~gKis Nt的有效域=(-∞, rLt- rt]。因此，qt（πt）∈ 反作用力（πt）≥ 2rt- rLtand条件g（t，πt）- πtqt（πt）=gK（t，qt（πt））读取（rt- rLt）π-t+πt[ht（πt）- rt]=[ht（πt）- rt]+。

(5.9)-10-8.-6.-4.-2 0-0.04-0.03-0.02-0.0100.020.030.04πh（π）γ=0γ=0.2γ=0.42r- rL图3：由（5.6）给出的不同γ值的h曲线图，其中u=0.07，λ=1，r=0.03，rL=0.05，f（y）=ey- 1和F（dy）=10e-10yy≤0dy。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3γ^π图4：由（5.10）给出的作为γ函数的^π图。如果ut>2rt- rLtalso认为，可以很容易地检查以下投资组合权重^πt=H-1t（2rt）- rLt），ht（0）<2rt- rLt0，2rt- rLt≤ ht（0）<rth-1t（rt），ht（1）<rt≤ ht（0）1，rt≤ ht（1）（5.10）满足ht（πt）≥ 2rt- rLtand（5.9）。因此，它是最优的。注意，在2rt条件下- rLt≤ ht（0）<rt，最优投资组合^πt=0不依赖于风险厌恶指数γ。图3和图4包含不同γ值的ht（π）图，以及γ函数的最佳组合^πtas图。参考文献[1]托马斯·比约克、尤里·卡巴诺夫和沃尔夫冈·隆格尔迪耶，《存在标定点过程的债券市场结构》，数学。《金融7》（1997），第2期，211-239页。[2] Pierre Br’emaud，《点过程和队列》，统计中的Springer系列，SpringServerLag，纽约-柏林，1981年。[3] Giorgia Callegaro和Tiziano Vargiolu，《纯跳跃多维不完全市场中hara效用函数的最佳投资组合》，国际期刊《风险评估与管理》第11期（2009），第1/2期，180–200页。[4] Claudia Ceci，《部分观测高频数据模型的风险最小化对冲》，随机78（2006），第1期，第13-31页。[5] ，带标记点过程的最优投资问题，随机分析研讨会，随机场与应用VI，Progr。Probab。，第63卷，Birkh–auser/Springer Basel AG，巴塞尔，2011年，第385–412页。[6] Claudia Ceci和Anna Gerardi，《部分信息下的高频数据模式：过滤方法》，国际J.Thero。阿普尔。《金融》第9期（2006年），第。

4,555–576.[7] ，部分信息下几何标记点过程的定价：熵方法，Int.J.Thero。阿普尔。《金融》第12期（2009），第2期，179-207页。[8] Domenico Cuoco和Hong Liu，消费选择和对冲成本与保证金要求的鞅特征，数学。《金融》第10期（2000年），第3355-385号。[9] Jakˇsa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas，《约束投资组合优化中的凸对偶》，人工神经网络。阿普尔。Probab。2（1992），第4767-818号。[10] Jakˇsa Cvitani\'c、Robert Liptser和Boris Rozovskii，一种从随机时间观察到的价格中跟踪波动性的过滤方法，Ann。阿普尔。Probab。16（2006），第3期，1633-1652。[11] Gene D’Avolio，《借入股票的马尔杰》，金融经济学杂志66（2002），第2-3期，271–306页。[12] Robert J.Elliott和Tak Kuen Siu，hiddenMarkov调制纯跳跃过程的期权定价和过滤，应用。数学《金融》杂志第20期（2013年），第1期，第1-25期。[13] R–udiger Frey，《高频数据模型中不完全信息的风险最小化》，数学。《金融10》（2000）第2期，215-225，通知应用概率会议（Ulm，1999）。[14] R–udiger Frey和Wolfgang J.Runggaldier，《受限信息下的风险最小化对冲策略：仅在离散随机时间可观测的随机波动率模型的情况》，数学。方法操作。第50号决议（1999年），第2339-350号。[15] ，一种非线性滤波方法，用于波动率估计，着眼于高频数据，Int.J.Thero。阿普尔。《金融4》（2001年），第2期，199–210，金融信息建模（Evry，2000）。[16] Helyette Geman、Dilip B.Madan和Marc Yor，资产价格是布朗运动：仅在商业时间，金融市场定量分析，世界科学杂志。公共图书馆。，新泽西州River Edge，2001年，第103-146页。[17] Thomas Goll和Jan Kallsen，对数效用的最优投资组合，随机过程。阿普尔。89（2000）号。

1, 31–48.[18] 何华和Neil D.Pearson，《不完全市场和卖空约束下的消费和投资组合政策：有限维案例》，J.Economo。理论54（1991），第2期，259-304页。[19] Jean Jacod和Albert Shiryaev，随机过程的极限定理，Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（288册），Springer，2002年。[20] Robert Jarrow和Dilip Madan，《利用利率期限结构对冲资产回报系统性不连续性的期权定价》，数学版。《金融》第5期（1995），第4期，第311-336页。[21]Monique Jeanblanc，Marc Yor和Marc Chesney，《金融市场的数学方法》，斯普林格金融，英国伦敦斯普林格，2009年。[22]Jan Kallsen，指数L’evy过程的最优投资组合，数学。MethodsOper。第51（2000）号决议，第357-374号。[23]Ioannis Karatzas，John P.Lehoczky，Steven E.Shreve和Gan Lin Xu，不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法，暹罗J.控制优化。29（1991），第3702-730号。[24]I.Klein和L.C.G.Rogers，《具有市场摩擦的最优投资和消费问题中的二元性》，数学。《金融》第17期（2007），第2225-247号。[25]D.Kramkov和W.Schachermayer，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资，Ann。阿普尔。Probab。9（1999），第3904-950号。[26]奥斯卡·欧佩兹和尼基塔·拉塔诺夫，《随机跳跃电报过程驱动的期权定价》，J.阿普尔。Probab。49（2012），第3838-849号。[27]奥斯卡·欧佩兹和拉斐尔·塞拉诺，马尔可夫调制纯跳跃模型中最优投资组合消费问题的鞅方法，随机模型31（2015），第2期，261–291。[28]Daniel Michelbrink和Huiling Le，带跳跃差异的最优组合鞅方法，暹罗J.控制优化。50（2012），第1583-599号。[29]Jean-Luc Prigent，具有一般标记点过程的期权定价，数学。奥普。物件。

26（2001），第1号，第50-66页。[30]Tina Hviid Rydberg和Neil Shephard，《按贸易价格变动的贸易动态：分解和模型》，《金融计量经济学杂志》2003年第1期，第2-25期。[31]Mark Schroder和Costis Skiadas，《连续和不连续信息下具有递归效用的受限金融市场中的最优性和状态定价》，数学。《金融》第18期（2008），第2期，199-238页。