一般有界渐近成熟

期权价格的渐近行为（2.34）很容易从分布的收敛性（2.29）中得出，因为矩条件（2.31）确保了所需的均匀可积性。隐含波动率的渐近行为（2.35）同样可以通过我们现在描述的amodel独立方式从期权价格的渐近性中推导出来。2.4. 从期权价格到隐含波动率。当期权价格为c（κ，t）或(-κ、 t）消失时，它们通过PLICIT通用公式确定隐含波动率的渐近行为。下面的定理（我们在第4节中给出了一个独立的证明）总结了这些定理，该定理收集了最近文献中的结果。定理2.9（从期权价格到隐含波动率）。考虑（κ，t）和κ的任意值族≥ 0和t>0，使得c（κ，t）→ 分别为0。p(-κ、 （t）→ 0.oκ远离零的情况（即lim infκ>0）。σimp（κ，t）~R-log c（κ，t）κ+1-R-对数c（κ，t）κr2κt，分别为。σimp(-κ、 （t）~R-对数p(-κ、 t）κ-R-对数p(-κ、 t）κ- 1.r2κt（2.37）oκ→ 0，κ>0。σimp（κ，t）~D-1.c（κ，t）κκ√t、 响应。σimp(-κ、 （t）~D-1.p(-κ、 t）κκ√t、 （2.38）其中函数D:（0，∞) → (0, ∞) 定义在（2.32）-（2.33）中κ=0的情况。σimp（0，t）~√2πc（0，t）√t=√2πp（0，t）√t、 （2.39）我们强调，定理2.9允许立即从期权价格c（κ，t）和p的对应关系推导出定理2.3、2.4和2.7中出现的隐含波动率σimp（±κ，t）的所有渐近关系(-κ、 t）。定理2.9的主要部分是方程（2.37），Gao andLee[GL14]最近证明了这一点，推广了Lee[L04]、Roper and Rutkowski[RR09]、Benaimand Friz[BF09]和Gulisashvili[G10]之前的结果。

事实上，Gao和Lee证明了比（2.37）多得多的误差，为误差提供了超出一阶渐近的明确估计。方程（2.38）是本文的一个新贡献。事实上，[GL14]假设-logκ=o(-log c（κ，t））（参见其中的方程式（4.2），其中排除了带有κ的区域→ 0“足够快”。最近[MT12]中显示了这种机制的相关性，其中特殊情况κ∝考虑了pt对数（1/t）（见[MT12，定理3.1]）。8 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTARemark 2.10。关系式（2.38）提供了（2.39）和（2.37）中描述的在货币和货币外制度之间的插值。让我们更明确一点。使用（2.33），公式（2.38）可以改写如下：σimp（κ，t）~κp2t(-log（c（κ，t）/κ）ifc（κ，t）κ→ 0 ;κD-1（a）√tifc（κ，t）κ→ A.∈ (0, ∞) ;√2πc（κ，t）√κc，κt→ ∞, 或者如果κ=0，（2.40）和类似的σimp(-κ、 t），只是用p取代c（κ，t）(-κ、 t）。请注意（2.40）中的最后一行与货币制度（2.39）中的匹配。为了了解（2.40）如何与脱离货币制度（2.37）相匹配，需要注意的是-对数c（κ，t）κ→ ∞, 响应。-对数p(-κ、 t）κ→ ∞, 公式（2.37）可以改写为σimp（κ，t）~κp2t(-log c（κ，t）），分别为。σimp(-κ、 （t）~κp2t(-对数p(-κ、 这与κ→ 0足够慢，即- logκ=o- 对数c（κ，t）. (2.42)2.5. 讨论定理2.3、2.4和2.7是有用的，因为它们的假设涉及尾概率Ft（κ）和Ft的同态(-κ） ，可直接针对许多混凝土模型进行验证（一些示例见第3节）。典型偏差和非典型偏差制度之间的差异可以描述如下：o对于典型偏差，关键假设是假设2.6，该假设涉及Xt、cf的弱收敛性。

(2.29)-(2.30);o 对于非典型偏差，关键假设是假设2.2，它涉及Xt的大偏差属性，参见（2.7）-（2.8）。特别是，值得强调的是，假设2.2只要求尾部概率log Ft（κ）和log Ft的对数具有尖锐的渐近性(-κ） ，而不是概率本身，这将是一项相当困难的任务（对于许多模型来说是无法实现的）。因此，假设2.2通常可以通过Celeratedg"artner-Ellis定理[DZ98，定理2.3.6]进行检验，该定理在对数Ft（κ）和对数Ft上产生尖锐的渐近性(-κ） 在适当的条件下，研究了Xt的矩母函数。3.应用在本节中，我们展示了我们主要理论结果的相关性，推导了卡尔-吴有限矩对数稳定模型（§3.1）和默顿跳跃扩散模型（§3.2）的隐含波动率的渐近展开式。第3.3节简要讨论了赫斯顿模型的情况。我们的结果也可以应用于最近在[ACDP12]中介绍的随机波动率模型，该模型展示了多尺度矩。尽管对数价格的矩母函数没有封闭表达式可用，但尾部概率可以明确估计，正如我们在另一篇论文[CC15]中所示。由于定理2.3、2.4和2.7，这导致隐含波动率的精确渐近性。有界成熟度的一般微笑渐近93.1。Carr-Wu有限矩对数稳定模型。Carr和Wu[CW04]考虑了一个模型，其中原木走向具有特征函数埃克斯特= et[iuu-|u |α∑α（1+i符号（u）tan（πα）），（3.1），其中σ∈ (0, ∞), α ∈ （1,2）并且我们将xu：=σα/cos（πα）用于风险中性测量，参见[CW04，命题1]。

XtisE的矩母函数eλXt=e[λu-（λσ）αcos（πα）]tifλ≥ 0 ,+∞ 如果λ<0。（3.2）注意作为α→ 2具有波动性的one-recovers Black&Scholes模型√2σ，参见下文§4.2。应用定理2.3、2.4和2.7，我们给出了具有有界成熟度的波动率微笑渐近的完整刻画。这尤其包括极端打击（κ→ ±∞ 固定t>0）和小到期日（t→ 0和固定κ）。定理3.1（Carr-Wu模型的微笑渐近性）。以下渐近式成立非典型偏差。考虑任何带有κ的（κ，t）家族≥ 0，t>0，因此→ 0和κ t1/α，或t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞. （3.3）（这包括第2页的制度（a）、（b）、（c）和制度（d）的一部分。）然后有右尾渐近性σimp（κ，t）~ Bακt-2.-α2(α-1） 式中Bα：=（ασ）α/2α-1p2（α）- 1） | cos（πα）| 1/2α-1.（3.4）相应的左尾渐近由σimp给出(-κ、 （t）~slogκαtκ+1-slogκαtκr2κt（3.5），可以更明确地区分不同的区域：σimp(-κ、 （t）~κq2t logκαtif t→ 0和κlogt→ 0 ,√1+a- 1.√A.r2κt→ 0和κlogt→ A.∈ (0, ∞) ,r2κt如果没有→ 0和κlogt→ ∞,如果没有→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞..（3.6）o典型偏差。对于任何（κ，t）家族→ 0，κt1/α→ A.∈ [0, ∞) , （3.7）有σimp（±κ，t）~ C±（a）t2-α2α，带C±（a）：=公元-1.E[（σY）a） ±]a如果a>0，√2πσE[Y±]如果a=0。（3.8）10 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTARemark 3.2（Carr-Wu模型的表面渐近性）。对于（κ，t）满足（3.3）的任何家族，关系（3.4）和（3.5）都成立，这一事实产生了有趣的结果。我们声称，无论如何∈ (0, ∞) ε>0时，存在M=M（ε，T）∈ (0, ∞) 使得以下不等式适用于区域AT，M:={0<t中的所有（κ，t）≤ T、 κ>Mt1/α}：1.- εBακt-2.-α2(α-1)≤ σimp（κ，t）≤1 + εBακt-2.-α2(α-1).

（3.9）类似的不等式可以从（3.5）-（3.6）和（3.8）中推导出来。关系式（3.9）给出了平面（κ，t）开放区域中挥发性表面σimp（κ，t）的统一近似。（3.9）的证明很简单：通过矛盾假设存在T，ε∈ (0, ∞) 每一天∈ (0, ∞) 关系式（3.9）在某些情况下失败（κM，tM）∈ 在，M.提取A序列时，该家族（κM，tM）满足（3.3），但不满足（3.4），与定理3.1相矛盾。定理3.1的证明。设Y表示特征函数e[eiuY]=e的随机变量-|u |α（1+i符号（u）tan（πα）），（3.10）即Y具有指数α和偏度参数β=-1，并且E[Y]=0。如果我们设置为：=Xt- utσt1/α，（3.11）由（3.1）得出，Y的分布与Y相同，因为ee[eiuYt]=E[eiuY]=E-|u |α（1+i符号（u）tan（πα））。（3.12）之后是（3.11）xtt1/αd--→T↓因此，假设2.6满足γt:=t1/α。注意P（Y>a）>0和P（Y<-a） 所有a组均>0∈ R、 因为Y的密度在任何地方都是严格正的。Y的右尾有一个超指数衰减：asκ→ ∞对数P（Y>k）~ -eBακα/（α）-1） 式中ebα：=α- 1α|cos（πα）|α1/(α-1） ，（3.14）参考[CW04，财产1和其中的参考文献]。另一方面，左尾是多项式的：存在c=cα∈ (0, ∞) 这样的≤ -κ) ~cκα，因此log P（Y≤ -κ) ~ -αlogκ。（3.15）回顾Ft（κ）：=P（Xt>κ）和Ft(-κ） ：=P（Xt）≤ κ） ，通过（3.11）我们可以写eft（κ）=PY>κ- utσt1/α, 英尺(-κ） =PY≤-κ - utσt1/α, （3.16）因此，我们可以将估算值（3.14）和（3.15）转移到Xt。此后，我们分别考虑非典型偏差（3.3）和典型偏差（3.7）的情况。注意，很容易检查（3.5）是否等同于（3.6）。有界偏差的一般微笑渐近性。让我们定义（κ，t）满足（3.3）的任意值族。

然后κ/t→ ∞ （因为α>1），因此κ- utσt1/α~κσt1/α→ ∞,-κ - utσt1/α~-κσt1/α→ -∞.通过（3.14），（3.15）和（3.16）我们得到log Ft（κ）~ -eBακσt1/αα/(α-1） ，对数英尺(-κ) ~ -logκαt.（3.17）现在让我们检查定理2.3的假设（3.17）中的第一个关系表明，假设2.2符合右尾F（κ），I+（%）=%α/（α）-1). 请注意，I+（）≥ % 总共%≥ 1，由于α>1，hencealso条件（2.13）满足。o条件（2.9）满足，因为（2.10）适用于所有T>0和η>0，由（3.2）确定。o仍需检查状态（2.11）。正如我们在下面证明的，对于所有η∈ (0, α - 1） t>0有常数A，B，C∈ (0, ∞), 取决于η，T和参数α，σ，因此对于所有0<T≤ T和κ≥ 0以下不等式成立：E提取- 1κ1+η≤ A.t1/ακB+C. （3.18）特别是，由于κ/t1/α→ ∞ 根据假设（3.3），条件（2.11）满足。应用定理2.3，因为-对数Ft（κ）/κ→ ∞ 根据（3.17）中的第一个关系式，σimp（κ，t）的渐近行为由（2.18）给出，其中（3.17）与（3.4）一致。接下来我们要应用定理2.4。根据（3.17）中的第二个关系式，假设2.2被左尾Ft满足(-κ） 和我-(%) ≡ 1.如果κ的界远离零，则σimp（κ，t）的共融行为由（2.22）给出，由（3.17）精确得出（3.5）。如果κ→ 0我们不能直接应用定理2.4，因为力矩条件（2.11）只满足某些η>0，条件（2.25）不满足，因为-(%) ≡ 1.然而，我们可以通过直接估计证明（2.26）仍然成立。按（2.1）p(-κ、 t）=E[（E-κ- eXt）1{Xt<-κ}] ≥ E[（E-κ- eXt）1{Xt<-2κ}] ≥ （e）-κ- E-2κ）Ft(-2κ）和自（e-κ-E-2κ=e-2κ（eκ-1) ≥ E-2κ，我们可以用（3.17）来写（回想一下κ→ 0）日志p(-κ、 t）/κ≥ -2κ - log（2κ）αt~ -logκαt.（3.19）接下来我们给出p上的匹配上键(-κ、 t）。

自从ut≤ κ最终（回想一下κ/t1/α→ ∞, 因此κ/t→ ∞), 通过（3.16）和（3.15），我们得到≥ 1Ft(-κy）≤ PY≤ -2κyσt1/α≤ ctκαyα，对于某些c=cα，σ，u∈ (0, ∞). 然后根据富比尼的理论(-κ、 t）=E[（E-κ- eXt）1{Xt<-κ} ]=EZ∞κe-x{x<-Xt}dx=Z∞κe-xFt(-x） dx=κZ∞E-κyFt(-κy）dy≤ cκtκαZ∞yαdy=：cκtκα，12 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAhencelogp(-κ、 t）/κ≤ 日志c- 对数κt~ -logκαt.这个关系，加上（3.19），yieldslogp(-κ、 t）/κ~ -tα/κt1→ ∞, 这表明当κ→ 0和p(-κ、 t）/κ→ 0.因此，我们可以应用定理2.9中的方程式（2.38），该方程式将备注2.10简化为（2.40）中的第一行（带p(-κ、 t）而不是c（κ，t）），产生σimp(-κ、 （t）~κp2t(-对数（p(-κ、 （t）/κ）~κq2t logκαt，因此当κ→ 0（参见（3.6））。典型的偏差。让我们定义（κ，t）满足（3.7）的任意值族。κ=γt=t1/α的关系式（3.18）表明条件（2.31）是满足的，假设2.6由（3.13）决定。然后我们可以应用定理2.7，关系式（2.35）精确地给出（3.8）。证明（3.18）。自|前-1x|≤ 1如果x<0且| ex-1x|≤ 进出口银行≥ 0，我们有|前-1x|≤ 1+Ex代表所有x∈ R.如果p，q>1，那么p+q=1，杨氏不等式ab≤pap+QBQ产量提取- 1κ=Xtκ提取- 1Xt≤P|Xt |κp+q1+分机q、 注意到（a+b）r≤ 2r-1（ar+br）代表r≥ 1，通过H"older不等式，用c=cp，η表示一个合适的常数，仅依赖于p，η，我们可以写提取- 1κ1+η≤ C|Xt | p（1+η）κp（1+η）+1+eq（1+η）Xt.给定0<η<α- 1，我们假设p=pη，α>1，使得B:=p（1+η）<α。（请注意，BDE仅依赖于η，α。）此外，它由（3.11）得出e[|Xt | B]=（σt1/α）BE[|Y | B]1+O（tB（1-1/α)),请注意，E[|Y|B]<∞, 因为Y具有严格小于α的所有阶的有限矩，参见[CW04，属性1]。

因为t≤ T有E[eq（1+η）Xt]≤ E[eq（1+η）XT]<∞, 通过（3.2）证明了关系式（3.18）。3.2. 默顿的跳跃扩散模型。考虑一个模型[M76]，其中log returnXt具有完全可除分布，其矩母函数由[exp（zXt）]=exp给出Tzu+zσ+λezα+zδ- 1., Z∈ C，（3.20），其中u，α∈ R和σ，λ，δ∈ (0, ∞) 是固定的参数。σimp（κ，t）的渐近行为已经被许多作者研究过。固定t>0和κ的情况→ ∞ 由Benaim和Friz[BF09]使用鞍点方法得出（详细计算见[FGY14]，[GMZ14]）。固定κ>0和t的情况→ 0之后是[FF12]，而t的混合状态→ 0, κ → 带κ的0∝[MT12]中考虑了pt对数（1/t）。应用我们的结果，我们可以完成这幅图，提供在所有这些区域之间插值的一般公式，参见定理3.4。有界成熟度的一般微笑渐近13图1。默顿模型的隐含波动率σimp（κ，t）（参数λ=0.01，δ=0.3，σ=0.2，α=0.1）在κ=κ（t）状态下∈ (0, 0.3).渐近波动率由我们的公式（3.26）给出，而模拟波动率由标准计算软件包获得。让我们定义两个函数κ（t）→ 0和κ（t）→ ∞ 作为t→ 0如下所示：κ（t）：=qt-logt，κ（t）：=qlogt，（3.21），它将不同的行为分离为t→ 0.我们强调，κ（t）正是[MT12]中考虑的标度。让我们也定义f:[0，∞) → (0, ∞) byf（a）：=minn∈Nn+a2nδ. （3.22）注意f是连续的和分段二次的：更精确地说，通过显式计算，f（a）=n+a2nδ对于所有a∈ [p2（n- 1） n，n+p21∈ N.如下式f（0）=1，f（a）~A.→∞√δa。（3.23）函数f的作用由附录A.3中证明的下列引理解释。引理3.3。对于每一个固定的∈ (0, ∞), 作为t→ 0一个搭扣P（Xt>aκ（t））~ -f（a）logt。

（3.24）此外，如果→ 0和κ κ（t），或者如果t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞, 一个搭扣P（Xt>κ）~ -κδr2 logκt.（3.25）我们现在准备陈述我们对默顿模型的主要结果（见图1）。定理3.4（默顿模型的微笑渐近性）。考虑（κ，t）和κ的一系列值≥ 0和t>0。（1） 如果没有→ 0和κ=O（κ（t）），然后σimp（κ，t）~ 最大值σ，κq2tfκ（t）对数κt, （3.26）14 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAwhich可以更明确地重写如下：σimp（κ，t）~σ如果0≤ κ ≤ σκ（t）κp2t logκtifσκ（t）≤ κ  κ（t）κp2tf（a）logκtifκ~ aκ（t）与a∈ (0, ∞). （3.27）（2）如果t→ 0和κ κ（t），或者如果t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞, 然后σimp（κ，t）~sδκ2tp2 logκt.（3.28）证明。我们必须通过提取子序列来证明关系（3.27）（相当于（3.26））和关系（3.28）。我们区分不同的子类别。首先假设→ 带κ=O的0(√t） 。通过提取子序列，假设κ/√T→ A.∈ [0, ∞). 注意，Xt/√td-→ N（0，σ），因为E[eUxT√[t]→ E-u2σ代表everyu∈ R、 正如（3.20）所述。然后我们将定理2.7应用于γt=√t、 因为η=1的动量条件（2.31）后面跟着（3.20）（另见（2.12））。关系式（2.35）得出σ（κ，t）~ C+（a）√T√t=σ，因为C+（a）≡ σ（见附录A.2中的（A.4））。这与第1行（3.27）相匹配。接下来我们假设→ 0与√T κ  1.应用[MT12，命题2.3]，我们可以写出（κ，t）~ E[（EσWt）-σt- eκ）+]+ct，0<C:=R∞（例如- 1） ν（dx）<∞, 式中，ν表示X的Lévy度量。

Firsterm是带κ的看涨期权的通常Black&Scholes价格√t：在v=σ的情况下应用（4.12）√t和d=-κv+v~ -κσ√t、 与（4.1）和（4.3）一起，我们得到c（κ，t）κ~vκφ（d）（d）+Ctκ=e-D√2π（κσt）3/2+Ctκ~E-D√2πd+Ctκ。书写-Z√2πz=e-Z-日志(√2πz=e-z（1+o（1））作为z→ ∞, 我们得到c（κ，t）κ~ E-κ2σt（1+o（1））+Ctκ=a+b（比如说）。不等式max{a，b}≤ a+b≤ 2最大{a，b}产量对数（a+b）~ max{loga，logb}（由于a，b→ 0）因此-logc（κ，t）κ~ -最大值-κ2σt（1+o（1）），对数Ctκ~ 闵κ2σt，logκt.很容易检查渐近等式κ2σt~ 当κ~ σκ（t）。因此：o在κ的情况下≤ σκ（t）我们有- logc（κ，t）κ~κ2σt；（3.29）有界成熟度的一般微笑渐近15o在κ情况下≥ σκ（t）我们有- logc（κ，t）κ~ logκt.（3.30）（注意~ σκ（t）这两个关系（3.29）和（3.30）都成立。）我们可以应用关系式（2.38）推导出σimp（κ，t）的渐近行为（注意c（κ，t）/κ→ 0，自从κ√t） 通过备注2.10，其减少到（2.40）的第一行，即σimp（κ，t）~κp2t(-log（c（κ，t）/κ）。（3.31）将（3.29）-（3.30）插入该关系中，得到（3.27）的第一行和第二行。接下来我们假设→ 0和η≤ κ  κ（t），对于某些固定η>0。我们声称- logc（κ，t）κ~ 插入（3.31）的logt（3.32）证明了（3.27）的第二行（自logt以来）~ logκtin（这个机制）。当κ>0固定时，Figueroa–Lópezand Forde在[FF12]中证明了（3.32）关系的更强版本。对于一般情况，我们∈ (0, ∞) 我们应用关系式（3.24），得到了下边界c（κ，t）=E[（eXt- eκ）+]≥ （eaκ（t）- eκ）P（Xt>aκ（t））~ eaκ（t）-f（a）logt（1+o（1））~ E-f（a）logt（1+o（1）），（3.33），因为κ（t）=qlogt 洛格特。对于上限，我们回忆一下κ≥ η和[FH09]对数P（Xt>η）~ -洛塔斯t酒店→ 0 .