一般有界渐近成熟

我们强调，证明期权价格c（κ，t）和p的渐近关系就足够了(-κ、 t），因为隐含波动率σimp（±κ，t）的对应关系遵循定理2.9.5.1。定理2.3和2.4的证明。我们同时证明了定理2.3和定理2.4。我们称尾部概率为Ft（κ），Ft(-κ） 定义见（1.1）。在整个证明过程中，对于某些固定的t，我们用κ>0和0<t<t来确定（κ，t）的一系列值∈ (0, ∞), 提取子序列，我们可以区分κ的三种状态：o如果κ→ ∞ 我们的目标是证明（2.14），以及。(2.21);o 如果κ→ κ ∈ (0, ∞) 我们的目标是证明（2.17），以及。（2.23），因为在这种情况下，一个人显然-对数Ft（κ）/κ→ ∞, 响应。-对数英尺(-κ)/κ → ∞, 通过（2.5）；o如果κ→ 我们的目标是证明（2.19），分别。(2.26).当然，每个制度都有不同的假设，如定理2.3和2.4所示。第0步。准备根据条件（2.7）和（2.8）得出：ε > 0 %ε∈ (1, ∞) : I±（%ε）<1+ε，（5.1）因此，对于每一个ε>0，最终都有一个很长的Ft（%εκ）≥ （1+ε）对数英尺（κ），分别为。对数英尺(-%εκ) ≥ （1+ε）对数英尺(-κ） ，（5.2）不平等性为“≥” 而不是“≤”, 因为两边都是负数。我们强调Ft（κ）→ 分别为0。英尺(-κ) → 0，by（2.5），hencelog Ft（κ）→ -∞, 响应。对数英尺(-κ) → -∞. （5.3）此外，我们声称，在任何一种制度中→ ∞, κ → κ ∈ (0, ∞) 和κ→ 0一个haslog Ft（κ）+κ→ -∞. （5.4）如果κ→ 0或κ→ κ ∈ (0, ∞).

如果κ→ ∞ 我们的论点如下：byMarkov不等式，η>0Ft（κ）≤ E[E（1+η）Xt]E-（1+η）κ，（5.5）hencelog Ft（κ）+κ≤ -ηκ+loge[E（1+η）Xt]。κ区域中有界成熟度的一般微笑渐近性→ ∞ 我们假设力矩条件（2.9）适用于某些η>0的情况，术语loge[E（1+η）Xt]从上方有界，因此最终为lg Ft（κ）+κ≤ -ηκ（5.6），证明了关系式（5.4）。其余的证明分为四个步骤，每一步我们都证明c（κ，t）和p的上下界(-κ、 t）分别。第一步。c（κ，t）的下界。我们将证明c（κ，t）的尖锐下界，这将导致关系式（2.14），（2.17）和（2.19）。通过（2.1）和（5.1），对于每一个ε>0，我们可以写出（κ，t）≥ E[（分机）- eκ）1{Xt>%εκ}]≥ （e%）εκ- eκ）Ft（%εκ），（5.7）并应用（5.2）得到log c（κ，t）≥ 日志e%εκ- eκ+ （1+ε）对数英尺（κ）。（5.8）如果κ→ ∞, 自对数（e%εκ）- eκ）=κ+对数（e（%ε）-1)κ- 1) ≥ 最终，我们得到了log c（κ，t）≥ κ+（1+ε）log Ft（κ）=（1+ε）对数Ft（κ）+κ- εκ≥ (1 + ε +ηε)对数Ft（κ）+κ,（5.9）在上一次的不平等中，我们应用了（5.6）。因此，lim suplog c（κ，t）log Ft（κ）+κ≤ 1+ε+ηε，（5.10），其中lim sup沿着（κ，t）的给定值族（注意，log c（κ，t）和log Ft（κ）+κ是负数，参见（5.4），因此与（5.9）有关的逆不等式。

由于ε>0是任意的，η>0是固定的，我们已经证明lim suplog c（κ，t）log Ft（κ）+κ≤ 也就是说，我们得到了（2.14）的一个精确界。如果κ→ κ ∈ (0, ∞), 自对数（e%εκ）-eκ）→ 对数（e%ε′κ）-e′κ）是有界的，而log Ft（κ）→ -∞,关系式（5.8）log c（κ，t）log Ft（κ）≤ 1 + ε .由于ε>0是任意的，我们已经证明当κ→ κ ∈ (0, ∞)lim suplog c（κ，t）log Ft（κ）≤ 1，（5.12）获得（2.17）的锐利界限。最后，如果κ→ 0，因为κ≥ 凸度对数为0（e%εκ- eκ）=κ+对数（e（%ε）-1)κ- 1) ≥κ+对数（（%ε）- 1） κ）=κ+对数（%ε）- 1） +logκ，关系式（5.8）yieldslogc（κ，t）κ=log c（κ，t）- 对数κ≥ 对数（%ε）- 1） +（1+ε）对数英尺（κ）。同样，由于log（%ε）- 1） 是常数，对数Ft（κ）→ -∞, ε>0是任意的，我们得到c（κ，t）/κ对数英尺（κ）≤ 1、（5.13）26弗朗西斯科·卡拉文纳和雅格布·科尔贝塔为（2.19）提供了一个明确的界限。第二步。p的下界(-κ、 t）。我们要证明p的锐利下界(-κ、 t），这将导致关系（2.21），（2.23）和（2.26）。回想（2.1）和（5.1），对于每一个ε>0，我们可以写(-κ、 （t）≥ E[（E-κ- eXt）1{Xt≤-%εκ}] ≥ （e）-κ- E-%εκ）Ft(-%εκ），（5.14）并应用（5.2）得到对数p(-κ、 （t）≥ 日志E-κ- E-%εκ+ （1+ε）对数英尺(-κ) .

（5.15）如果κ→ ∞, 自日志（e）-κ- E-%εκ) = -κ+对数（1- E-(%ε-1)κ) ~ -κ、 最后一个haslog（e）-κ- E-%εκ) ≥ -（1+ε）κ，得到对数p(-κ、 （t）≥ (1 + ε)对数英尺(-κ) - κ.由于ε>0是任意的，因此它遵循以下公式：(-κ、 t）对数英尺(-κ) - κ≤ 1，（5.16）这是（2.21）的锐利界限。如果κ→ κ ∈ (0, ∞), 自日志（e）-κ-E-%εκ) → 日志（e）-κ-E-%ε′κ）是有界的，而log Ft(-κ) →-∞, ε>0是任意的，关系式（5.15）给出了p(-κ、 t）对数英尺(-κ)≤ 1，（5.17）这是（2.23）的锐利界限。最后，如果κ→ 0，自从e-κ-E-%εκ=e-%εκ（e（%ε）-1)κ-1) ≥ E-%εκ(%ε-1） 由于κ≥ 0，一个有最终的结果E-κ- E-%εκ≥ logκ+logE-%εκ(%ε- 1)≥ logκ+εlog Ft(-κ） ，因为日志E-%εκ(%ε- 1)→ 对数（%ε）- 1) > -∞ 而日志(-κ) → -∞. 关系式（5.15）最终产生logp(-κ、 t）κ=对数p(-κ、 （t）- 对数κ≥ （1+2ε）对数英尺(-κ) .由于ε>0是任意的，我们已经证明了lim suplogp(-κ、 t）/κ对数英尺(-κ)≤ 1，（5.18）获得（2.26）的锐利界限。第三步。c（κ，t）的上界。我们将证明c（κ，t）的上界，这将完成关系式（2.14），（2.17）和（2.19）的证明。我们首先考虑每η>0，力矩假设（2.9）和（2.11）成立的情况。让我们看看κ→ ∞ 和κ→ κ ∈ (0, ∞) （即κ的界远离零），假设条件（2.9）适用于每η>0。根据霍尔德不等式，c（κ，t）=E[（eXt- eκ）1{Xt>κ}]≤ E[eXt{Xt>κ}]≤ E[E（1+η）Xt]1+ηFt（κ）η1+η。（5.19）让我们确定ε>0，并选择足够大的η=ηε，以便η1+η>1-ε. 根据假设（2.9），对于某些C∈ (0, ∞) 单相[e（1+η）Xt]1+η≤ C，有界成熟度的一般微笑渐近性，因此最终，回忆起对数Ft（κ）→ -∞, 根据（5.3），对数c（κ，t）≤ 日志C+（1）- ε） 对数英尺（κ）≤ (1 - 2ε）对数英尺（κ）。（5.20）由于ε>0是任意的，这表明lim inflog c（κ，t）log Ft（κ）≥ 1.

（5.21）与（5.12）一起完成（2.17）的证明，如果κ→ κ ∈ (0, ∞). 如果κ→ ∞每η>0，条件（2.9）保持，然后记录Ft（κ）/κ→ -∞ 由（5.5），哪个yieldslog Ft（κ）~ log Ft（κ）+κ，因此（5.21）和（5.11）一起完成了（2.14）的证明。然后我们考虑κ政权→ 0，假设条件（2.11）适用于每η>0。我们将（5.19）修改如下：自（eXt）- eκ）≤ （分机）- 1) ≤ |提取- 1 |，c（κ，t）≤ E[| eXt- 1 | 1{Xt>κ}]≤ κE提取- 1κ1+η1+ηFt（κ）η1+η。（5.22）让我们确定ε>0，并选择足够大的η=ηε，以便η1+η>1-ε. 根据假设（2.11），对于某些C∈ (0, ∞) 一期提取- 1κ1+η1+η≤ C，（5.23）因此关系式（5.22）最终会产生Gc（κ，t）κ≤ 日志C+（1）- ε） 对数英尺（κ）≤ (1 - 2ε）对数英尺（κ）。（5.24）由于ε>0是任意的，我们证明了lim inflogc（κ，t）/κ对数英尺（κ）≥ 1、（5.25）与（5.13）一起完成（2.19）的证明。当力矩假设（2.9）和（2.11）适用于某些η>0，但附加条件（2.13）（如果κ→ ∞ 或κ→ κ ∈ (0, ∞)) 或（2.16）（如果κ→ 0）保持。我们从对κ的任何机制有效的考虑开始。康斯坦塔的定义：=lim sup-κlog-Ft（κ）+κ+ 1，（5.26）当lim sup沿着（κ，t）的给定值族取值时，我们声称A<∞.然后是（5.4）ifκ→ 0或如果κ→ κ ∈ (0, ∞) （在这种情况下，A=1），而如果κ→ +∞ 必须申请（5.6）才能获得≤ 2/η + 1. 然后是（5.26），最终κ≤ -A（对数英尺（κ）+κ）。（5.27）接下来，我们证明，对于所有固定ε>0和1<M<∞, 终于有一天supy∈[1，M]eκyFt（κy）≤ (1 - ε)对数Ft（κ）+κ, （5.28）28 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAwhich，这意味着在y=1的情况下，近似达到sup。

如果κ→ 0或如果κ→ κ ∈ (0, ∞): 事实上，自从κ→ Ft（κ）是非递增的，我们可以写下supy∈[1，M]eκyFt（κy）≤ 日志eκMFt（κ）= κM+对数英尺（κ）=对数Ft（κ）+κ+ （M）- 1） κ，自对数Ft（κ）+κ→ -∞ 通过（5.4），而- 1） κ是有界的，（5.28）如下。证明（5.28）在κ政权中→ ∞, 我们将利用这个假设（2.13）。首先，我们确定δ>0，稍后再定义，并设置n:=dM-1δe和an:=1+nδ，n=0，n，所以[1，M]S’nn=1[an-1，一个]。尽管如此∈ [an-1，一个人有，通过（2.7），对数英尺（κy）≤ 对数Ft（κan）-1) ~ I+（an-1） 对数英尺（κ）≤ 一-1log Ft（κ），使用了I+（）≥ %, 由（2.13），因此最终为1g Ft（κy）≤ (1 - δ） 安-1log-Ft（κ），Y∈ [an-1，一个]。忆及-1+δ，我们可以写一个≤ (1 -δ） 安-1+δ（1+M），因为-1.≤ Mby结构，自eκy≤ eκanfy∈ [an-1.an]，它跟在那个日志后面supy∈[1，M]eκyFt（κy）≤ maxn=1，。。。，\'nκ+（1）- δ） 安-1log-Ft（κ）= maxn=1，。。。，\'n(1 - δ） 安-1.对数Ft（κ）+κ+ δ（1+M）κ.很明显，当n=1时达到最大值，其中-1=a=1。回忆（5.27），我们得到日志supy∈[1，M]eκyFt（κy）≤ (1 - δ（1+A+AM））对数Ft（κ）+κ.选择δ：=ε/（1+A+AM），证明权利要求（5.28）。我们已经准备好给出c（κ，t）的精确上界，即重新定义（5.19）。固定收入∈ (0, ∞),我们写ec（κ，t）=E[（eXt- eκ）1{κ<Xt≤κM}]+E[（外文）- eκ）1{Xt>κM}]，（5.29），我们估计第一项如下：根据Fubini-Tonelli定理和（5.28），e[（eXt- eκ）1{κ<Xt≤κM}]=EZ∞κex{x<Xt}dx{κ<Xt≤κM}=ZκMκexP（x<Xt≤ κM）dx≤ZκMκexFt（x）dx=κZMeκyFt（κy）dy≤ κ（M）- 1） e（1）-ε） Ft（κ）+log。（5.30）为了估计（5.29）中的第二项，我们从κ开始→ ∞ 和κ→ κ ∈ (0, ∞),我们假设（2.9）适用于某些η>0，以及（2.16），因此我们可以fix M>1，使I+（M）>1+η。

边界（外部）- eκ）≤ eXt，霍尔德不等式yieldsE[（eXt- eκ）1{Xt>κM}]≤ E[E（1+η）Xt]1+ηFt（κM）η1+η=C Ft（κM）η1+η，其中C∈ (0, ∞) 是一个绝对常数，乘以（2.9）。应用关系式（2.7）和i+（M）>1+η，我们得到η1+ηlog Ft（κM）~η1+ηI+（M）对数英尺（κ）≤ log-Ft（κ），（5.31）有界成熟度的一般微笑渐近性- eκ）1{Xt>κM}]≤ (1 - ε） 对数英尺（κ）≤ (1 - ε)对数Ft（κ）+κ. （5.32）回忆（5.6）和（5.4），最后是κ（M- 1) ≤ E-ε（logft（κ）+κ），因此由（5.30）loge[（eXt- eκ）1{κ<Xt≤κM}]≤ (1 - 2ε)对数Ft（κ）+κ. （5.33）回顾（5.29），sincelog（a+b）≤ log2+max{loga，logb}，a、 b>0，（5.34）乘以（5.32），（5.33）再乘以（5.4），最终得到c（κ，t）≤ 日志2+（1）- 2ε)对数Ft（κ）+κ≤ (1 - 3ε)对数Ft（κ）+κ.由于ε>0是任意的，这表明lim inflog c（κ，t）log Ft（κ）+κ≥ 1，（5.35）与（5.11）一起完成（2.14）的证明，如果κ→ ∞. 自对数Ft（κ）+κ~对数Ft（κ）如果κ→ κ ∈ (0, ∞), 通过（5.3），我们可以重写（5.35），在本例中是aslim inflog c（κ，t）log Ft（κ）≥ 1、（5.36）与（5.12）一起完成（2.17）的证明。当κ→ 0，其中我们假设关系式（2.11）适用于某些η∈ (0, ∞), 加上（2.16）。如前所述，我们假设M>1，使得I+（M）>1+η。从那时起提取- eκκ1+η{Xt>κ}≤ E提取- 1κ1+η≤ 对于某些绝对常数C，（5.37）∈ (0, ∞), 根据（2.11），（5.29）中的第二项以[eXt]为界- eκ）1{Xt>κM}]≤ κE提取- eκκ1+η1+ηFt（κM）η1+η≤ κC Ft（κM）η1+η。（5.38）与（5.31）-（5.32）完全相似，我们得到了最终的词组[（eXt- eκ）1{Xt>κM}]κ≤ (1 - ε） 对数英尺（κ）。（5.39）到（5.4），最终（M- 1) ≤ E-ε（logft（κ）+κ），因此由（5.30）logE[（eXt- eκ）1{κ<Xt≤κM}]κ≤ (1 - 2ε）（对数英尺（κ）+κ）。

（5.40）回顾（5.29）和（5.34），我们最终可以写出GC（κ，t）κ≤ 日志2+（1）- 2ε)对数Ft（κ）+κ≤ (1 - 3ε）log Ft（κ），因为κ→ 0和对数英尺（κ）→ -∞. 由于ε>0是任意的，我们证明了lim inflogc（κ，t）/κ对数英尺（κ）≥ 1、（5.41）和（5.13）一起完成了（2.19）的证明。30弗朗西斯科·卡拉文纳和雅格布·科尔贝塔斯特普4。p的上界(-κ、 t）。我们要证明p的上界(-κ、 t），这将完成关系证明（2.21）、（2.23）和（2.26）。通过（2.1）我们可以写(-κ、 t）=E[（E-κ- eXt）1{Xt≤-κ}] ≤ E-κFt(-κ） ，thereforelog p(-κ、 t）对数英尺(-κ) - κ≥ 1，（5.42）与（5.16）一起完成（2.26）的证明，如果κ→ ∞. 另一方面，如果κ→ κ ∈ (0, ∞), 因为关系式（5.42）暗示（回想一下κ≥ 0）对数p(-κ、 t）对数英尺(-κ)≥ 1、（5.43）鉴于（5.17），已完成（2.23）的证明。还有待考虑κ的情况→ 0.如果关系式（2.11）适用于每个η∈ (0, ∞), weargue完全类似于（5.22）-（5.23）-（5.24），gettinglim inflogp(-κ、 t）/κ对数英尺(-κ)≥ 1、（5.44）与（5.18）一起完成（2.26）的证明。另一方面，如果关系式（2.11）仅适用于某些η∈ (0, ∞), 我们还假设条件（2.25）成立，因此我们可以将M乘以1，这样I-（M） >1+η。让我们写下来(-κ、 t）=E[（E-κ- eXt）1{-κM<Xt≤-κ} ]+E[（E）-κ- eXt）1{Xt≤-κM}]。

（5.45）与（5.30）类似，对于每一个固定的ε>0，右侧的第一项可以估计如下（注意，y 7→ 英尺(-κy在减少）：E[（E-κ- eXt）1{-κM<Xt≤-κ}] ≤Z-κ-κMexFt（x）dx=κZMe-κyFt(-κy）dy≤ κ（M）- 1） 英尺(-κ) ≤ κe（1）-ε） 对数英尺(-κ).（5.45）中的第二项完全类似于（5.37）-（5.38）-（5.39），yieldinglogE[（e-κ- eXt）1{Xt≤-κM}]κ≤ (1 - ε） 对数英尺(-κ) .回顾（5.34），我们从（5.45）logp中获得(-κ、 t）κ≤ 日志2+（1）- ε） 对数英尺(-κ) ≤ (1 - 2ε）对数英尺(-κ） 由于ε>0是任意的，我们证明了关系式（5.44）仍然成立，它与（5.18）一起完成了（2.26）和整个定理2.3的证明。5.2. 定理2.7的证明。根据斯科罗霍德的表示定理，我们可以建立一个随机变量的耦合≥0和Y，使得关系（2.29）保持a.s。。因为函数z 7→ z+是连续的，回忆起γt→ 0代表κ~ 我们有a.s.（分机）- eκ+γt=eYγt（1+o（1））- 1γt-eaγt（1+o（1））- 1γt+a、 美国。--→T↓0（Y）- a） +，（5.46）有界成熟度的一般微笑渐近性，与κ类似~ -aγt（eκ- 分机：塔台。s--→T↓0(-A.- Y）+=（Y+a）-. （5.47）考虑到这些关系双方的期望，我们将精确地得到（2.34）。为了证明极限和期望的互换性，我们观察到（5.46）和（5.47）的左侧是一致可积的，有界于L1+η。事实上| eXt- eκ|γt≤|提取- 1 |γt+| eκ- 1 |γt，右侧的第二项一致有界（回想一下κ~ aγt（消耗），而第一项以L1+η为界，由（2.31）确定。附录A.杂项A。1.关于条件（2.3）和（2.4）。从§2.1中回顾（Xt）t≥0表示风险中性原木价格，并假设→ X:=0，分布为t→ 0（如果X有正确的连续路径，则自动满足）。

对于任意值族（κ，t），t>0且κ≥ 0，我们证明了条件（2.3）意味着（2.4）。首先假设→ 0（对κ没有假设）。自从κ≥ 0，一个有（eXt-eκ）+→(1-分布中的eκ+=0，因此c（κ，t）→ 0乘（2.1）和法头引理。有了类似的论点，就有了p(-κ、 （t）→ 0，因此（2.4）是满足的。接下来我们假设κ→ ∞ t是有界的，比如说t∈ （0，T]对于某些固定的T>0.自7→ （z）-c） +是凸函数和（eXt）t≥0是一个鞅，过程（（eXt）-eκ+）t≥0是一个子鞅，到（2.1）我们可以写0≤ c（κ，t）≤ E[（分机）- eκ）+]=e[（外部）- eκ）1{XT>κ}]≤ E[eXT{XT>κ}]。因此，如果κ→ +∞, 然后c（κ，t）→ 0.通过类似的论证，我们可以看出P(-κ、 （t）→ 0，因此条件（2.4）成立。A.2。关于备注2.8。让我们来看看≥0成为解决问题的积极过程（2.36）。根据Ito的公式，进程Xt:=log Stsolves（dXt=√VtdWt-VtdtX=0。假设→ σa.s.as t→ 0，我们想展示这一点√td--→T→0Y~ N（0，σ）。（A.2）让我们定义：=√tZtVsds，It:=Xt√t+Jt- σWt√t=Zt√Vs- σ√tdWs。通过Vt→ σa.s.由此得出Jt~√tσ→ 0 a.s.，根据微积分的基本定理。而且,√及物动词→ σa.s.，hIit:=Zt|√Vs- σ| tds≤ sup0≤s≤t | pVs- σ| a.s。---→T→00 . （A.3）32 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAWe现在使用不等式P（|It |>ε）≤Δε+P（hIit>δ），参见[KS88，问题5.25]。发送第一个t→ 0表示固定δ>0，然后是δ→ 0，我们从（A.3）中看到→ 概率为0→ 0.自σWt/√T→ Y~ N（0，σ）分布为t→ 0，+根据Slutsky的theoremXt√t=它- Jt+σWt√td--→T→00+Y=Y~ N（0，σ），因此关系式（A.2）成立。接下来我们展示一下，Y~ N（0，σ）到（2.35），我们得到了anya的C±（a）=σ≥ 0.因为Y有一个对称定律，所以必须关注C+（a）。