存在交易风险和风险的市场模型的特征

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英文标题：
《Characterization of Market Models in the Presence of Traded Vanilla and
  Barrier Options》
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作者：
Peter Spoida
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We characterize the set of market models when there are a finite number of traded Vanilla and Barrier options with maturity $T$ written on the asset $S$. From a probabilistic perspective, our result describes the set of joint distributions for $(S_T, \\sup_{u \\leq T} S_u)$ when a finite number of marginal law constraints on both $S_T$ and $\\sup_{u \\leq T} S_u$ is imposed. An extension to the case of multiple maturities is obtained.   Our characterization requires a decomposition of the call price function and once it is obtained, we can explicitly express certain joint probabilities in this model. In order to obtain a fully specified joint distribution we discuss interpolation methods.
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中文摘要：
我们描述了当有限数量的交易香草期权和障碍期权到期日为$T$时，市场模型的特征。从概率的角度，我们的结果描述了当对$S_T$和$\\sup_{u\\leq T}S_$施加有限数量的边际定律约束时，$（S_T，\\sup_qt}S_）$的联合分布集。对多个到期日的情况进行了扩展。我们的描述需要对看涨期权价格函数进行分解，一旦得到，我们就可以在这个模型中显式地表达某些联合概率。为了得到完全指定的联合分布，我们讨论了插值方法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Characterization_of_Market_Models_in_the_Presence_of_Traded_Vanilla_and_Barrier_.pdf (187.44 KB)

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关键词：交易风险 distribution Mathematical Differential Applications

存在交易香草和障碍期权时市场模型的特征彼得·斯波达2018年8月18日摘要当资产S上有一定数量的交易香草和障碍期权且到期日为T时，我们对市场模型集进行了特征化。从概率角度来看，我们的结果描述了pST的联合分布，当对两个站都施加一定数量的边际法律约束时。得到了多重数情形的一个推广。我们的刻画需要对看涨期权价格函数进行分解，一旦得到它，我们就可以在这个模型中明确地表达某些联合概率。为了获得完全特定的联合分布，我们讨论了插值方法。1简介根据市场数据校准模型是数学金融学的一个主要挑战。通常，人们使用看涨期权价格来包含关于单变量分布特性的信息。在一些市场中，还有其他选项，可以提供有关联合分配属性的信息。在这里，我们感兴趣的是有交易的香草和障碍期权的情况。我们得到了股票的这些联合分布的一个特征，以及在多个到期日的交易期权的情况下股票的运行最大值。我们的特征化要求对某些看涨价格函数进行一种分解，一旦得到这种分解，我们就可以在以这种分解为特征的模型中明确表示某些联合概率。我们讨论了这些联合概率的插值，它们产生了与市场一致的完全特定的边际联合分布。一旦给出了边际联合分布，我们注意到有一些方法可以定义与这些边际一致的扩散型模型，参见Carr[2]、Cox等人[3]、Forde[5]和Forde等人的研究。

[6].我们的证明方法依赖于与Skorokhod嵌入问题相关的理论，参见Ob l\'oj[8]的调查。Kertz和R¨osler[7]以及Rogers[9]已经描述了鞅及其最大值的联合定律。注释：标的资产将用S表示。其最大值为wewrite MT“suptdTSt。标准的马尔可夫时移运算符用θtpωq表示：“pωuquět。B的第一次击中时间用HB表示。作者感谢Samuel Cohen、Alexander Cox、Marek Musiela和Jan Ob l\'oj的深入讨论。peter。spoida@gmail.com2市场模型的特征在本节中，我们介绍了我们的主要结果。我们刻画了在单一到期日和多到期日的情况下amarket模型的存在性。2.1市场数据和市场模型，cpKnq是指分别具有0千千牛顿冲击的看涨期权的价格。此外，假设b“`bpBq，…，bpBmq”是简单障碍期权的价格，障碍水平为S:babd¨Bm。定义2.1（市场模型）。市场模型是一个过滤概率空间Ohm, F，F，Pq，其中F“pFtqtPr0，T验证了通常的假设，并且在该空间上定义了一个F-适应鞅，满足“pST'Kiq'i”cpKiq，i“1，…，n，（2.1a）E“tMTěBju‰”bpBjq，j“1，…，m.（2.1b）利用这一定义，我们清楚地知道如何将市场模型的概念扩展到存在多个到期日的期权的设定。对于我们的主要结果，我们需要以下假设。假设A（资产）。假设资产S（a）具有连续轨迹，（b）具有零结转成本（例如，当利率为零时），（c）为（严格地）正。2.2一个到期我们现在陈述并证明我们在一个到期情况下的主要结果。这一结果将在下一节中扩展到多个到期日。

这种扩展的证明将是对到期日数的归纳，因此将依赖于onematurity声明。定理2.2（表征市场模型——一个成熟度）。让假设成立吧。然后存在一个市场模型当且仅当1。存在一个买入价格函数up¨q“spx'¨q`updxq，它插值给定的买入价格cpKq，…，cpKnq，\'\'cup0`q“1.2。存在cB，…，cBj，使得对于所有的j“1，…，m，cBj:Rě0dr0，Ss是凸的，（2.2a）0dcB¨cBj¨cBj`cBm`cBj\'1:“1，Cbjdxq”1，cBj，Cbjxxq，@Pbj，cBj.2d dxq，@2b，cBj.2b）xTh~ncBj`1pxq`cBjpxq`bpBjqpBj`xq`是凸的。（2.2e）即非负凸函数c，使得`BcBxp0`qd1和cpxq~n0为x~n8，参见Davis和Hobson[4]。这种市场模式可以在有限的支持下选择（但不一定非得如此）。此外，在以（2.2a）-（2.2e）为特征的市场模型中，我们有0dxaBj，P rSTax，MTaBjs“\'dcBjdxpx`q`bpBjq.（2.3）证明Ohm, F，F，Pq是一个市场模型，即“pST\'Kiq\'i”cpKiq@i“1，…，n，P rMTěBjs“bpBjq@j”1，…，m。通过S的连续性，Dambis Dubins Schwarz时间变化YieldspTqtdT”pXρtqtdtw X是从沙ρT“xlogpSqyt”开始的几何布朗运动`j“1，…，m，x P R.（2.4）清楚地cB，…，Cmb满足（2.2a）-（2.2c）。注bpbjq“P rMTěBjs”P“xρT^HBjěBji”\'\'dcBjdxpBj\'q是条件（2.2d）。还注obpbjq“P”ρTěHBj‰。让XBjdenote从Bj开始一个几何布朗运动。

对于jam，我们有cBj`1pxq`cBjpxq“E”tρtaHBju\'Xρt^HBj\'X``tρtěHBju\'Xρt^HBj\'X”`\'P“ρTěHBjEUR¨pBj\'xq\'\'E\'XρT^HBj\'X\'``E'XρT^HBj`1'X'TρTěHBju“P”ρTěHBjEUR^pBj\'xq``E'XBjψ'x'`˙（2.5）式中，ψ是一个独立的停止时间（与X无关），使得prψxs“P”PρT^HBj`1q\'HBjdXˇρTěHBj‰。ψ的这两个性质以及X的马尔可夫性质确保ψ嵌入上述方程所要求的相同分布`下面是凸条件（2.2e）。现在假设条件（2.2a）-（2.2e）成立。根据斯科罗霍德嵌入定理，该主张对m“0是正确的。归纳起来，让我们假设该主张在m\'1之前是正确的，即存在停止时间㨨¨γm\'1，γj¨HBj，例如对于j“1，…，m\'1，cBjpxq“e”`Xγj\'XP R，bpBjq“P”γHBj`。定义为mpxq:“PXQ\'e”`Xγm\'1×CBMxQ\'。（2.6）根据归纳假设以及（2.2c）和（2.2e）的推论，Βmde定义了一个callprice函数，即Βmis凸、Βmp0q“Bm\'1、Βmp0`q”1和Βmpxq“0 forxěBm。因此，存在一个停止时间θmsuch`@因此，通过（2.6）、（2.7）和归纳假设，cBmpxq“P”γm\'1“HBm\'1¨E'XBm\'1θm\'x”`` 在2.8岁的地方，γm是：γm是：γm是：γm是：γm是：γm是：γm是1.1米，γm是1.1米，γm是1.1米是1.1米是1.1米，γm是1米是1.1米，γm是1米1米1米1米1米1米1米1米米米米7γ1米1“HBm”1.1。（2.9）很清楚，γm是清楚清楚，γm是HBm是HBm是HBm是HBm的，γm是HBm是HBm是从m的m是γm到m是γm是m的“HBm”m是“HBm”m是“HBm”m是“HBm”是“HBm”m“HBm”是“HBm”是“HBm”是“HBms”是“HBm”是“HBm”是“HBms“HBm“HBm”是“HBm”是“HB（2）根据与上述相同的论点，存在γm`1ěγmsuch thatP“γm`1ěHBj‰”P“γměHBj‰”bpBjq，j“1。

ME“`Xγm`1`X`cBm`1pxq”cupxq.取St:“XtT`t^γm`1产生一个市场模型。至于有界支撑声明，我们注意到，为u的支撑选择一个足够大的上界，将允许我们以满足（2.2e）j“m的方式选择cu”cBm`1。最后，使用证明中的符号，我们通过重新排列（2.8）得到并为右导数写d`dx，P rSTax，MTaBjs“\'d`dx\'E”`xγj\'x\'tγjaHBjui\'\'d`dx^cBj`1pxq`bpBjqcBj`1pxq`cBjpxqbpBjq`pBj`xq`˙“`dcBjdxpx`q\'bpbjqfor0dxaBj.2.3多个到期日我们现在将定理2.2扩展到多个到期日的设置。为简单起见，我们假设每个到期日的打击和障碍重合。用uru表示度量支持的正确端点：“infx:uppx，8qq”0（.以0aTa¨¨Tk为例。假设clpKq，…，clpKnq是具有0aK¨¨K和到期时间Tl的看涨期权的价格，l“1，…，K。此外，让bl”`blpBq，…，blpBmq是具有障碍水平S的简单障碍期权的价格：BaB¨¨¨¨Bmand（确定性）到期时间Tl，l“1，…，K.setblpbbq:“1和B”0。定理2.3（表征市场模型——多个到期日）。让我们暂缓一下。然后存在一个市场模型当且仅当1。存在着买入价格函数culp¨q¨px'¨q'ulpdxq，它插值（确定性）到期日Tl，l“1，…，k，和满足性c¨271¨px'q”1的给定买入价格。对于Bm`1:\'rukwe集blpBm`1q:\'Bc lBxpBm`1'q.2。存在！cBjl），因此对于所有的j“1，…，m`1和l”1，…，k，cBjl:r2830，blpBm`1q\'dcBjldxp0\'q\'blpBj\'1q，cBjlp0q\'blpBj\'1q¨Bj\'1，（2.11b）\'dcBjldxpBj\'q\'blpBjq，cBjlpxq\'0，xěBj，（2.11c）cBjl\'1pqpbq\'bl\'1qpBj\'1q¨pBj\'1\'xq\'cBjlpxq@x，（2.11d）m255j\'1\'cBjlpxq\'blpbjqqpqq\'lpqx\'。

（2.11e）这种市场模式可以在有限的支持下选择（但不一定非得如此）。此外，在以（2.11a）-（2.11e）为特征的市场模型中，我们有0dxaBj，P rSTlax，MTlaBjs“\'dcBjldxpx`q`blpBjq（2.12），其中cBjlpxq:“j\'1"yi”1\'cBilpxq`blpBiq–pBi`xq``cBjlpxq.（2.13）备注2.4（与定理2.2的联系）。对于j“1，…，m`1，cBjpxq”cBjpxq（2.14）的识别很容易地表明定理2.3在l“1”的情况下意味着定理2.2。相反，识别（使用定理2.2和2.3的符号）cBjpxq“cBjpxq\'cBj\'1pxq`bpBj\'1qpBj\'1\'xq`（2.15）对于j“1，…，m`1，使用约定cBpxq:“pB\'xq`，很容易表明定理2.2在情况l“1中暗示了定理2.3。因此，定理2.3提供了一个与定理2.2略有不同的替代特征。定理2.3的证明Ohm, F，F，Pq是一种市场模式，例如，对于l“1，…，k，e”pSTl\'Kiq\'iculpKiq@i“1，…，n，P rMTlěBjs“blpBjq@j”1，…，m.通过S的连续性，Dubins Schwarz时间变化YieldsptqtdTk”pXρtqtdtkw这里X是从沙ρt”xlogpSqyt开始的几何布朗运动`. （2.16）与之前类似，属性（2.11a）-（2.11c）很容易验证。我们计算CbjlPxq\'cBjl\'1pxq“E”tρTl\'1aHBj\'1，ρTlěHBj\'1u\'XρTl ^HBj\'X`定义了质量pbl\'bl\'1qpBj\'1q和平均pbl\'bl\'1qpBj\'1q–Bj\'1的测量值，因此（2.11d）如下。至于（2.11e），我们注意到m"yj“1\'cBjlpxq\'blpBjqpBj\'xq``cBm\'1lpxq“m"yj”1E“tρTlěHBj\'1u\'XρTl ^HBj\'X\'\'tρTl HBjupBj\'xq”`` E“tρTlěHBmu\'XρTl\'X”`“m"yj”1E“tHBj\'1dρTlaHBju\'XρTl\'X”`` E“tρTlěHBmu\'XρTl\'X”`“culpxq.现在假设条件（2.11a）-（2.11e）成立。通过备注2.4，声明对k”1是正确的。归纳起来，让我们假设声明在k\'1之前是正确的，特别是存在ηl，l”1。

，k\'1，这样cbjlpxq“E”tηlěHBj\'1u\'Xηl^HBj\'X”`, x P R，（2.17b）由（2.11a）我们有两个功能（2.11b）我们有0个（2.11b）我们有0个（2.11d）我们有0个（2.11d）我们有（2.11b）我们有0个（2.11b）我们有0个（2.11b）的方法（2.11b）的手段，相应的措施的手段相一致，相应的措施的手段相一致的手段相一致的方法，方法相一致的手段相一致的手段相一致的方法相一致的措施相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法，相应的措施相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的，相一致的措施相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的方法相一致的，相一致的方法相一致的，相一致的方法相“1”bkpBj\'1q–Bj\'1“cBjkp0q，同样适用于大众，BsBjkBxp0`q”bk\'1pBj\'1q`pbk\'bk\'1qpBj\'1q”bkpBj\'1q”BcBjkBxp0`q。因此，根据Strassen[11]，存在一个停止时间Bjkwhich将对应于SBJK的度量嵌入对应于cBjk的度量。我们递归定义ηk^HB“#Bkifηk\'1aHB，HBelse，（2.18a）ηk^HB“$”和“%ηk^HBifηk^HB，ηk^HB”如果ηk\'1aHB，ηk^HB“HB，HBelse，（2.18b）…ηk^HBm“$”和“%ηk^HBm\'1ifηk^HBm\'1aHBm\'1，ηk^HBm\'1”Bmkθηk^HBm\'1如果ηk\'1aHBm，ηk^HBm\'1“HBm\'1，HBmelse，（2.18c）ηk”#ηk^HBmifηk^HBm，ηk^HBm\'Bm`1k"θηk^HBmifηk^HBm”HBm.（2.18d）接下来，我们证明这个构造恢复了正确的量。从（2.18a）-（2.18d）可以看出Bjkis仅为达到Bj\'1级的路径触发，因此BJK不会改变Bi，idj′1被击中的概率。然而，它可以改变被击中的概率。表示EsBjk“pXγ'xq'iXγ的期望值，其中X¨νbjk和νbjk是对应于sBjk的测量值。根据这一定义，归纳得出，对于j“1。

，m`1，E“tηkěHBj\'1u\'Xηk^HBj\'X”`“E\'tηk\'1ěHBj\'1u\'tηk\'1aHBj\'1，ηk^HBj\'1”HBj\'1u\'Xηk^HBj\'X”`“E<<tηk\'1ěHBj\'1u^X'ηk\'1`Bjk"θηk\'1\'^HBj\'x˙\'fff\'E>>–tηk\'1aHBj\'1，ηk^HBj\'1“HBj\'1ux^HBj\'1`Bjk"θHBj\'1˙^HBj\'x,\'fl\'EsBjk\'xBjk\'x\'`“cBjkpxqand thereforeP”ηkěHBj‰“\'BcBjkBxpBj\'q（2.11c）“bkpBjq，P”ηk^HBjěHBi‰“prηk^HBiěHBis”bkpBiq，@iaj。最后，嵌入属性遵循asE“pXηk\'xq`xq`mij”1E！ηkP”HBj\'1，HBjpX\'xq`` E“tηkěHBmupXηk\'xq`m"yj”1E“tηkěHBj\'1u\'Xηk^HBj\'X”`\'P“ηkěHBj‰pBj\'xq``E”tηkěHBmupXηk\'xq`m"yj”1\'cBjkpxq`bkpbjqpbbj`xq``cBm`1kpxq（2.11e）`cukpxq。关于存在一个有界支撑的市场模型的主张和方程（2.12）遵循的方式与定理2.2.3插值定理2.2和2.3的证明相同，需要将一些调用价格函数“分解”为一系列中间价格函数凸函数。考虑到这种分解，等式（2.3）和（2.12）部分规定了这种分解所隐含的pS，mq的联合边际分布。接下来，我们将讨论如何从（2.3）和（2.12）的势垒和时间中一致地插值这些连接概率。3.1分解的计算我们主要结果的强度取决于数量的计算！cBjl）如定理2.3所述。在实践中，一种简单而有效的计算方法是在空间中进行离散并求解线性规划（LP）问题。如果N是空间中离散化点的数量，则在一个成熟度情况下，变量的数量为N q。当然，也可以使用一个朴素的线性规划来优化最大值和终值的联合分布，但它有更多的变量：在一个成熟度的情况下，它是顺序OpNq。此外，还需要确保获得股票及其最大值的有效联合分配，见以下条件（3.3a）-（3.3b）。

在kmaturities的情况下，要计算的变量数是OpkN q！cBjl）如OREM 2.3所述。当试图使用一个简单的线性规划时，需要确保联合分布排序的正确条件，见下文第3.3节。这可能并不容易实现。通过改变LP的目标函数，我们可以实现两件事。首先，我们可以通过“惩罚”来规范解决方案，例如，在支持方面的差距。其次，我们可以找到具有附加功能的解决方案，例如最大化给定支付的预期，这将为该支付产生一个稳健的价格上限。特别是，我们可以计算一个简单的障碍期权的最大价格，障碍为B‰Bj。3.2以分解为特征的模型中的障碍价格插值！cBjl），定理2的方程式（2.3）。2部分指定pST、MTq的接头（尾部）分布为“FTpx”，Bjq:P rSTax，MTěBjs\'\'dcudxpx`q`dcBjdxpx`q`bpBjq˙txaBju（3.1）表示xě0和j“0，…，m.回想定理2.2，为了对联合分布包含有界支持，我们可以将Bm“Knand bpBmq”0“Bmsu的cupKnq非常大。为了获得无界支持，我们必须进行外推。在这种情况下，请注意，定理2.2很容易扩展到可数的多个看涨期权和障碍期权，具有越来越多的打击和障碍。罗杰斯[9，定理2.2]通过一些可积条件和函数DPMQ的两个属性来刻画所有这些可能分布的集合。”“STˇMTam‰，（3.2）名为dpmqěm，（3.3a）mTh~ndpmq是不递减的。（3.3b）通过构造，我们对j“1，…，m，dpBjqěBj，（3.4a）dpBj\'1qddpBjq.（3.4b）最简单的插值是在障碍期权价格中使用线性插值。