关于离散概率中的一致风险测度表示

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英文标题：
《On the Coherent Risk Measure Representations in the Discrete Probability
  Spaces》
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作者：
Kerem Ugurlu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We give a complete characterization of both comonotone and not comonotone coherent risk measures in the discrete finite probability space, where each outcome is equally likely. To the best of our knowledge, this is the first work that characterizes \\textit{and} distinguishes comonotone and not comonotone coherent risk measures via a simplified AVaR representation in this probability space, which is crucial in applications and simulations.
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中文摘要：
在离散有限概率空间中，我们给出了共单调和非共单调一致风险测度的完整刻画，其中每个结果的可能性相同。据我们所知，这是第一个通过概率空间中的简化AVaR表示来区分共单调和非共单调相干风险度量的工作，这在应用和模拟中至关重要。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_the_Coherent_Risk_Measure_Representations_in_the_Discrete_Probability_Spaces.pdf (153.53 KB)

2022-5-7 03:53:42 上传

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关键词：Applications Presentation Quantitative Differential Probability

离散概率空间中的相干风险测度表示。我们在离散有限概率空间中给出了共单调和非共单调一致风险度量的完整特征，其中每个结果的可能性相同。据我们所知，这是第一项通过AVaR表示在等概率原子的不确定性概率空间中表征和区分科莫酮和非科莫酮相干风险度量的工作。这种刻画给出了一种更有效、更准确的方法来表示该概率空间中的法律不变性相干风险度量，这在应用和模拟中至关重要。1.引言在Artzner等人[13]的开创性论文中，介绍了一致性风险度量，并对其性质进行了公理化。从那时起，风险度量在理论和应用上都受到了广泛的关注。本文讨论了离散概率空间中一致风险测度的表示(Ohm, 2|Ohm|, P） ，在哪里|Ohm| = n和P（ω（i））=1/n，对于所有i=1，2。。。，n、 本文的目的是在这个概率空间中给出共单调和非必要共单调相干风险测度的完整刻画。我们引用了[15]中的自然风险统计公式，以及[7]和[9]中独立引入的函数一致性概念，并表示该离散概率空间中的任何一致风险度量。这方面最接近的作品是[17]和[7]。在这两项工作中，通过AVaR给出了科莫酮相干风险度量的特征。在[7]中，通过AVaR和公式的上确界给出了not COMONONONONE情况，而在[17]中，没有提及NOTCOMONONONONE情况。

据我们所知，这是第一项通过概率空间中的简化AVaR表示来描述和区分共单调和非共单调一致风险度量的工作，这在应用和模拟中至关重要。论文的其余部分如下。在第2节中，我们给出了理论背景和必要的定义。在第3节中，我们首先表明，任何一致的风险度量都是在离散有限概率空间中进行的，在离散有限概率空间中，每个结果的可能性都是相同的。然后，我们给出了两个定理，在这个概率空间中给出了共单调和非共单调相干风险测度的刻画。在本文的其余两个结果中，我们将予以证明。日期：2021 09月11日。关键词和短语。库索卡代表；连贯的风险措施；法律不变性；共名性。2 KEREM UGURLU2。预备工作和理论背景(Ohm, F、 P）是无原子标准概率空间。因此，在不失去共性的情况下，我们可以Ohm 作为单位区间[0,1]，P是勒贝格度量，F是Borel-sigma代数。让(Ohm, G、 P）是概率空间，其中|Ohm| = n、 G=2OhmP是一个概率度量，它满足P（ωi）=1/n的所有i∈ {1,2，…，n}。我们把这个概率空间称为均匀离散概率空间。Random变量（r.v.）X是一个可测量的函数Ohm R.v.的累积分布函数由FX（x）=P（x）定义≤ x） 。r.v.X的P分位数用VaRp（X）：=inf{X:P（X）表示≤ 十）≥ p} ，它是左连续和下半连续的。定义2.1。给定两个r.v.的X和Y，我们说X二阶sto-chasticallydominates（SSD）Y和write X Y，如果（2.1.1）Zt-∞外汇（s）ds≤Zt-∞财政年度（s）ds，T∈ R.定义2.2。

相干风险度量ρ是一个函数，它将R-va-dr.v.的值映射为真实数R或to+∞, 满足以下公理o（单调性）：ρ（Y）≤ ρ（Y）何时≤ 当然（正同质性）：ρ（λY）=λρ（Y）每当λ>0时（凸性）ρ（（1）- λ） Y+λY）≤ (1 - λ） ρ（Y）+λρ（Y）为0≤ λ ≤ 1.o（平移不变性）ρ（Y+c）=ρ（Y）+c如果c∈ R.定义2.3。如果概率空间上具有相同分布的两个r.v.的X andY意味着ρ（X）=ρ（Y），则一致的风险度量ρ称为律变量。我们将在本文中使用的一个重要的一致性风险度量是平均风险值，用AVaRα（Y）（2.3.1）AVaRα（Y）：=1表示- αZαVaRu（Y）段[2]中给出了（2.3.1）AVaRα（Y）的替代表示形式，其形式为（2.3.2）AVaRα（Y）=min∈Rs+1- αE[（X- s） +]其中（2.3.2）中的最小值在VaRα（Y）处达到。备注2.4。我们从（2.3.2）中注意到α→ AVaRα（Y）是一个连续函数，在区间[0,1]上与变量α相对应。还要注意的是AVaR（Y）=E[Y]和limα→∞AvaRα（Y）=ess sup[Y]。此外，在[1]中，通过Fe-nchel-Morea-u定理（参见[18]），我们对AVaRα（Y）和Y有以下等价表示∈ Lp(Ohm, H、 P），带P≥ 1（2.4.1）AVaRα（Y）=supu∈Chu，Y iw其中C是概率密度的集合，具有绝对连续的概率密度h∈ Lq(Ohm, H、 P）关于参考离散概率空间中一致风险度量表示的概率度量，3p满足（2.4.2）C=H∈ Lq:0≤ H≤1.- α、 ZOhmhdP=1.这里是Lq(Ohm, H、 P）是Lp的对偶(Ohm, H、 P）。也就是说，只要1≤ p<∞.备注2.5。

注意，在P（ω（i）=n的离散均匀情况下，我们立即得到绝对连续的概率密度函数h（ω）的形式为（2.5.1）h（ωi）≤ min{n- i、 1}，为了所有人1≤ 我≤ n、 备注2.6。我们还指出，事实上，大多数基因ral是正确的。根据FenchelMoreau定理，给出了线性规划中任意一个不变的一致风险测度(Ohm, H、 P），1≤ P≤ ∞表示为（2.6.1）ρ（X）=supν∈Dhu，xid是关于Lp对偶中参考概率测度P的绝对连续概率密度的凸集（见[13]）。相应地，我们需要随机变量s和co-he-rents-risk测度的下列依赖性质。定义2.7。如果下列条件成立，则一对r.v.的X和Y被称为是共单调的。（2.7.1）（X（ω）- X（ω））（Y（ω）- Y（ω））≥ 0 a.s.类似地，如果对于科莫酮r.v.的X和Y（2.7.2）的每一个样本，ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y）成立，则一致风险度量ρ被称为科莫酮添加剂。备注2.8。我们通过[3]知道，当α<1时，AVaRα（X）是共单调可加的；考虑到AVaRα（X）的连续性，当AVaRα（X）6=ess sup[X]时，AVaRα（X）是共单调可加的。然而，下面我们提供了一个简单的例子，说明相干风险度量sup[X]不是一个可加性。例2.9。允许Ohm 是四个原子的离散均匀概率空间ω，ω，ω，ω。设X（ω）=Y（ω）=0，X（ω）=Y（ω）=1，X（ω）=0.8，Y（ω）=-1和X（ω）=3和Y（ω）=0.5。请注意，X和Y是comono音调，而ess sup[X+Y]<es s sup[X]+ess sup[Y]。在他的开创性著作Kus uoka[4]中，s在无原子概率集上展示了以下对法律不变性相干风险度量的刻画(Ohm, L∞, P） ，而后延伸到无原子Lp，P≥ 1例（见[5]和[14]）。定理2.10。

[4] 映射ρ：Lp→ R∪{∞}, P≥ 1关于无原子概率空间(Ohm, F、 P）是一个定律不变的一致风险度量，当且仅当它允许以下表示（2.10.1）ρ（X）=supu∈MZ[0,1]AVaRt（X）dut4 KEREM Ugurlu对于任何r.v.X，其中M是[0,1]上的概率度量。此外，如果ρ是共单调加法，则概率测量u的上限在（2.10.1）中达到*在[0,1]上，使得（2.10.2）ρ（X）=Z[0,1]AVaRt（X）du*t、 我们继续进行以下定义。定义2.11。如果X 表示ρ（X）≥ ρ（Y）以下结果显示了SSD保存和一致风险度量的强烈依赖性（见[6]，定理2.58和备注4.38）定理2.12。对于X，Y∈ L∞以下条件是等效的：oX Y，oE[U（X）]≤ E[U（Y）]对于R上的所有非减损凹函数U，oAVaRα（Y）≤ 所有α的AVaRα（X）∈ [0 , 1].Leitner[8]表明，承认Kusuoka表示（2.10.1）和保留SSD与广义概率s空间中的相干风险度量ρ的性质完全相同。定理2.13。[8] 以一种不一定是无原子的速度(Ohm, F、 P），一致风险度量ρ承认Kusuoka表示（2.10.1）的有效性。接下来，我们分别给出[7]和[9]中介绍的概念。定义2.14。给定一个非必要的无原子概率空间(Ohm, G、 P）上的一个不变映射ρ（X）(Ohm, G、 P）如果存在法律不变的一致性风险度量，则称为功能一致性风险度量（十） 定义在无标准概率spa ce上(Ohm, F、 P）使得ρ（X）=|(Ohm,F、 P）（X）。

除上述性质外，如果ρ（X）也是共单调可加性的，那么我们说ρ（X）是一个函数相干的共单调可加性风险度量。我们以[15]和[10]中介绍的与随机变量X的潜在概率分布相关的定义来结束本节。定义2.15。如果潜在的概率分布是离散的且是有限的|Ohm| = n、 如果ρ（Xπ）=ρ（X）对于每个置换π，则称相干风险度量ρ为置换不变∈ Sn，其中sni是所有置换{1，2，…，n}的集合，Xπ表示置换向量，即Xπ=（Xπ（1）。。。，xπ（n））。a相干风险度量ρ（X）：Rn→ R也是置换不变量，称为自然风险统计。3.主要结果在这一部分，我们给出了我们的主要结果和证明。结果表明，在有限的离散统一概率空间中，任何规律不变量的一致风险测度都能保持SSD性质。定理3.1。在一致离散概率空间上给出了一个律不变的相干风险测度ρ。关于离散概率空间中的一致风险测度表示。给定两个r.v.的X和Y，用X=（X，X，…，xn）Y=（Y，Y，…，yn）（3.1.1）表示它们。由于所有基本事件的概率都是相等的，所以SSD关系与弱多数的概念一致（见[11]）。（3.1.2）[X Y]<==> [nXk=1x[k]≤nXk=1y[k]]，其中x[k]表示x的第k个最小分量。根据Hardy、Littlewood和Polya（se e[16]和[11]中的D.2.b）的理论，弱主化等价于双随机矩阵a的存在，例如（3.1.3）x≤ 嗯。根据Birkhoff定理（se e[12]），双随机矩阵A是置换矩阵的凸组合，即。

有置换矩阵bj和weig-htsαj，j=1。。，n与αj≥ 0和Pnj=1αj=1，使得（3.1.4）A=nXj=1αjbjd确定随机变量Zj：Ohm → 使得Zj（wi）是Bjy的第i个分量。那么Zj，j=1。。。，n都具有与Y相同的分布，从上面可以看出（3.1.5）X≤nXj=1αjzj单调性、凸性和定律不变性意味着ρ（X）≤ ρ（nXj=1αjZj）≤nXj=1αjρ（Zj）=nXj=1αjρ（Y）=ρ（Y）（3.1.6）所以我们完成了证明。定理3.1将简化有限离散均匀概率空间中相干风险度量的特征。我们认为这两种表述都很低。定理3.2。设P:={W∈ Rn | Pnj=1wj=1，wj≥ 0，j=1。。。，n} andD:={X∈ Rn | x≤ 十、≤ ... ≤ xn}。均匀离散概率空间中的任何相干和共单调可加风险测度ρ具有以下形式（3.2.1）ρ（X）=n-1Xi=0uiAVaRi/n（X），十、∈ Rn，6 KEREM UGurlu0≤ ui≤ 1，对于所有i=0，1。。。，N- 1n-1Xi=0ui=1AVaRin（X）=n- 我X[i+1]+…+X[n].（3.2.2）即（X）中的AVaR（X）satis fiesavarin（X）=maxW∈P∩DhW，Xosi（3.2.3）=wX[1]+wX[2]+…+wnX[n]0≤ wj≤N- i、 对于所有j=1，2。。。，n0≤ W≤ W≤ ... ≤ wn≤ 1，nXj=1wj=1同样，对于相干风险度量ρ，它不是共单调添加剂，我们具有以下特征。定理3.3。设P和D如上所示。在均匀离散概率s空间中，任何相干但非共单调的加性风险测度ρ具有以下形式（3.3.1）ρ（X）=n-1Xi=0uiAVaRi/n（X）+unAVaR（X），十、∈ Rn，0≤ wj≤N- 我j=1，2。。。，n0≤ W≤ W≤ ... ≤ wn≤ 1，nXj=1wj=10≤ ui≤ 1表示所有i=0，1。。。，nun>0nXi=0ui=1在本文的其余部分，我们给出了定理3.2和定理3的证明。3和一个lso推导出了几个推论。我们借用了[7]中的一个结果，它给出了广义概率空间中函数相干性和Kusuoka表示的等价性。定理3.4。

[7] 考虑一个（不一定是无原子的）概率空间(Ohm, G、 P）和一个值P∈ [1, ∞].o 映射ρ是一个有趣的一致性风险度量，当且仅当它具有某种概率度量M族的Kusuoka表示形式（2.10.1） P.关于离散概率空间中的相干风险度量表示7o映射ρ是一个函数相干且共单调的加性风险度量，当且仅当其具有该表示（2.10.2）。基于定理3.4，我们立即得到了一致风险测度的法律不变量的以下特征。定理3.5。（不一定是完全无条件的）概率空间上的律不变相干风险测度ρ是保SSD的当且仅当ρ是函数相干的。证据定律不变的相干风险度量ρ是SSD保序的，ρ通过[8]接受akusooka表示，通过[7]接受Kusuoka表示，ρ通过函数相干接受Kusuoka表示，因此我们得出结论。推论3.6。在离散均匀概率空间上，任何律不变的相干r isk m测度ρ（X）必然是函数相干的。证据根据定理3.1，在离散一致概率空间上，给出了一个一致的风险测度ρ（X）。因此，结果来自定理3.5。我们继续下面的引理。引理3。7.在均匀分布的离散概率空间上，相干风险测度AVaRα（X）是置换不变的。证据设W={W，W，…，wn}是Pni=1wi=1的非负权重向量，X={X，X，…，xn}是r.v.X的m的向量。然后由（2.4.1）thatAVaRα（X）=max{0≤W≤1/n（1）-α） }hX，ui=wX+wX+…+wnXn（3.7.1）因此，当我们将xi与xj交换，其中i 6=j，通过相互改变wi和wj，我们得到相同的结果。这意味着AVaRα（X）是不变的。

接下来，我们将陈述[10]和[15]对自然风险统计的结果。定理3。8.设D:={X∈ Rn | x≤ 十、≤ ... ≤ xn}和P:={X∈Rn | Pni=1xi=1，xi≥ 0，i=1。。。，n} 用Xos表示x的顺序统计量，即Xos:=（x[1]，x[2]，…，x[n]）对于某些π∈ 使Xπ∈ D.假设自然风险统计ρ是次加的。然后存在一个权重的闭凸集W P∩ D s uch表示（3.8.1）ρ（X）：=maxW∈哦，Xosi，十、∈ 注册护士。我们现在准备证明orem 3.2和定理3.3。定理3.2的证明。使用定义（2.3.1），通过简单的计算，我们得到（3.8.2）AVaRi/n（X）=n- i[X[i+1]+…+此外，因为-1n≤ α ≤式中，设λ=n（1）-α)-（n）-i+1）（i）-nα）n（1）-α). 然后，很容易验证0≤ λ ≤ 1和（3.8.3）AVaRα（X）=λAVaRin（X）+（1- λ） 阿瓦里-1n（X）8 KEREM UGURLUThen，根据定理3.1，我们得到，对于共单调相干风险度量ρρ（X）=ZAVaRp（X）du（p）=nXi=1Zini-1nAVaRp（X）du（p）=nXi=1Zini-1n帕瓦里-1n（X）+（1）- p） 阿瓦林（X）du（p）=nXi=1AVaRi-1n（X）Zini-1np du（p）+AVaRin（X）Zini-1n（1- p） du（p）（3.8.4）我们注意到，Avarin的正系数为0≤ 我≤ n相加toRdu（p）=1，因为u是[0,1]上的概率度量。我们将这些系数表示为ui。我们还知道最后一个系数un=Rn-1n（1- p） du（p）=0，因为ρ是单调相干风险度量。此外，由于我们是在离散的一致概率空间中，由引理3.8。AVaRα（X）是置换不变量，因此是自然风险统计。由于它是一个连贯的风险度量，因此也是次加性的。因此，表示（3.8.2）必须满足（3.7.1），其中0≤ wj≤ 闵N- i、 一,, 所有人1≤ 我≤ n0≤ W≤ W≤ ... ≤ wn≤ 1nXj=1wj=1，（3.8.5），这意味着wj=n-i+1执行部队≤ J≤ n和wj=0表示1≤ J≤ 我定理3.3的证明。