马尔可夫定价核风险溢价的内在界

风险溢价θtsatis fies（σh′）lH-1.l)（Xt）≤ θt≤ （σH′LH）-1L）（Xt）。我们还讨论了当已知状态变量不被左（或右）边界吸引时更好的边界。说明了如何应用该结果来确定资产的收益范围。建议对未来的研究进行以下扩展。首先，将流程XT扩展到一个多维流程或一个带有jump的流程会很有趣。第二，当过程是非马尔可夫过程时，确定风险溢价的界限是很有意义的。本文只讨论了时间齐次马尔可夫过程。第三，探索定价核心的更一般形式是很有必要的。我们只讨论了定价核的倒数形式为eβtφ（Xt）的情况。作者高度赞赏裁判员详细而有价值的评论。4.1上命题的证明此后，在不丧失普遍性的情况下，我们假设X=0，即XTI范围的左边界-∞ 以及XTI范围的右边界∞.引理A.1。设α<λ且（α，g）和（λ，h）为候选对。n，Z-∞五、-如果h′（0），则2（y）dy是有限的≥ g′（0），Z∞五、-如果h′（0），则2（y）dy是有限的≤ g′（0）。其中g=vq，q（x）=e-Rxk（y）σ（y）dy.证明。写h=uq。假设h′（0）≥ g′（0），等价于u′（0）≥ v′（0）。定义Γ=u′u-v′v.ThenΓ′=-Γ-2v′vΓ-2(λ - α)σ.因为Γ（0）≥ 对于x<0，我们有Γ（x）>0，因为如果Γ曾经接近于0，那么-2(λ-α） σ在等式的右边占主导地位。选择x小于0的x。对于x<x，我们有-2v′（x）v（x）=Γ′（x）Γ（x）+Γ（x）+2（λ- α） σ（x）·Γ（x）。从m到x积分，-2 lnv（x）v（x）=lnΓ（x）Γ（x）+ZxxΓ（y）dy+Zxx2（λ- α） σ（y）·Γ（y）dy导致v（x）v（x）≤Γ（x）Γ（x）eRxxΓ（y）dyfor x<x。

因此，Zx-∞v（y）dy≤ （常数）·Zx-∞Γ（y）eRyxΓ（w）dwdy=（常数）·1.- E-Rx-∞Γ（w）dw≤ （常数）∞ .这意味着-∞五、-2（y）dy是有限的。同样，我们可以证明∞五、-如果h′（0），则2（y）dy是有限的≤ g′（0）。引理A.2。写Hλ=vqa和Hλ=vq，其中q（x）：=e-Rxk（y）σ（y）dy.T h en，Z-∞五、-2（y）dy=∞ 安兹∞五、-2（y）dy=∞ .证据我们只能证明这一点-∞五、-2（y）dy=∞. 一般（标准化为h（0；c）=1）解=-λh用h（x；c）表示：=hλ（x）1+c·ZxV-2（y）dy,因此我们有H′（0；c）=H′λ（0）+c。因为H′λ（0）是定义的最大值，所以我们有c≤ 0.支持-∞五、-2（y）dy<∞ 然后我们可以选择一个小的正数c，这样h（x；c）就是一个正函数。这是矛盾的。我们现在证明命题4.1。证据我们只展示了x<0的不等式。我们证明了（h′αh）-1α）（x）<（h′h-1） （x）对于x<0。设q（x）：=e-Rxk（y）σ（y）dy。写h=uq和hα=vq。然后我们有h′（0）>h′α（0），等价于yu′（0）>v′（0）。这是因为，如果不是，根据引理A.1，我们有z∞五、-2（y）dy<∞ ,这与引理A.2相矛盾。现在我们定义γ=u′u-v′v.然后γ′=-γ-2v′vγ-2(λ - α)σ.因为γ（0）>0，对于x<0，我们有γ（x）>0，因为如果γ接近0，那么-2(λ-α） σ在等式的右边占主导地位。因此，对于x<0，可以得出（v′v-1） （x）<（u\'u-1） （x），这意味着（h′αh-1α）（x）<（h′h-1） （十）。我们现在证明（h′h）-1） （x）<（H′αH-1α）（x）写Hλ=vq。那么我们有H′（0）<H′α（0），等价于u′（0）<V′（0）。定义Γ：=u\'u-V′V.然后Γ′=-Γ-2V′VΓ-2(λ - α)σ.我们声称Γ（x）<0表示x<0。假设存在x<0这样的tΓ（x）≥ 那么对于allz<x，可以得到Γ（z）>0，因为如果Γ曾经接近于0，那么-2(λ-α） σ支配着等式的右边。

对于z<x，我们有-2V′（z）V（z）=Γ′（z）Γ（z）+Γ（z）+2（β- λ） σ（z）·Γ（z）。从上到下集成，-2 lnV（y）V（x）=lnΓ（y）Γ（x）+ZyxΓ（z）dz+Zyx2（λ）- α） σ（z）·Γ（z）dz导致V（x）V（y）≤Γ（y）Γ（x）eRyxΓ（z）dzy<x。因此，Zx-∞五、-2（y）dy≤ （常数）·Zx-∞Γ（y）eRyxΓ（w）dwdy=（常数）·1.- E-Rx-∞Γ（w）dw≤ （常数）∞ .这意味着-∞五、-2（y）dy是有限的。这与引理A.2相矛盾。参考文献[1]Amrein，W.O.，A.M.Hinz和D.B.Pearson。斯图姆·刘维尔理论，过去和现在。（2005）柏林波士顿巴塞尔Birkhauser Verlag。[2] 奥德里诺、F、R.惠特马和M.路德维希。Ross RecoveryTheorem的实证分析。（2014）工作文件。SSRN。[3] 班萨尔，R.和A.亚龙。长期风险：资产定价的潜在解决方案（2004）《金融杂志》，第59卷，第4期，1481-1509。[4] Berkowitz，J.关于奇异Sturm-Liouville问题谱的离散性。（1959）纯数学和应用数学通讯，第12卷，第3期，第523-542页。[5] 比约克，T。连续时间中的Arb-itrage理论。（2009）牛津大学出版社。[6] Bocher，M.《二阶非振荡线性微分方程》。（1900）公牛。艾默尔。数学Soc。，第一卷，第33-340页。[7] Borovicka，J.，L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误的恢复。（2014）国家经济研究局工作论文。[8] Borovicka，J.，L.P.Ha nsen，M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。（2011）《金融计量经济学杂志》，第9卷，第3-65页。[9] Breeden，D.T.具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型（1979年）《金融经济学杂志》，第7卷，265-296。[10] Carr，P.和J.Yu。风险、回报和恢复。（2012）衍生工具杂志。第20卷第1期第38-59页。[11] 坎贝尔，J.和J。

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