保证最低支取的可变年金估值，以及

图2中的另一个支付曲线是在罚款率增加到β=30%的情况下的另一个支付曲线——在这种情况下，估计的支付远低于初始保费总提取率g≥ 4%，并且存在公平费用的解决方案。此外，如前几节所述，真实的产品设计可能会对死亡抚恤金担保规定明确的日期（例如70岁或75岁），这将降低300500700900110013000100170019005 7 9 11 13 15DGGHQCFD上部边界图1:GMWDB中bp（1bp=0.01%）的公平费用α，在每季度退出频率（Nw=4）的动态情况下，DB2死亡受益。其他参数为r=5%，σ=20%，β=10%。“上界”是指在已知死亡时间的情况下，使用基于最优策略的等式（22）计算出的与年度价格上限估计器相关的公平费用。死亡福利的成本本身可以保证，并有助于避免解决方案不存在的情况。4.2.3动态GMWDB具有固定的死亡福利分期费用。在某些情况下，上述动态GMWDB不存在公平费用解决方案的问题也可以通过更合理的费用结构来解决。到目前为止，增加D B1或DB2死亡福利的额外成本被吸收到与财富账户价值W（t）相连的持续费用α中，而不是死亡福利中的保证保费。由于每次提款都会减少基金价值，因此收费基数也会减少。更好的费用结构是保持连续费用与动态GMWB相同，但由于提前或在执行中添加DB1或DB2死亡福利而收取额外费用。在实践中，通常首选Lat-er。将动态GMWB（即死亡概率设置为零的GMWDB）的公平费用表示为α*（例如：。

表3第3列），以及与Q（α）相同费用下的GMWDB（含Db1或Db2）的公平价格*) ≡ Q（A（0），W（0），I=1），然后明显地Q（α*) > W（0）和fa ir预付费是不同的△ = Q（α）*) - W（0）。工作0.70.80.911.11.24支付下限10%惩罚初始溢价30%惩罚图2：对于动态案例的简单策略，在β=10%和β=30%的情况下，每季度退出频率（Nw=4）和死亡益处DB1或DB2的赔付率较低。其他参数为r=5%，σ=20%。在固定分期付款金额λ之外，必须考虑死亡概率。在这里，我们假设每笔分期付款是在每次提款期开始时支付的，死亡后无需再支付。以在此期间死亡为条件（tn-1，tn]，1≤ N≤ N、 即tn-1< τ ≤ tn，GMWDB发行人收到的分期付款总额由∧n=λPnj=1B0，j给出-1，预期分期付款总额为∧=pS∧N+NXn=1∧npn，其中pS=Pr[τ>T]是超过到期日T的存活概率，pn=Pr[tn]-1< τ ≤ tn]是该期间发生死亡的概率（tn-1，tn]。等于∧和预付费△ = Q（α）*) -W（0），我们得到了fa-ir分期付款费用λ=Q（α）*) - W（0）pSρN+PNn=1ρnpn，ρN=nXj=1B0，j-1.（32）考虑到GMWB的公平费用，使用（32）计算GMWDB的分期付款λ是很简单的。表4显示了与表3相同情况下初始保费基点的λ值。将因向GMWB添加DB1或DB2死亡福利而产生的额外分期付款λ与单独人寿保险的分期付款λ进行比较是有趣且有用的，该单独人寿保险的期限、分期付款频率和保险金额等于GMWDB的初始保费W（0）。

在这种人寿保险的情况下，分期付款λ由λ=W（0）PNn=1pnB0，npSρN+PNn=1ρnpn给出，（33）其中W（0）PNn=1pnB0，是人寿保险的预期赔付。表4还显示了Eλ值与λ值的比较。显然，购买单独人寿保险的分期付款费用高于额外的分期付款费用，因为在GMWB的基础上增加了DB1（人寿保险）或DB2（MDB Payoff），这使得组合合同GMWDB成为一个有吸引力的产品。人寿保险费比使用DB2的GMWDB在最长到期日（对应于tog=4%）时的额外费用高出约51%，而在最短到期日（对应于g=15%）时，这一差异增加到98%。更重要的是，死亡后，与DB2 r签订的GMWDB合同在账户价值W（td）（其中TDI是死亡后的第一次切片）和初始保费W（0）之间返回最大值，而人寿保险只返回投保金额W（0）。DB1所需的额外分期付款只比DB2的分期付款稍微小一些。图3显示了与男性群体的Eλ相比，DB2的λ曲线。DB1（未显示）的曲线很难与图3中的DB2曲线区分开来。与购买单独的人寿保险不同，另一种选择是在GMWB合同之外购买GMDBcontract，在这种情况下，这是非常昂贵的，因为GMDB需要额外的W（0）保费，而人寿保险不需要，组合的GMWDB也不需要DB1或DB2（只需要一个保费）。因此，总体而言，购买带有DB1或DB2 death Benefit的单一组合GMWDB合同更好、更便宜。表5是表4的女性对应项。正如预期的那样，GMWB之外的GMWDB额外分期付款和针对女性人口的单独人寿保险都比男性人口便宜得多。

根据具体情况，如果购买GMWDB而不是在GMWB上购买单独的人寿保险，女性人口的费用也可以节省约40%到50%，尽管节省的费用不如男性人口。合同价格，g到期日T=1/gλ（DB1）λ（DB2）eλ4%25.00 32.05 33.13 50.205%20.00 24.39 24.97 40.616%16.67 20.23 20.63 34.947%14.29 18.01 18.33 31.358%12.50 15.59 15.91 28.869%11.11 14.18 14.51 27.0310%10.00 13.37 25.6315%6.67 10.70 11.11.05 21.904表4：以bp为单位的公平分期付款λ（1bp=0.15.15.59%15.59.59.15.59.15.91%15.15.15.15.15.91%或DB1%为受益人，每季度一次动态提取DBA的情况下，每季度一次（Nw=4），种群数量异常。这一分期付款是在标准GMWB合同的持续公平费用之上的。其他参数为r=5%，σ=20%，β=10%。eλ是同一期限的单独人寿保险的分期费用，保险金额等于GMWDB的初始保费W（0）。合同价格，g到期日T=1/gλ（DB1）λ（DB2）eλ4%25.00 18.90 20.14 32.555%20.00 13.34 14.14 24.856%16.67 10.84 11.46 20.967%14.29 9.67 10.23 18.628%12.50 8.23 8.82 17.019%11.11 7.49 8.06 15.8210%10.00 6.89 7.43 14.9715%6.67 6.06 6.02 6.02 6.35 12.865表5：英国石油公司的公平分期付款（每季度一次，收益率为1.0%，每季度一次，收益率为1.1λ，收益率为DB4=1），女性人口。这一分期付款是在标准GMWB合同的持续公平费用之上的。其他参数为sam e，如表4所示。eλ是同一期限的单独人寿保险的分期费用，保险金额等于GMWDB的初始保费W（0）。5结论在本文中，我们给出了在被动（静态）和最优（动态）投保人行为下，具有GMWDB（即GMWB和GMDB组合特征）的可变年金的数值估值。

本质上，该合同同时涉及财务风险、死亡风险和联合国框架下决策方面的人类行为1015202530354045504 6 8 10 12 16每季度付款（bp）最小值保证撤回速度（%）生活保险maleFigure 3:GMWDB的公平分期付款费用λ（1bp=0.01%）与人寿保险的DB2死亡福利和λ相同，输入结果与表4中的结果相同。确实的事在最优保单持有人行为的情况下，我们将估值作为受控马尔可夫过程的随机控制问题进行计算和求解，即保单持有人基于提款日可用的账户信息进行最优提款。需要注意的是，为给定死亡时间（即，以知道死亡时间为条件）的动态GMWDB合同定价，然后根据死亡概率对不同的死亡时间进行平均，这将导致比动态GMWDB更高的价格，而动态GMWDB的决策基于撤回日期的可用信息。我们给出了不同死亡福利类型的GMWDB的一系列数值结果，并表明，在最优投保人行为的情况下，如果保持连续的费用结构，在GMWB合同中通常假设的连续费用结构，则在GMWB的基础上增加最低死亡福利的价格可能会对长期合同产生问题。事实上，对于一些长期债券，我们发现不能按财富账户价值的任何比例收取费用——没有办法将初始溢价与公平的债券价格相匹配。为了避免这一问题，产品设计可能会强制规定死亡福利担保到期，例如70岁。

另一方面，由于增加死亡抚恤金而产生的额外费用可以提前或定期分期收取，而且比购买单独的人寿保险更便宜。6.承认最后，我们感谢Juri Hinz对这个问题进行的有益讨论。这项研究得到了CSIRO莫纳什退休金研究集群的支持，CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、华威大学以及退休系统利益相关者的合作，以期为所有人带来更好的结果。参考巴西内洛，A.R.，米洛索维奇，P.，奥利维耶里，A.，和皮塔科，E.2011。可变年金：统一估值方法。《经济学与数学》，49（1），285-297。Bauer，D.，Kling，A.，和Russ，J.2008。可变年金最低保障收益的通用定价框架。ASTIN公告，38（2），621-65 1。贝奥勒，N.，里德，U.2011。马尔可夫决策过程及其在金融领域的应用。柏林斯普林格。陈，Z.，和福赛斯，2008年。一种脉冲控制公式的数值格式，用于在保证最低提取收益（GMWB）的情况下对可变年金进行定价。Numerischematik，109（4），535-569。戴，M.，郭，K.Y.，和宗，J.2008。可变年金中的最低保证支取金额。数学金融，18（4），595-611。Ledlie，M.C.，Corry，D.P.，Finkelstein，G.S.，Ritchie，A.J.，Su，K.，和Wilson，D.C.E.2008。变化无常。《英国精算杂志》，14（2），327-389。朗斯塔夫，F.，和施瓦茨，E.2001。通过模拟评估美式期权：一个简单的lieast Squares方法。《金融研究回顾》，14113–147。罗，X.，和舍甫琴科，P.V.2014a。使用三次样条插值上的高斯-埃尔米特求积快速简单地定价奇异期权。发表在《金融工程杂志》上。罗，X.，和舍甫琴科，P.V。

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