大型投资组合风险的稳健推断

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英文标题：
《Robust Inference of Risks of Large Portfolios》
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作者：
Jianqing Fan, Fang Han, Han Liu, Byron Vickers
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a bootstrap-based robust high-confidence level upper bound (Robust H-CLUB) for assessing the risks of large portfolios. The proposed approach exploits rank-based and quantile-based estimators, and can be viewed as a robust extension of the H-CLUB method (Fan et al., 2015). Such an extension allows us to handle possibly misspecified models and heavy-tailed data. Under mixing conditions, we analyze the proposed approach and demonstrate its advantage over the H-CLUB. We further provide thorough numerical results to back up the developed theory. We also apply the proposed method to analyze a stock market dataset.
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中文摘要：
我们提出了一个基于bootstrap的鲁棒高置信水平上界（robusth-CLUB），用于评估大型投资组合的风险。所提出的方法利用了基于秩和分位数的估计器，可以被视为H-CLUB方法的稳健扩展（Fan等人，2015）。这样的扩展允许我们处理可能错误指定的模型和重尾数据。在混合条件下，我们分析了所提出的方法，并证明了其优于H-CLUB。我们进一步提供了完整的数值结果来支持已发展的理论。我们还将所提出的方法应用于股票市场数据集的分析。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：投资组合风险 投资组合 Quantitative Optimization Multivariate

大型PortfoliosJianqing Fan风险的稳健推断*, Fang Han+、Han Liu和Byron Vickers§¨2015年1月10日摘要我们提出了一种基于自举的稳健高信心水平上限（RobustH CLUB），用于评估大型投资组合的风险。所提出的方法利用了基于银行和分位数的估计器，可以被视为H-CLUB方法的稳健扩展（Fan等人，2015）。这样的扩展使我们能够处理可能的错误模型和重尾数据。在混合条件下，我们分析了所提出的方法，并证明了其优于H-CLUB。我们进一步提供了完整的数值结果来支持已发展的理论。我们还将所提出的方法应用于股票市场数据集的分析。关键词：高维；稳健推理；排名统计；分位数统计；风险管理；协方差矩阵。1.引言让我们，RTbe是一个具有Rt的平稳多元时间序列∈ Rd表示时间t时的资产周转率∈ 作为一个投资组合分配向量，我们将风险定义为风险（w）：=（Var（wTRt））1/2=（wT∑w）1/2，*普林斯顿大学运营研究与金融工程系，普林斯顿，NJ08544，美国；电子邮件：jqfan@princeton.edu.他的研究得到了NSF拨款DMS-1406266和NIH拨款R01GM100474-04的支持。+美国马里兰州巴尔的摩约翰霍普金斯大学生物统计学系，邮编：21205；电子邮件：fhan@jhu.edu.他的研究得到了谷歌奖学金的支持普林斯顿大学运营研究与金融工程系，普林斯顿，NJ08544，美国；电子邮件：hanliu@princeton.edu.他的研究得到了NSF职业奖获得者DMS1454377、NSF IIS1408910、NSF IIS1332109、NIH R01MH102339、NIH R01GM083084和NIHR01HG06841的支持。§美国普林斯顿大学运营研究与金融工程系，普林斯顿，NJ08544；电子邮件：bvickers@princeton.edu.

他的研究得到了NIH 2R01-GM072611-10的支持。我们感谢邱慧彤的讨论。式中，∑表示Rt的未知波动率（或协方差）矩阵，即，∑：=e（Rt）- ERt）（Rt- ERt）T.评估投资组合的风险包括两个步骤：首先，我们需要一个协方差矩阵estimatorb∑est；其次，我们基于b∑est构造了wT∑w的置信区间。当d较大时，评估风险（w）具有挑战性。例如，给定2000个候选资产池，波动率矩阵∑涉及200多万个参数。然而，对于日收益率数据，在一年半的时间里，样本量通常不超过500。这是一个典型的“小n大d”问题，导致估计误差累积（Jagannathan和Ma，2003年；Pesaran和Zaff aroni，2008年；Fan等人，2012年）。为了处理维数灾难，在估计∑时采用了更多的结构正则化。例如，Fan et al.（2008）和Fan et al.（2013）将因子模型结构应用于协方差矩阵。假设的因子结构减少了必须估计的参数数量。此外，Ledoit和Wolf（2003）提出了∑的收缩估计。此外，Barndor ff-Nielsen（2002）、Zhang等人（2005）和Fan等人（2012）考虑基于高频数据估计∑。其他文献包括张和蔡（2010年）、戈米兹和盖隆（2011年）、赖等（2011年）、范等（2011年）、白和廖（2012年）和弗莱兹列维奇（2013年）。然而，这些论文大多侧重于风险估计，而不是不确定性评估。为了构建wT∑w的置信区间，Fan等人（2012）建议使用kwkkb∑est-∑kmaxa是| wT（b∑est）的上界-∑）w |。然而，这个界依赖于未知的∑，并且在数值研究中被证明过于保守。为了解决这个问题，Fan等人。

（2015）进一步利用多个基于样本协方差的估计器b∑estof∑，并提出| wT（b∑est）的高置信水平上界（H-CLUB）- ∑）w |：对于给定的信任级别1-γ、 在时间序列的某些矩和依赖性假设下，证明了导出的H-CLUB支配| wT（b∑est）- ∑）w |概率近似为1- γ随着T和d增加到单位。本文针对高维不确定性提出了新的高维风险评估方法。特别是，当资产返回R，…，时，我们推导出WT∑w的置信区间，它们呈椭圆形分布。这一设置已被金融计量经济学普遍采用（续，2001年）。为了处理重尾数据，我们提出了一种新的风险不确定性评估方法，称为鲁棒高密度上界（鲁棒H-CLUB）。鲁棒H-CLUB利用一种新的基于区块引导的风险（w）不确定性评估方法。更具体地说，我们将评估风险wT∑w的问题分解为两部分：（i）我们提出了稳健估计B∑Est。我们将提供向量`norm（k·k）和矩阵`maxnorm k·kmaxlater的定义。∑；（ii）我们推导了wT（b∑est）的方差- ∑）w.对于∑的估计，我们利用了基于Rankbase Kendall的tau估计和基于分位数的中值绝对偏差估计。预测wT（b∑est）的方差- ∑）w，我们采用圆形块引导法（Politis and Romano，1992）。理论上，当T，d→ ∞ d可能比T大很多，我们发展了稳健风险估计的微分理论。特别是，我们展示了√T wT（b∑est）-∑）wis渐近正态，方差σ，基于块自举的估计量bσestofσ是一致的。即使当d几乎以指数形式大于T时，该理论仍然成立。此外，它适用于任何椭圆模型。

因此，我们不再需要资产收益的强矩条件（例如，分布尾部的指数衰减率）。1.1其他相关工作有大量关于估算大型稀疏/基于因子的协方差矩阵的文献。在数据点相互独立的假设下，提出了许多基于样本协方差的规则化方法，包括分带（Bickel和Levina，2008b）、渐缩（Cai等人，2010）、阈值（Bickel和Levina，2008a；Cai和Zhou，2012）和因子结构（Fan等人，2008；Agarwal等人，2012；Hsu等人，2011）。他们进一步应用于研究向量自回归依赖（Loh and Wainwright，2012；Han and Liu，2013c）、混合条件（Pan and Yao，2008；Fan et al.，2011，2013；Han and Liu，2013b）和物理依赖（Xiao and Wu，2012；Chen et al.，2013）下的平稳时间序列数据。本文还与在错误指定或重尾模型下估计大相关/协方差矩阵的文献有关。例如，韩和刘（2014b）、韩和刘（2013a）、韦坎普和赵（2013）、米特拉和张（2014）以及范等人（2014）利用了排名统计，而邱等人（2014）则关注分位数统计。这些工作中没有一个像本文那样研究风险推理问题。1.2符号设v=（v，…，vd）为d维实向量，M=[Mjk]为d乘d实矩阵。对于0<q<∞, 让向量\'qnorm为kvkq:=（Pdj=1 | vj | q）1/qand`∞正常∞:= maxdj=1 | vj |。对于两个子集I，J∈ {1，…，d}，我们用I索引的项表示v的子向量，用I和J索引的行和列表示M的子矩阵表示v的子向量。我们用kMkmax表示M的矩阵`maxnorm:=maxjk | Mjk |。让N=[Njk]∈ Rd×dbe另一个d×d实矩阵，我们用M表示o N=[MjkNjk]M和N之间的哈达玛积。

f:R→ R是实函数，用f（M）=[f（Mjk）]表示以f（Mjk）作为其（j，k）项的矩阵。我们写M=diag（M，…，Mk），如果M是对角矩阵M，…，的块对角，对于随机向量X，Y∈ 如果X和Y分布相同，我们写Xd=Y。在整个论文中，我们使用c，c，c，C，C，C。表示一般绝对正常数，实际值可能在一行到另一行之间发生变化。对于任何真正的正序列{an}和{bn}，如果我们有一个≥ 对于绝对常数和足够大的n，我们写一个。如果我们有bn&an和 如果是的话。bnandan&bn。暂时∈ R、 我们将dae和bac分别定义为大于a的最小整数和小于a的最大整数。1.3论文组织本文其余部分的组织如下。第2节介绍了用于评估投资组合风险不确定性的稳健H-CLUBestimator。我们考虑三种情况：（i）收益的边际方差已知；（ii）边际方差未知，但有助于确定值的额外信息；（iii）边际方差未知，没有其他可用信息。第3节介绍了风险估计器的参考理论，并对稳健H俱乐部的使用进行了论证。第4节和第5节介绍了支持已开发理论的合成和真实数据分析。第6节总结了结果并讨论了未来的工作。第7节给出了所有的证据。2鲁棒H-CLUB本节介绍鲁棒H-CLUB方法。我们考虑资产收益率的多元时间序列R，Rt1，…，Rtd）T∈ 对于t=1，T设∑：=Cov（Rt）为协方差矩阵，D∈ Rd×dbe是对角线∑1/2，∑1/2dd。

很容易推导出∑=D∑D，其中∑是Rt的相关矩阵。对于给定的投资组合分配向量w∈ Rd，我们的目标是为WT∑w构建一个置信区间。在本节中，我们的兴趣是分析重尾收益，这在金融应用中很常见。我们利用椭圆分布族来模拟重尾数据。椭圆分布通常用于金融数据建模（Owen和Rabinovitch，1983年；Hamada和Valdez，2004年；Frahm和Jaekel，2007年）。更具体地说，是一个随机向量∈ Rd服从平均μ的椭圆分布∈ Rd和正定义协方差矩阵∑∈ Rd×difZd=u+ξAU，其中A∈ Rd×Dsaties AAT=∑，U∈ RDI均匀分布在d维球体Sd上-1，ξ是一个非特定的非负随机变量，独立于U满足eξ=d。我们对{Rt}Tt=1施加以下平稳假设：o（A0）。RR是连续的，且以椭圆随机向量R的形式同分布，协方差和相关矩阵∑和∑。对于参数估计，我们定义了基于秩的Kendallτ相关系数和基于分位数的中值绝对偏差估计器。具体来说，考虑到R，RT，样本和总体Kendall的τ矩阵Bt=[bτjk]和T=[τjk]定义为bτjk:=T（T- 1） Xt<tsign（Rtj- Rtj）标志（Rtk）- Rtk），τjk:=设计（Rj）-eRj）标志（Rk）-eRk），（2.1）式中，R=（R，…，Rd）TandeR=（eR，…，eRd）是R的两个独立副本。在椭圆模型下，Kendall的τ矩阵T和相关矩阵∑满足（Lindskogetal.，2003）∑jk=sinπτjk. （2.2）接下来，我们定义了基于分位数的标度参数中值绝对偏差估计器。我们从一些额外的符号开始。让X∈ R是一个随机变量，{X，…，XT}是X的T个实现。

任何问题∈ [0,1]，我们定义了总体和样本q分位数asQ（X；q）：=infx:P（x）≤ 十）≥ Q,bQ（{Xt}；q）：=X（k），其中k=minnt:tT≥ qo。（2.3）此处X（1）≤ X（2）≤ ··· ≤ X（T）是X，…，的有序序列，XT。然后，我们将{X，…，XT}的总体和样本绝对偏差中位数定义为中心数据绝对值的总体和样本中位数。形式定义如下：σM（X）：=QN十、- Q十、o；,bσM（{Xt}Tt=1）：=bQNXt-bQ{Xt}Tt=1；oTt=1；. （2.4）它们是总体和样本标准偏差的可靠替代品。特别是，对于椭圆分布的随机向量R=（R，…，Rd）T，Han等人（2014）证明了σM（R）sd（R）=σM（R）sd（R）=····=σM（Rd）sd（Rd），（2.5）设F和F是X的分布函数和密度函数。我们将交换地使用Q（X；Q）、Q（F；Q）和Q（F；Q）。其中，对于任意随机变量X，sd（X）代表X的标准偏差。在椭圆模型下，使用基于秩和分位数的估计量，我们提出了三种稳健的方法来构造wT∑w的置信区间。正式地说，对于每个提出的稳健协方差矩阵估计量B∑estand和任何给定的γ>0，我们的目标是找到一个（γ），使得wT∑w∈wTb∑estw-bUest（γ），wTb∑estw+bUest（γ）→ 1.- γ、 作为T，d→ ∞. 提出的方法对应于D具有不同结构的三种情况。值得注意的是，这三种方法的主要策略是分别估计边际标准差和二元相关系数。在本文中，我们着重于测量在估算相关系数时引入的不确定度，同时假设在估算边际标准偏差时引入的不确定度可以忽略不计。

为了测量相关系数估计的不确定度，我们采用了圆形块引导法。详细地说，假设我们导出了稳健的边际标准差估计量bdestofd。我们进一步推导了基于d维多变量时间序列X，XT。对于任意给定的投资组合分配向量w，我们建议估计wT∑w bydRisk（w）：=wTb∑estw，其中B∑est:=bDestb∑estbDest。（2.6）为了估计估计量wTb∑estw的渐近方差，我们采用了Politis和Romano（1992）提出的循环区块引导过程。首先，我们扩展sampleX，通过将Xi+T=Xi连接到i≥ 1.然后我们随机选择一块l=lT T1-某个绝对常数的扩展样本的连续观测< 1（例如，我们可以选择为0.9）。由于金融时间序列具有弱依赖结构，块大小l的选择不是很重要。我们独立地重复该过程b=bT/lc次，以获得样品X*, . . . , 十、*T、 所以对于eachk=0，B- 1，P*十、*kl+1=Xj，十、*（k+1）l=Xj+l-1.= 1/T，对于j=1，T、 P在哪里*在条件分布上，重采样是，XT。基于每个重新采样的时间序列X*, . . . , 十、*T、 我们计算了相关矩阵估计量b∑*美国东部时间。Letb∑*est:=bDestb∑*Estbdest是基于重采样数据和Var的∑估计量*这主要是为了构建基于bootstrap的推理理论。概率质量函数P的方差算子*. 我们用bσest:=Var估计wTb∑estw的渐近方差*(√T wTb∑*2.1已知边际挥发度在本节中，我们考虑Rt的边际标准偏差（编码为）已知的设置。

虽然这是一个理想的假设，但实际的实现是将一个参数模型（如Bollerslev（1986）中引入的GARCH（1,1）模型）应用于双收益时间序列。这样的估计比非参数估计要准确得多，可以理想地视为已知。当D已知时，估计wT∑w简化为估计相关矩阵∑。利用（2.2），在椭圆模型下，我们重点研究了协方差矩阵估计量b∑，其中b∑：=D sinπbT/2D.然后，我们通过（2.6）中的replacingb∑estbyb∑估计wT∑w。设bσbean估计wTb∑w的渐近方差σ。我们基于前面介绍的循环块bootstrap方法计算bσ。设Φ（·）为标准高斯随机变量的累积分布函数。对于任何给定的1级置信度- γ ∈ （0,1），我们定义了鲁棒H-俱乐部估计量Bu（γ）asbU（γ）：=Φ-1(1 - γ/2）pbσ/T。（2.7）风险的相应置信区间为wTb∑w-bU（γ），wTb∑w+bU（γ）. （2.8）在第3节中，我们将证明，在温和条件下，bσ=σ（1+oP（1））和Pn | wT（b∑）- ∑）w|≤bUτ（γ）o→ 1.- γ、 随着T和d进入实体。因此[wTb∑w-bU（γ），wTb∑w+bU（γ）]是一个有效水平（1-γ） 覆盖真实wT∑w.2.2额外数据的100%区间本节考虑了有可用历史数据用于估计D的设置。为了适应当前市场条件，我们通常选择一个短时间序列，以便资产回报率大致稳定。然而，与多变量时间序列相比，每个单变量时间序列在更长的时间尺度上很可能是平稳的，因此我们可以在计算边际标准差时加入额外的信息。受此启发，我们考虑了一个历史信息可用的环境。我们不假设历史数据是多变量平稳的，而只是略微平稳。正式地说，让R。