金融资产结构模型的估值算法

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英文标题：
《Valuation Algorithms for Structural Models of Financial
  Interconnectedness》
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作者：
Johannes Hain, Tom Fischer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Much research in systemic risk is focused on default contagion. While this demands an understanding of valuation, fewer articles specifically deal with the existence, the uniqueness, and the computation of equilibrium prices in structural models of interconnected financial systems. However, beyond contagion research, these topics are also essential for risk-neutral pricing. In this article, we therefore study and compare valuation algorithms in the standard model of debt and equity cross-ownership which has crystallized in the work of several authors over the past one and a half decades. Since known algorithms have potentially infinite runtime, we develop a class of new algorithms, which find exact solutions in finitely many calculation steps. A simulation study for a range of financial system designs allows us to derive conclusions about the efficiency of different numerical methods under different system parameters.
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中文摘要：
系统性风险的许多研究都集中在违约传染上。虽然这需要理解估值，但专门讨论相互关联金融系统结构模型中均衡价格的存在性、唯一性和计算的文章较少。然而，除了传染研究之外，这些主题对于风险中性定价也至关重要。因此，在这篇文章中，我们研究并比较了债务和股权交叉所有权标准模型中的估值算法，这一模型在过去15年的几位作者的工作中得到了明确体现。由于已知算法的运行时间可能是无限的，我们开发了一类新算法，这些算法在有限多个计算步骤中找到精确解。通过对一系列金融系统设计的模拟研究，我们可以得出不同系统参数下不同数值方法效率的结论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Valuation_Algorithms_for_Structural_Models_of_Financial_Interconnectedness.pdf (461.53 KB)

2022-5-7 09:53:15 上传

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关键词：结构模型 资产结构 金融资产 Quantitative Applications

金融关联结构模型的估值算法Johannes Hain和Tom Fischer*+伍尔茨堡大学2015年1月30日系统性风险的许多研究都集中在违约传染上。虽然这需要理解估值，但专门讨论互联金融系统结构模型中均衡价格的存在性、唯一性和计算的文章较少。然而，除了传染病研究之外，这些话题对于风险中性公关来说也是必不可少的。因此，在本文中，我们研究并比较了债务和股权交叉所有权标准模型中的估值算法，这一模型在过去15年的几位作者的工作中得到了具体体现。由于已知算法具有潜在的有限运行时间，我们开发了一系列新算法，可以在许多计算步骤中找到精确解。通过对一系列金融系统设计的模拟研究，我们可以得出不同系统参数下不同数值方法效率的结论。关键词：交易对手风险、金融互联性、金融网络、数值类估值、结构模型、系统风险。JEL分类：G12、G13、G32、G33MSC2010:91B24、91B25、91G20、91G40、91G50、91G60*德国伍尔茨堡大学数学研究所，阿姆胡布兰德，97074伍尔茨堡。电话：+499313184869。通讯作者的电子邮件地址：johannes。hain@uni-伍尔茨堡。de+作者感谢Roger Nussbaum提供关于定点问题的背景信息。内容1。导言22。符号和模型假设33。非有限算法it hms 83.1。Picard算法。83.2. Elsin-ger算法。93.3. 一种混合算法。

. . . . . . . . . . . . . . . . 154.有限算法214.1。减少试错算法。234.2. 不断增加的试错算法。254.3. 三明治算法。275.模拟研究295.1。金融体系的总体结构。295.2. 滞后值的影响。315.3. 算法效率比较。346.摘要37A。附录38A。1.证明和辅助结果。38A。2.附加表格和模拟结果。411.导言自世纪之交以来，对系统性金融风险的研究兴趣稳步增长，过去五年的出版数量显著增加。人们感兴趣的一个主要领域是违约传染，例如，参见Acemoglu等人（2013）、Elliott等人（2013）、Gai等人（2011）和Nier等人（2007）的著作，或Staum（2012）的调查。许多关于系统性风险的出版物都提到了艾森伯格和诺伊（2001）的开创性工作，这是第一个在非物质文化遗产企业可以在有限责任的假设下将彼此的财务义务作为资产持有的结构模型财务系统。然而，伊森伯格和德诺模型的核心思想，可以被解释为默顿（1974）模型的多公司扩展，其中允许系统成员之间交叉持有零息票债务，受到研究界的关注较少。

Eisenberg和Noe与标准的多功能默顿模型之间的主要区别在于，由于一家公司的股权或债务价值可能取决于系统中任何其他公司的债务价值，因此到期价格的确定并不简单。Eisenberg和Noe（2001）给出了在成熟期只有一个平衡解存在的条件。结合他们提供的有限数值算法，该模型不仅可用于违约传染研究，还可用于金融互联性下的风险中性无套利估值（另见Fischer，2014）。Elsinger（2009）将艾森伯格和Noe制度进行了推广，包括交叉持股，并允许债务的资历结构。然而，提供了一个数值算法，无法保证均衡价格向量的有限步数。早在2002年，Teruyoshi Suzuki就在他不知道的情况下将Eisenberg和Noe的设置推广到了一种情况，即一个资历的债务和股权可以在一个金融系统内交叉拥有（Suzuki，2002）。与Eisenberg和Noe（2001）和andElsinger（2009）不同，铃木明确打算推广Merton（1974），提供了Picard迭代作为计算价格均衡的数值方法。菲舍尔（2014）对铃木的安·德·埃尔辛格的工作进行了进一步的概括，将互联性的结构模型扩展到债务可以是衍生工具的情况，即依赖于系统中的其他债务或股权。正如Suzuki（2002）所述，为解决到期清算价值方程而提供的数值程序是Picard迭代。

然而，不幸的是，Picard迭代无法保证在很多步骤中都能得到精确解。因此，虽然对具有金融互联性的系统中价格均衡的存在性和唯一性有少量但越来越多的研究，但提供的算法主要反映了个别作者对该问题的特殊方法。例如，Gouri’eroux等人（2013年）的一份出版物提到，在具有两个债务优先权但没有股权的Elsinger模型中，可以采用单纯形方法。然而，现有文献中似乎没有对不同方法进行比较研究。此外，目前还没有一种数值算法能够在有限的计算步骤内达到精确解，即交叉持有股权和一种优先级别债务（Suzuki，2002；Elsinger，2009；Gourieroux等人，2012）。基于这些原因，本文有三个主要目标。首先，我们希望通过统一符号并将其嵌入一个通用模型框架中，对现有的估值算法进行概述。其次，我们提出了一种新的算法，它是艾森伯格、诺伊和埃尔辛格方法的混合，具有改进的收敛性。第三，我们介绍了一系列基于三种不同类型（即Picard、Elsinger和Hybrid）的算法版本，它们将在有限的计算步骤中获得精确解（如果存在且唯一）。通过介绍这些新算法，我们可以看出，对于这三种类型的算法，总是存在递增和递减的版本，这取决于正确选择（并明确给出）的起点。此外，我们使用默认集技术和线性化技术来实现一致性。

通过模拟研究，最终可以得出一些关于所提出的数值算法在模型参数（如系统尺寸）方面的效率的结论。本文的结构如下。在下一节中，我们将为金融系统的独特解决方案建立模型和必要假设。第3节介绍了Suzuki（2002）和Elsinger（2009）现有的估值方法，其中还开发了Eisenberg和Noe（2001）以及E lsinger（2009）算法的混合版本。本节的算法都是不确定的。在第四部分中，我们介绍了一类新的基于默认集技术的估值算法，这些算法可以在有限时间内找到解决方案。第5节中的模拟研究比较了金融系统不同等级的不同算法的运行时。在第6节中，我们得出结论。技术附录如下。2.两个矩阵M=（Mij）i，j=1，…，的符号和模型假设，。。。，N∈ Rn×nand N=（Nij）i，j=1，。。。，N∈ Rn×nwe写M≥ Nif Mij≥ 尼杰，我∈ 如果至少一对（i，j）的Mij>nij，则为{1，…，n}和M>n。对于两个向量u=（u，…，un）t∈ Rnand v=（v，…，vn）t∈ 美国的定义≥ v和u>v类似于上述矩阵的约定。矩阵M∈ 如果Mij≥ 0代表我，j∈ {1，…，n}和ifPni=1Mij≤ 1为所有j∈ {1，…，n}。符号用于n×n-id实体矩阵，0用于长度为n且仅包含零的（列）向量。

此外，对于只有零个条目的（n×n）-矩阵，可以使用0n×n命令。对于向量u∈ Rn，表达式diag（u≤ 0n）表示（n×n）对角矩阵，其中第i项为1≤ 0和0，否则，即diag（u≤ 0n）=（1，表示i=j和ui≤ 0，0，否则。（1） 所有操作，如最小值、最小值{·}、最大值、最大值{·}或正部分（·）+都是按元素应用于向量和矩阵。本文的标准是l-定义为askxk的标准：=kxk=nXi=1 | xi |代表x∈ 注册护士。（2） 左次随机矩阵M的对应范数∈ Rn×nis由kMk给出：=kMk=maxkxk=1kMxk=maxjnXi=1Mij≤ 1，（3）表示kMk是列和的最大值。可以很容易地证明kMxk≤kMkkxk。我们考虑一个由n个金融实体组成的系统，并表示n={1，…，n}。在下文中，这些实体简称为“企业”。每家公司都拥有外部资产，这些资产将在下一步确定。1。让ai≥ 0表示企业i持有的外生资产的市场价值。顾名思义，这些资产的定价不在考虑的体系内，因为企业的资本结构对此类资产的定价机制没有影响。Bya=（a，…，an）t∈ （R+）nwe表示外部资产的（列）向量。此外，我们假设各公司的未偿负债在到期时的票面价值为Di。这些负债汇总在向量d中∈ 在我们的框架中，我们假设d的条目是常数。由于假设外生资产的价格由常数向量a给出，因此，如果d依赖于a，即如果d=d（a），则第2至第4节中给出的本文结果也成立。然而，为了方便起见，对于剩余的f，我们将写d。

负债向量的这种定义允许解释diare简单贷款或零息债券，因为它们不是可以依赖于系统内其他资产的衍生品。该领域的大多数现有出版物都使用了固定负债的情况，例如Su zuki（2002年）、Gourieroux等人（2012年）和Elsinger（2009年）。文献中也讨论了d依赖于内生资产等更一般的情况（见Fischer，2014）。考虑到企业之间的相互关联性，我们允许每家企业拥有其他企业的部分负债。为了将这些可能的交叉持股形式化，我们使用了nership矩阵。2。左亚随机矩阵Md∈ Rn×nin哪个条目是0≤ Mdij≤ 1债务i公司在j公司负债中所占的份额称为债务所有权矩阵。由于不允许任何公司对其自身承担债务，我们假设所有i∈ N（左次随机）股权矩阵的条目Msijo∈ Rn×NAR定义为i公司拥有j公司股权的比例。请注意，MSM的对角线条目不得为零；这意味着在Msii>0的情况下，允许其持有自己的股份。对于债务所有权矩阵而言，通常的惯例是（参见Eisenberg和Noe（2001）或Elsinger（2009））Mdii=0，因为a FIR m本身不承担债务义务。元组F=（a，d，Md，Ms）有时在下文中被称为金融系统。与责任向量相关，我们考虑恢复索赔向量r∈ （R+）n.恢复索赔向量代表公司到期时的实际付款，即通常我们有rk≤ 因为存在违约风险。

因此，公司i对公司j的债务索赔价值由Mdijrjan给出，公司i对系统其他成员的债务索赔总价值isPnj=1Mdijrj。此外，用s表示∈ （R+）n家公司的等值，这意味着mi拥有的所有系统内生资产的总回收价值由MDR+Mss的第i个条目给出。（4） 该模型的基本假设是，权益被视为剩余索赔，这意味着任何未偿债务必须在股东收到正付款之前全部付清。因此，当且仅当i公司能够完全满足其所有权利人的要求时，i公司的股权价值为正。绝对优先权规则立即导致以下回收索赔和权益的清算价值方程式（参见Fischer，2014）：r=min{d，a+Mdr+Mss}（5）s=（a+Mdr+Mss- d） +，（6）其中（5）中的和不包含（·）+，因为定理1将证明这个系统的所有解都是非负的。因此，清算值方程（5）和（6）的解是映射Φ：（R+）2n的执行点→ （R+）2n，其中R=（rt，st）t∈ （R+）和Φ（R）=Φrs=min{d，a+Mdr+Mss}（a+Mdr+Mss- d）+. （7） 我们有时会提到R的债务成分，在这种情况下，指代表系统债务支付的R的前n个成分。出于同样的原因，Rwe的n+1到2n分量也被称为权益分量。我们有兴趣找到Φ的固定点，我们也将其称为金融系统F=（a、d、Md、Ms）的解决方案。如果没有进一步的限制，可能存在多个固定点。为了确保解是唯一的，我们必须做一个额外的假设，在这个假设中我们需要一个新的能量矩阵的另一个性质。3。

所有权矩阵M∈ 如果不存在子集J，则Rn×n具有Elsinger属性 N苏志伟∈JMij=1表示所有j∈ J（8） 之所以选择该地产的名称，是因为据作者所知，Elsinger（2009）是第一个将这一假设应用于ow nership矩阵和系统风险评估的公司。在我们的模型中，我们要求考虑的所有权矩阵填充该房产。假设1。Elsinger财产持有债务和股权所有权矩阵Md。请注意，Md和Msare持有矩阵的事实等同于- （医学博士）-1和（在- Ms）-1，如Elsinger（2009）所示。此外，下面的定理1将表明假设1确保Φ只有一个固定点。为了展示这一点，我们介绍了两个向量=rgreatsgreat=d（英寸）- Ms）-1（a+Mdd）- d）+（9） 安德斯梅尔=rsmallssmall=min{d，a}（a）- d）+（10） 向量r假设债务完全收回，因此在债务分量r=d中。注意，即使对于固定点r*=R*s*当然，它认为*= d、 它不一定能保持Rgreat=R*. 当应用液化方程式（5）和（6）且完全忽略负债和公平的所有者结构时，第二个向量Rs会合并。在这种情况下，代表每个企业因债务和股权交叉所有权而产生的收入的术语Mdr+Mss设置为零。因此，企业只有作为收入的外生资产。向量rsmall是将等式（7）中的映射Φ应用于向量02n的结果，即Φ（02n）=Φnn=min{d，a}（a）- d）+= Rsmall。（11） 引理1。根据上述定义，它认为Φ（[Rsmall，Rgreat]） [Rsmall，Rgreat]。证据假设R∈ [Rsmall，Rgreat]。因为（11）和Φ的单调性，我们得到了Φ（R）≥ Rsmall。