流动性成本：一种新的数值方法与实证研究

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英文标题：
《Liquidity costs: a new numerical methodology and an empirical study》
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作者：
Christophe Michel, Victor Reutenauer, Denis Talay and Etienne Tanr\\\'e
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider rate swaps which pay a fixed rate against a floating rate in presence of bid-ask spread costs. Even for simple models of bid-ask spread costs, there is no explicit strategy optimizing an expected function of the hedging error. We here propose an efficient algorithm based on the stochastic gradient method to compute an approximate optimal strategy without solving a stochastic control problem. We validate our algorithm by numerical experiments. We also develop several variants of the algorithm and discuss their performances in terms of the numerical parameters and the liquidity cost.
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中文摘要：
我们考虑在存在买卖差价成本的情况下，以固定利率对浮动利率支付的利率互换。即使是简单的买卖价差成本模型，也没有明确的策略来优化对冲误差的预期函数。本文提出了一种基于随机梯度法的有效算法，在不求解随机控制问题的情况下计算近似最优策略。通过数值实验验证了算法的有效性。我们还开发了算法的几种变体，并从数值参数和流动性成本方面讨论了它们的性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Liquidity_costs:_a_new_numerical_methodology_and_an_empirical_study.pdf (714.18 KB)

2022-5-7 09:59:18 上传

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关键词：数值方法 实证研究 流动性 Applications Quantitative

流动性成本：一种新的数值方法及实证研究*Christophe Michel、Victor Reutenauer、Denis Talayand Etienne Tanré2018年11月9日关键词：利率衍生品、优化、随机算法。我们考虑在存在买卖差价成本的情况下，以固定利率支付浮动利率的利率互换。即使是简单的买卖成本模型，也没有明确的策略来优化套期保值误差的预期函数。本文提出了一种基于随机梯度法的高效算法，在不求解随机控制问题的情况下计算近似最优策略。我们通过数值实验验证了我们的算法。我们还开发了算法的几种变体，并从数值参数和流动性成本方面讨论了它们的性能。1简介金融数学中的经典模型通常假设市场是完全流动的。特别是，每个交易者都可以以相同的价格（即“市场价格”）买卖他/她所需的资产金额，而且交易者的决定不适用于notCA CIB，christophe。michel@ca-cib。comFotonower（前CA-CIB），victor@fotonower.comInria丹尼斯。Talay@inria.fr，艾蒂安。Tanre@inria.fr*这项工作由Inria Tosca团队与农业信贷银行利率和混合定量研究团队之间的合作合同发布。影响资产价格。在实践中，完美流动性的假设永远无法满足，但相对于模型误差或校准误差等其他误差来源，由于流动性不足而产生的误差通常可以忽略不计。然而，完美流动性假设在利率衍生品市场的实践中并不成立：对冲利率衍生品的流动性成本是高度时变的。

即使存在零耦合债券具有流动性的到期日，中间到期日的债券可能流动性极低（请注意，基础利率不可直接兑换）。因此，对冲此类衍生品绝对需要考虑流动性风险。在这种情况下，定义和计算有效的近似完美对冲策略是一个复杂的问题。本文的主要目的是证明，在从业者需要在规定日期进行交易的约束条件下，以及相关策略依赖于一定数量的参数的情况下，随机优化方法是在不解决必要的高维随机控制问题的情况下处理该问题的强大工具。更准确地说，我们构造并分析了一种有效的初始数值方法，该方法提供了面对流动性成本和最小化对冲误差的实用策略。论文的概要如下。第2节介绍了该模型。第3节，我们介绍了我们的数值方法，并在高斯收益率曲线模型的框架内从理论角度对其进行了分析。第4节致力于理想化完美流动性背景下的数值验证。第五部分，我们对我们的算法在流动性成本方面的效率进行了实证研究。2我们的设置：具有流动性成本的掉期2。1关于无流动性成本的掉期和掉期期权套期保值的简短提示利率市场上最常见的掉期之一如下。Counter Parts兑换两张息票：第一张息票由债券（固定利率）生成，第二张息票由浮动利率（如LIBOR）生成。定义1。在一个完全流动的市场中，在t时刻支付1的零耦合债券在t时刻的价格用B（t，t）表示。

线性远期利率L（TF，TB，TE）是在TF时确定的公平利率。TF时确定通过在TB时投资1而在TE时获得的金额。满足以下关系：L（TF，TB，TE）=TE- 肺结核B（TF，TB）B（TF，TE）- 1.. （1） 掉期合同规定：o协议日期to时间线（t）≤) T<··<TNo固定利率ro浮动利率o每次支付Ti（1≤ 我≤ N） 也就是P（i）：=（Ti- 钛-1） （r）- L（Ti）-1，Ti-1，Ti）。（2） 从（1）中，我们推导出等价表达式p（i）=r（Ti）- 钛-1) -B（Ti）-1，Ti）+1。（3） 在续集中，我们认为固定利率r是在货币上选择的（因此，t时的掉期具有零值），并且掉期固定息票由交易商接收。在没有流动性成本的理想市场框架下，交易者以相同的价格（即市场价格）买入或卖出大量零息债券，并且存在一个独立于任何利率模型的离散时间完美对冲策略。鉴于（3），支付（i）时间的复制可分为三部分：o固定部分r（Ti）-钛-1） 通过出售r（Ti）在时间t静态复制-钛-1） 到期日为Ti.的零息债券涂层第1/B部分（Ti）-1，Ti）在Ti时动态复制-1购买1/B（Ti）-1.Ti）期限为Ti的零息债券。本次交易的价格等于1.o最后（固定的）第1部分用于购买到期日为Ti+1的1/B（Ti，Ti+1）零耦合债券。很容易看出，这一策略在T、TN、TN时是自我融资的-1.

为了使其在时间t时能够自我融资，在这个日期，一个人购买一张到期的零息债券，然后出售一张到期的零息债券。总之，在理想的框架下，我们不需要考虑（Fθ，θ≥0）调整的对冲策略，其中（Fθ，θ≥ 0）是观察（短期利率、衍生产品价格等）在连续时间内产生的过滤，我们可能会限制可接受的策略，以适应观察在时间{t，t，t，·TN}产生的过滤。2.2关于流动性成本市场的假设我们现在考虑流动性成本市场，需要精确我们的流动性成本模型。在所有续集中-Denotes t.假设2。我们认为-1.≤ j<i≤ N、 在Tjis时到期或出售的零耦合债券的π（j，i）的数量可根据（Rt，Rt，·，RTj）产生的过滤进行测量。这意味着，可采策略不依赖于两个期限日期stm和Tm+1之间的速率Rθ的演化。用ψ（T，U，π）表示π零息票债券的买入或卖出价格。在完全流动市场中，ψ（T，U，π）是线性函数B（T，U）π，其中B（T，U）定义为定义1。在存在流动性成本的情况下，ψ（T，U，π）变成π的非线性函数。假设3。对于所有的T和U，价格ψ（T，U，π）是一个C（R），是π从R到R的一对一的递增凸映射，ψ（T，U，0）=0。在上述假设下，当π>0时函数ψ为正，当π<0时函数ψ为负。在互换的背景下，我们设定ψi，j（π）：=ψ（Ti，Tj，π）（4），我们只考虑自我融资策略，即满足0≤ J≤ N- 1，X-1.≤k<jπ（k，j）+P（j）=Xj<i≤Nψj，i（π（j，i））。（5） 2.3优化目标在存在流动性风险的情况下，市场不再完整，操作人员需要制定一种策略，使套期保值误差的给定函数S（如arisk测度）最小化。

这种策略通常是通过求解随机控制问题来获得的。这些问题需要高复杂度的数值算法，但其速度太慢，无法在实际中使用。我们在这里提出了一种高效且原始的数值方法来计算近似最优策略。由于完美的套期保值会导致TN时刻的零投资组合，我们必须解决优化问题INFπ∈πE[S（Wπ）]，（6）其中Wπ是给定可容许策略集∏中策略π的终端财富（在时间TN）。3高斯框架下的套期保值误差最小化方法本节介绍的方法基于以下两个关键观察结果：（1）我们考虑具有有限秒矩的策略和投资组合，从而在L（u）内对某些概率度量u进行优化。Gram-Schmidt过程提供了可分离Hilbert空间L（u）的可数正交基B。我们的容许策略集∏是通过截断给定的基来获得的，这将先验的有限维优化问题（6）简化为infθ类型的有限维参数优化问题∈ΘEψ（θ，X），其中Θ是Rp的子集，X是给定的随机变量，ψ是θ的凸函数。（2） Robbins-Monro算法及其Chen扩展是数值求解此类优化问题的牛顿方法的随机替代方法。这些算法不需要计算dθEψ（θ，X）。它们基于θγ+1=θγ类型的序列- ργ+1θψ（θγ，Xγ+1），（7）式中（ργ，γ）≥ 1） 是递减序列和（Xγ，γ≥ 1） 是身份证。

分布为X的随机变量序列。我们在这里考虑在高斯收益率曲线的背景下交换的情况。从数学角度来看，这一假设具有局限性，但被广泛使用的利率模型所满足，如Vasicek模型、高斯有效模型或具有确定性波动性的HJM（Heath、Jarrow和Morton）模型（参见Gibson et al.（2010）和Musiela和Rutkowski（2005））。Babbs和Nowman（1999）的研究表明，使用三维高斯模型能够有效地确定利率产品的期限结构。3.1步骤1：可容许控制空间的有限维投影考虑高斯短速率模型（Rθ，θ≥ 0）：我们要么假设短期利率模型的动力学是给定的，要么假设它是从远期利率模型推导出来的，比如HJM的期限结构方法：参见Gibson等人（2010）中的等式（6.9），前提是远期利率波动是确定性的。在所有情况下，由此产生的债券价格模型都是对数正态的。根据假设2，每个控制π（j，i）都属于由（Rt，Rt，···，RTj）生成的高斯空间，或者，等价地，属于由`（j）+1个标准独立高斯随机变量G（0），G（1），··，G（`（j））（对于单因素模型，`（j）=jj，对于双因素模型，`（j）=2j+1等）生成的空间，以及由G（0），G（1）生成的空间的一个显式洛思法基，G（`（j））是`（j） Ym=0Hnm（G（m））√nm！（n，··，n`（j））∈N`（j）+1，（8）式中（Hn，N）≥ 0）是厄米多项式Hn（x）=(-1） nex/2dndxne-x/2（参见例如Malliavin，1995年，第236页）。因此，交易者购买的零息债券数量可以写为xn（j）∈N`（j）+1αN（j）（j，i）`（j）Ym=0Hnm（G（m））√nm！，n（j）=（n，··，n`（j）），（9），其中有限和具有有限意义。

现在，一种策略可以定义为一系列实数αn（j）（j，i）-1.≤ j<i≤ N-1和n（j）∈ N`（j）+1。为了能够解决有限维优化问题，我们截断序列（αn（j）（j，i））。然后，一个策略由若干实参数{αn（j）（j，i）定义，-1.≤ j<i≤ N- 1} 其中，对于所有j，n（j）属于n`（j）+1的有限子集∧（j）。交易者购买的零息债券的截断量π（j，i）=Xn（j）∈∧（j）αn（j）（j，i）`（j）Ym=0Hnm（G（m））√嗯！。（10） 我们将在第3.5节和第4.1节中讨论这种截断的效率及其收敛性。为了简化，我们用α=（αn（j）（j，i））i，j，n（j）表示优化inRp的参数（其中，对于每次截断（λ（j），j=-1,0，··，N-1） ，通过π（α）（或者，当不可能混淆时，简单地说是π）对应于向量α的对冲策略∈ Rp，见（10）。给定策略π=π（α），最终财富W（α）（在时间TN）满足W（α）=X-1.≤j<Nπ（α）（j，N）+P（N）=X-1.≤j<Nπ（j，N）+P（N）。（11） 问题（6）现在表述为：findα*就这样sW（α）*)= infα∈RpEsW（α）. （12） 3.2步骤2：随机优化使用自融资方程（5），可以将W（α）表示为α和（G（0），··，G（`（N）））的函数。因此，我们需要最小化Rp中参数α和随机向量（G（0），···，G（`（N））的确定性函数的期望。这些问题可以通过经典的随机优化算法进行数值求解，例如Robbins和Monro（1951）及其扩展（如Chen和Zhu，1986）的开创性工作中介绍的算法。我们请感兴趣的读者阅读经典参考文献《自由》（1997）；陈（2002）；库什纳和尹（2003）。在我们的上下文（12）中，Robbins-Monro算法（7）的工作原理如下。从Rp中任意初始条件α开始。

在步骤γ+1，给定最佳值α的电流近似值αγ*, 模拟独立的高斯随机变量（G（0）γ+1，··，G（`（N））γ+1）并计算最终财富W（αγ）。然后，通过归纳公式αγ+1=αγ更新参数α- ργ+1αS（W（αγ））, （13） 其中（ργ）是确定性递减序列。此外，可以使用Chen和Zhu（1986）对该算法的改进。让（Kl，l）≥ 0）是紧凑集的递增序列，例如KL Int（Kl+1）和limlKl=Rp，（14），其中Int（Kl+1）表示集合Kl+1的内部。假设初始条件α在K中，我们将l（0）=0。在（13）中的每一步γ，如果αγ+1∈ Kl（γ），我们设置l（γ+1）=l（γ），然后进入步骤γ+1。否则，即αγ+1/∈ Kl（γ），wesetαγ+1=α，l（γ+1）=l（γ）+1。这种修改避免了随机算法在第一步可能会崩溃，并且从理论角度来看，允许在比标准Robbins-Monro方法更弱的假设下证明其收敛性。3.3方法概述我们的设置o利率模型满足：所有0≤ j<N，存在一个整数`（j）和一个函数Φjsuch（Rt，Rt，··，RTj）L=Φj（Rt，G（0），··，G（`（j））。o对于所有0≤ j<N，有限截断集∧（j） N`（j）+1被给出且∧(-1)={0}.o 策略π=π（α）定义为α=（αn（j）（j，i），-1.≤ j<i≤ N-1，n（j）∈ ∧（j））。

更准确地说，在Tjisπ（j，i）=Xn（j）时到期或出售的零息债券的数量∈∧（j）αn（j）（j，i）`（j）Ym=0Hnm（G（m））√nm！，因为我≤ N- 1，（15）和π（j，N）是从自金融方程Xi<jπ（i，j）+P（j）=Xi>jψj，i（π（j，i））（16）中推导出来的（可能需要使用经典的迭代程序来数值求解该方程）一个是给出了紧集（Kl，l）的递增序列≥ 0）满足（14）和一系列参数（ργ，γ≥ 1） 减小到0。我们的随机优化算法假设参数αγ=（αn（j）γ（j，i），-1.≤ j<i≤ N-1，n（j）∈ λ（j））和lγ在步骤γ中给出。在步骤γ+1:1。模拟一个高斯向量（G（0）γ+1，··，G（`（N））γ+1）。从（15）和（16）推导出零息债券的数量：πγ+1（j，i）=Xn（j）∈∧（j）αn（j）γ（j，i）`（j）Ym=0Hnm（G（m）γ+1）√nm！，因为我≤ N- 1，从自金融方程Xi<jπγ+1（j，i）+P（j）=Xi>jψj，i（πγ+1（j，i））中得到πγ+1（j，N）。计算终端财富w（αγ）γ+1=Xj<Nπγ+1（j，N）+P（N）。更新参数αγ+1=αγ- ργ+1αhS（W（αγ）γ+1）i.5。如果αγ+1/∈ Klγ，设置αγ+1=α，l（γ+1）=l（γ）+1.6。3.4错误分析在本小节中，我们研究了第2步中使用的随机算法的收敛性（定理4）和收敛速度（定理6），当总步数趋于一致时。我们介绍一些符号。回忆（13）并写出αγ+1=αγ- ργ+1EhαS（W（αγ）γ+1）i- ργ+1δMγ+1+ργ+1pγ+1。（17） 这里，δMγ+1由δMγ+1=αS（W（αγ）γ+1）- 嗯αS（W（αγ）γ+1）i.（18）最后一项ργ+1pγ+1in（17）表示如果αγ+1，算法的重新初始化/∈ Kl（γ）即pγ+1固定为αγ+1=α。现在让我们回顾一下Lelong（2008，定理1）在我们的设置中获得的收敛定理。定理4。