路径相关风险下的最优衍生品清算时机

因此，如果我们设置k=max{exp（θ-rβ），K exp（r+σ/2）T, kb}，我们保证GαCal l（t，s）≤ GαCal l（0，s）<-bin[0，T]×k，∞), 从而满足定理2.4的条件（ii）。因此，T heorem 2.4应用并给出了呼叫延迟区域的有界性。由于股票可以被视为罢工K=0的看涨期权，因此命题6也适用于股票在特定时间范围内的最优清算。此外，我们注意到延迟区域可能为空，我们可以通过找到驱动函数的最大值来确定这种情况。作为一个例子，我们考虑具有惩罚函数ψ（（m）的股票的情况-St）+=（m-我们得到了不同场景下Gα的最大值=exp（θ）- 1.-R-αβ）如果exp（θ- 1.-R-αβ）<m，exp（θ）- 1.-rβ）如果exp（θ- 1.-rβ）>m，否则为m，以及相应的最大值max Gα=(β - α） ^s- α（m）- s*) 如果^s<m，β^sif^s>m，（β（θ）- 对数（m））- r） m否则，式中^s=exp（θ- 1.-R- αβ），^s=exp（θ）- 1.-rβ）。因此，当且仅当max Gα>0时，延迟区域是非空的。图5显示了α=0（左图）和dα>0（右图）时，库存的最佳液化界限ary。我们注意到，在这两种情况下，最佳策略都是在价格足够高的情况下立即出售。直觉上，如果STI很高，预计将恢复到长期平均水平，因此销售立即成为最佳。然而，如果STI较低，最佳行为取决于参数α。一方面，STI预计会增加，因此投资者应该等待以更好的价格出售（图5，右面板）。另一方面，持有该头寸所产生的风险抵消了该收益（如果使能系数足够高），这促使投资者立即卖出。

因此，销售区域断开连接（图5，右面板）。0.1 0.2 0.3 0.4 0.540455056657075808590时间库存价格清算边界G=0延迟区域>0销售区域<0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20020406080timestock价格清算边界G=0延迟区域>0卖出区域<0卖出区域<0图5：指数动态下股票的清算边界（实心）和Gα的零轮廓（虚线）。参数：T=0.5，r=0.03，θ=log（60），β=4，σ=0.3，ψ(l) = l, α=0（左），α=1.5（右）。图6显示了带有惩罚的看涨期权的延迟区域。在右边的面板中，我们观察到了一些有趣的现象，其中sell区域是连通的，并且包含了nonemptydelay区域。如果参数β（衡量均值回归速度的参数）不够高，期权价格可能没有时间恢复到到期前的长期均值，因此在接近到期时，卖出立即成为最佳。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-10010203040506070809010Timestock价格清算边界G=0Delay RegionG>0Sell RegionG<0Sell RegionG<00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51520503354045505560 Timestock价格清算边界G=0Delay RegionG>0Sell RegionG<0图6：指数OU动态下通话的清算边界（红色实线）和Gα（虚线）的z e ro轮廓。我们取左面板中的α=0.2，θ=log（60），β=4，右面板中的α=0.001，θ=log（50）和β=0.2，公共参数T=0.5，r=0.03，σ=0.3，ψ(l) = l.提议4.2。对于指数OU模型下的看跌期权的清算，当且仅当ifα>0时，延迟区域是有界的。证据驱动函数由gαP ut（t，s）=[r]给出- β(θ - 对数]sΦ(- d）- αψ（（m）- P（t，s））+，（4.3）如果α=0，那么我们有{GαP ut>0}={s>exp（rβ）- θ)}.

根据（2.12），延迟区域包含这个集合，因此它是无界的。现在让α>0，我们有极限→∞GαP ut（t，s）=-αψ（m）<0。（4.4）接下来，我们将∈ （0，αψ（m））和定义ψ(l) := min{ψ(l),^b}。由此，我们得到了gα（t，s）：=[r- β(θ - 对数]sΦ(-d）- αψ（m）- P（t，s））+≥ GαP ut（t，s）。我们观察到gα在（4.4）lims之上和之下有界→∞Gα（t，s）→ -每t的α^b<0∈ [0，T]。此外，存在^s>0，使得对于每一个s>^s，ψ（（m-P（t，s））+）=b。因此，我们有Gαt=（β（θ）- 日志（s））- r） sφ（d）对数（sK）- （r+σ）（T）- t） 2σ（t）- （t）≤ 对于s>max{^s，exp（rβ-θ） ，kexp（（r+σ/2）T）和T∈ [0，T]。同时，我们注意到gα（0，s）→ - α^bas s→ -∞. 这让我们可以选择一个b∈ （0，α^b），则存在k>max{^s，kexp（（r+σ/2）T）}-b>G（0，s）>G（t，s）in for（t，s）∈ [0，T]×[k，∞). 因此，G满足定理2.4的假设。通过推论2.3，我们得出了延迟区域的有界性。命题4.2如图7所示。当STI较低时，预计将恢复到（较高的）长期均值，卖出价格将下降。这就产生了在较低的股价水平上出售股票的动机。如果α=0，当STI较高时，没有理由卖出，因为看跌期权价格非常低，预计会上升。接着，延迟区域位于销售区域的顶部（图7，左面板）。然而当我们纳入非零风险处罚0.1 0.2 0.3 0.4 0.5404550556657075080TimeStock价格清算边界G=0卖出区域<0延迟区域>00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.530354045505560657075808590 TimeStock价格清算边界G=0延迟区域>0卖出区域<0图7：下看跌期权的清算边界（实线）和Gα（虚线）指数OU模型。我们在左面板中取α=0和K=50，在右面板中取α=0.01和K=40。

常用参数：T=0.5，r=0.03，σ=0.3，β=4，θ=log（60），ψ(l) = l.这降低了等待的价值。因此，持有人可能会以高股价和低股价出售看跌期权。事实上，如果惩罚系数很大和/或到期时间很短，则在所有股价水平上，最优清算溢价可能为零，从而形成一个空置区域（图7，右图）。5二次惩罚是基于短缺的惩罚的一种变化，我们考虑基于期权价格过程从开始时间到清算时间的实现方差的风险惩罚。准确地说，投资者现在面临着惩罚最优停止问题Jα（t，s）：=supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） V（τ，Sτ）- αZτte-r（u）-t） d[V，V]u= supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） V（τ，Sτ）- αZτte-r（u）-t） σ（u，Su）SUV（u，Su）du,其中[V，V]表示（2.3）中定义的期权价格过程V的二次变化。图8展示了与模拟看涨期权价格路径相关的已实现二次惩罚。与图2.4中的短缺罚金相比，实现的二次罚金始终在增加，即使期权价格高于其初始价格。在（2.6）之后，我们将最优清算溢价定义为Lα（t，s）：=Jα（t，s）- V（t，s）。再次，我们将讨论GBM和d指数模型下的股票或期权清算问题。5.1出售股票的最佳时机我们首先考虑根据永久最优停止问题用GBM动态清算股票：~Lα（s）：=supτ∈TEsZτe-ru~Gα（Su）du, （5.1）0.2 0.4 0.6 0.8 102468101214161820时间通话价格累计二次惩罚图8：基于GBM模型下通话的模拟价格（实数）实现的二次惩罚（虚线），α=0.05。价格路径和其他参数与图1相同。驱动函数为Gα（s）：=（u- r） s- ασs。

如果u≤ r、 那么，立即出售通常是暂时的，因为Gα总是负值。相反，如果u>r，则我们得到一个非平凡的闭式解。定理5.1。设u>r。式Lα（s）=（s）给出了（5.1）中的值函数Lα（s）*)1.-λ2 - λsλ- s+bs）{s≤ s*}, （5.2）式中B=ασ2u+σ- r、 λ=σσ- u+sσ- u+ 2rσ, （5.3）s*=1.- λ(2 - λ） B，（5.4）和停止时间τ*= inf{t≥ 0:St≥ s*} 最适合（5.1）。证据我们首先证明（5.2）是min的解r∧（s）- us∧′s-σs∧′（s）-~Gα（s）∧（s）= 0，s>0，其中∧（0）=0。为此，我们将R+分成两个区域：D=（0，s）*) D=[s]*, ∞) 和s*> 0待定。我们猜想∧（s）=0在D中，对于s∈ D∧（s）解算sr∧（s）- us∧′s-σs∧′（s）-~Gα（s）=0。（5.5）通过直接替换，方程（5.5）的通解的形式为∧（s）=Csλ+Csλ- s+Bs，其中c-Care常数待定，B在（5.3）中有规定，λk=σσ- u + (-1） ksu -σ+ 2rσ, K∈ {1, 2}.我们在s=0和s=s时应用连续性和平滑粘贴条件*去getlims↓0∧（s）=0=> C=0，lims↑s*∧（s）=0=> C（s）*)λ- s*+ B（s）*)= 0，（5.6）lims↑s*∧′（s）=0=> λC（s）*)λ-1.- 1+2Bs*= 0.（5.7）解方程组（5.6）-（5.7）得到C*如（5.3）-（5.4）所示。我们可以通过替换来验证∧（s）确实是（5.5）的经典解。根据伊藤公式和（5.5），∧（St））t≥0是（P，F）-超鞅，所以对于每个F-停止时间τ和n∈ N、 我们有∧（s）≥ E0，sZτ∧氖-ru~Gα（Su）du. （5.8）在τ和n上最大化（5.8）得到∧（s）≥对于s，Lα（s）≥ 0.从概率表示∧（s）=E0，snRτ推导出逆不等式*E-ru~Gα（Su）duo，候选者停止时间τ*:= inf{t≥ 0:St≥ s*}. 因此，我们得出结论∧（s）=Lα（s）和τ*这是最优的。最优清算方法*in（5.4）是非负的当且仅当λ<1，这相当于定理5.1中的条件u>r。

否则，Lα=0，最佳策略是立即出售。在图9中，我们展示了不同u和σ值的最佳清算溢价Lα。随着u的增加，最佳阈值和最佳液化溢价（在所有股价水平下）都会增加（左图）。另一方面，较高的波动性会降低每个初始股价的最优清算溢价。我们还观察到，~Lα（s）sm ooth将0级粘贴在最佳阈值s*, 正如（5.6）和（5.7）所预期的那样。如果S遵循指数OU动力学，则清算stock的驱动函数为Gα（S）=[β（θ- 日志（s））- R- αs]s.（5.9）在这种情况下，我们没有封闭形式的解。然而，我们从fr（5.9）观察到延迟区是非空的，即{Lα>0} {s<~s}，其中s由方程β（θ）唯一确定- 日志（秒）- R- α~s=0。另一方面，由于Gα→ - ∞ 作为s→ ∞, 我们凭直觉预计，投资者会在股价高企时抛售股票。5.2期权的清算我们现在讨论一些数值示例，以演示欧式看涨期权和看跌期权的清算策略。在走向K和成熟度T的情况下，驱动函数分别由GαCal l（T，s）=sΦ（d）给出u - R- ασsΦ（d）, （5.10）~GαP ut（t，s）=sΦ(-d）R- u - ασsΦ(-d）. （5.11）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.811.2股票价格最优清算溢价u=0.09u=0.08u=0.070 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1200.20.40.60.811.21.4股票价格最优清算溢价σ=0.25σ=0.30σ=0.35图9:GB M模型下不同u和σ值的股票的最优清算溢价。在左面板中，我们取r=0.03，σ=0.3和α=0.2，以及清算阈值s*= 对于u=0.09、0.08和0.07，分别为9.37、7.97和6.52。

在右面板中，我们取r=0.03、u=0.08和α=0.1，以及液体阈值s*= 对于σ=0.25,0.30,0.35，分别为10.63,7.97,6.26。什么时候≤ 当r和α>0时，驱动函数GαCal l（t，s）对所有（t，s）都是负的，因此最好立即拨打电话。然而，当u>r和α>0时，我们从（5.10）中注意到，当股票价格足够大（或小）时，调用的驱动函数为负（或正）。因此，如图10所示，当股票价格较高时，卖出看涨期权是最佳选择，并且随着惩罚系数的增加，最优清算边界较低。与短球惩罚不同，当股票价格在二次惩罚下较高时，投资者现在会受到更高的惩罚。因此，销售区域现在高于延迟区域，而不是图2（右面板）中短缺情况下的底部。在看跌期权的情况下，我们观察到（5.11）thatlims→0r- u - ασsΦ(-d） =林→∞R- u - ασsΦ(-d） =r- u.因此，当u<r且股价足够大或足够小时，驱动函数是严格正的，最好持有该头寸。相比之下，随着s的增加，短缺收敛到ψ（m）>0（参见（3.2）），这意味着在股价较高时出售是最佳选择（参见图3）。我们在图10（右图）中说明了二次惩罚下的时序策略。正如预期的那样，有一个低延迟区和一个高延迟区，中间由一个卖出区隔开。

我们还注意到，随着惩罚系数α的增加，销售区域扩大。在指数OU模型下，卖出看涨期权和看跌期权的驱动函数分别为GαCal l（t，s）=sΦ（d）θ - R- β对数s- ασsΦ（d）,~GαP ut（t，s）=sΦ(-d）R- θ+β对数s- ασsΦ(-d）.在图11中，我们可以看到一个调用（右面板）和一个put（左面板）的最优清算溢价Lα（t，s）。在呼叫情况下，延迟区域是有界的，该区域对应于Lα>0的区域。当s足够高时，~Lα消失，最好卖出。这是直观的sincelims→∞~GαCal l（t，s）=-∞ 对于足够小的s，GαCal lis为正。相比之下，当s<expθ -rβ, 每一个α≥ 0.如图11所示，在此之前，人们预计最佳清算价格将为0.1 0.2 0.3 0.4 0.54045505560657075时间库存价格α=0.01α=0.02α=0.03延迟区域销售区域0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1001020304050607080timestock价格α=0.01α=0.02α=0.03卖出区域卖出区域卖出区域卖出区域图10：GBM模式下不同α值的看涨期权（左面板）和看跌期权（右面板）的清算边界。参数：T=0.5，r=0.03，σ=0.3，K=50，u=0.08（调用）和u=0.02（put）。因此，投资者会在看跌期权价格高的时候卖出。与图7中的空头违约相比，当标的股票价格非常高时，投资者不会卖出。这是因为驱动函数GαP ut（t，s）在大s时保持正值（回忆（2.12））。随着时间接近到期，延迟清算溢价d逐渐变为其价值为零的终止条件。图11：具有指数动力学的看涨期权（左）和看跌期权（右）的最优清算溢价。

我们取T=0.5，r=0.03，σ=0.3，K=50，α=0.1，β=4和θ=log（60）。6综上所述，我们提供了一个灵活的数学模型，用于路径相关惩罚下的最优位置液体化。我们已经确定了最优时机是平凡的情况，并通过变分不等式求解了非平凡清算策略。惩罚类型和惩罚系数会导致非常不同的清算时间。我们的发现对使用期权进行投机投资或风险管理的个人和机构投资者都很有用。对于未来的研究，一个自然的方向是使我们的模型适应顺序买卖期权的问题。此外，可以考虑将该方法应用于除股权期权以外的衍生工具。例如，我们参考了Leung和Liu（2012）最近的一项研究，该研究涉及具有定价度量差异但没有风险惩罚的信用衍生品的液化。研究不完全市场下的期权清算在数学上既有趣又具有挑战性。另一方面，我们的模型可以扩展到具有流动性成本和价格影响的市场（参见Almgren（2003）；洛伦兹和阿尔姆格伦（2011）；Schied和Sch¨oneborn（2009年））。最后，路径依赖的风险惩罚也可以纳入动态投资组合优化问题，以解释投资期内的不良表现。7非齐次变分不等式的强解在本节中，我们遵循Bensoussan和Lions（1978）中的术语和程序，在适用于GBM和指数OU模型的条件下，建立了变分不等式（2.15）的str on g解的存在唯一性。预备赛。我们通过设置Xt=log（St）以对数标度表示价格。

对于某些函数κ（t，x）和η（t，x），方程（2.1）变成了η（t，Xt）dt+κ（t，Xt）dWt，（7.1）。接下来，我们定义操作符A byA[·]=-κ（t，x）·十、- η（t，x） ·x+r·=- ·十、a（t，x） ·十、+ a（t，x） ·x+r·，（7.2）where（t，x）=xκ（t，x）- η（t，x），a（t，x）=κ（t，x）。根据对数价格，我们将驱动函数表示为g（t，x）=gα（t，ex），最优变现溢价表示为u（t，x）=L（t，ex）。通过t，我们表示域D=[0，t]×R。为了求解VI（2.15），它等价于求解VI问题：-Ut+A[u]- g（t，x）≥ 0，u（t，x）≥ 0，（t，x）∈ D-Ut+A[u]- g（t，x）u=0（t，x）∈ D、 u（T，x）=0，x∈ R.（7.3）我们在适当的Sobolev空间中描述了（7.3）的一类适当的解，并证明了这种解的存在性和唯一性。首先，让我们定义λ（x）=exp(-n | x |），n∈ N、 Lλ（R）={v|√λv∈ L（R）}，Hλ（R）={v∈ Lλ（R）|五、十、∈ Lλ（R）}，H0，λ（R）={v∈ Hλ（R）| lim | x|→∞v（x）=0}。当赋予下列内积（f，g）L=ZRλfgdx，f，g时，这些就是希尔伯特空间∈ Lλ（R）、（f，g）H1=ZRλfgdx+ZRλF十、Gxdx，f，g∈ Hλ（R）。我们用Hc，λ（R）表示函数集w∈ 具有紧支撑的Hλ（R）。为了你∈ H0，λ（R），w∈ Hc，λ（R），我们定义了算子iλ（t，u，w）=ZRa（t，x）λU十、Wx+wU十、λ十、dx+ZRa（t，x）λUxwdx+rZRλuwdx。我们可以假设e失去了普遍性（Bensoussan and Lions，1978年，第3.2.17节），即Iλ对Hc，λ（R），即Iλ（t，w，w）≥ α| | w | HW∈ Hc，λ（R），α>0。通过p部分积分，我们可以将Iλ推广到整个空间H0λ（R）上的双线性形式。