具有交易费用的凸对偶

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英文标题：
《Convex duality with transaction costs》
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作者：
Yan Dolinsky and H. Mete Soner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Convex duality for two two different super--replication problems in a continuous time financial market with proportional transaction cost is proved. In this market, static hedging in a finite number of options, in addition to usual dynamic hedging with the underlying stock, are allowed. The first one the problems considered is the model--independent hedging that requires the super--replication to hold for every continuous path. In the second one the market model is given through a probability measure P and the inequalities are understood P almost surely. The main result, using the convex duality, proves that the two super--replication problems have the same value provided that P satisfies the conditional full support property. Hence, the transaction costs prevents one from using the structure of a specific model to reduce the super--replication cost.
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中文摘要：
证明了具有比例交易费用的连续时间金融市场中两个不同的超复制问题的凸对偶性。在这个市场上，除了对标的股票进行通常的动态套期保值外，还允许对有限数量的期权进行静态套期保值。考虑的第一个问题是模型——独立的对冲，它要求超级复制在每一条连续路径上都保持不变。在第二个例子中，市场模型是通过概率测度P给出的，不等式几乎可以肯定地理解为P。利用凸对偶的主要结果证明了，只要P满足条件完全支持性质，两个超复制问题具有相同的值。因此，事务成本阻止人们使用特定模型的结构来降低超级复制成本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Convex_duality_with_transaction_costs.pdf (346.82 KB)

2022-5-7 11:03:01 上传

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关键词：交易费用 交易费 Mathematical proportional inequalities

交易成本为Syan DOLINSKY和H.METE SONERHEBREW耶路撒冷大学和苏黎世大学的凸对偶。证明了具有比例交易成本的连续时间金融市场中两个不同的超复制问题的凸对偶性。在这个市场上，除了对标的股票进行通常的动态套期保值外，还允许对有限数量的期权进行静态套期保值。首先要考虑的问题是模型——独立对冲，要求在每一条连续路径上都保持超级复制。在第二个例子中，市场模型是通过概率测度P给出的，并且几乎可以肯定地理解不等式P。利用凸对偶的主要结果证明了两个超复制问题具有相同的值，前提是P满足条件全支撑性质。因此，交易成本会阻止人们使用特定模型的结构来降低超级复制成本。1.引言超级复制问题是一个凸优化问题，在这个问题中，投资者在满足混合约束的投资组合中最小化投资成本。在经典情况下，金融市场是无摩擦的，投资者可以在同一价格购买或出售任何数量的股票和其他金融工具。然后，相应的问题是线性的，而优化问题实际上是一个有限维的线性程序。在定量金融文献中，这个问题得到了很好的研究，并且已知与套利有关。一个中心结果是凸对偶结果，它包含了深刻的金融见解，包括集合定价的基本定理。在著名论文[9,10,18]中，金融市场通过概率测度P建模，该测度描述了股票价格在时间间隔[0,T]内的未来变动。

股票价格过程S和测度P是在概率空间上定义的Ohm 和过滤F={Ft}{t∈[0，T]}。研究的主要对象是未来将披露的不确定责任。它通常通过一个可测量的随机变量ξ来建模，主要目标是通过在金融市场上进行适当的交易来降低与ξ相关的风险。投资机会通过线性集合^a抽象地给出，该线性集合表示所有可接受的投资组合π的集合，最后的投资组合值ZπTat time T。然后，日期：2018年2月27日。2010年数学科目分类。91G10，60G44。关键词和短语。欧洲期权，模型-自由对冲，半静态对冲，交易成本，有条件完全支持。多林斯基的研究部分得到了欧盟职业整合基金CIG618235和柏林爱因斯坦基金会20 12 137的资助。索纳的研究部分得到了ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会的资助SNF153555。2 Y.Dolinsky和H.M.Sonersup er复制问题是使所有投资组合中的成本最小化，从而将与负债ξ相关的风险降至零。数学上，（1.1）V（ξ）：=infnL（π）：π ∈^A使得ZπT≥ ξ、 P- a、 s.o，其中L（π）∈ R是投资组合的成本π。一旦通过概率测度P确定了市场模型，那么所有的陈述都应该被理解。因此，概率测度P的唯一作用是描述空集或等价地描述所有不可能的未来场景。与P等价的任何其他概率度量（即，具有相同空集的任何度量）将产生相同的超级复制成本。当市场是无摩擦的或等价的L是线性的，并且只考虑无约束股票的自适应动态交易时，这个问题得到了广泛的研究。

在无套利类型假设和温和的技术可积条件下，c凸对偶是下列最大化问题，D（ξ）：=supQ∈QEQ[ξ]，其中Q是e等价于P的所有“鞅”测度的se t。连续时间的精度陈述是技术性的，我们请读者参考Delbaen&Schachermayer[10]的半文献。这些经典结果随后被推广到存在贸易摩擦的市场。研究表明，在交易成本（成比例）的市场中，超级复制的成本高得令人望而却步，这一点在Soner Shreve&Cvitanic[23]中首次得到证明，在Leventhal&Skorohod[19]、Cv itanic、Pham&Touzi[8]、Bouchard&Touzi[6]、Jakubenas、Levental和Ry z nar[17]、Guasoni、Rasonyi&Schachermayer[15]、Blum[4]和Dolinsky[11]中得到了推广。在所有这些示例中，超级复制成本在所有“琐碎”策略中都是最小化的。因此，当目标是在不确定的情况下进行超级复制时，投资者不会从动态套期保值中受益。在所有这些例子中，不是P的空集，而是P的支持是重要的。Schachermayer[20,21]及其参考文献研究了给定P的资产定价和供应对偶基本理论的相关问题。可以通过在超级复制的por tfolio中包含液体衍生品来降低套期保值成本。尤其是半静态hedg的情况，将在下一节详细介绍。也就是说，投资者可以以最初已知的价格在一定数量的期权（写在标的资产上）中持有静态头寸。除了这些静态期权头寸外，股票也会动态交易，所有这些交易都会受到比例交易成本的影响。

根据上述表示法，可容许投资组合的集合^A通过静态期权交易而扩大，但交易成本使成本函数L成为凸函数，而不是经典文献中的线性函数。我们让读者参考霍布森[16]的调查，这是作者[14]最近的一篇论文，以及其中关于连续时间半静态套期保值的参考资料。虽然带半静态套期保值的l-独立模式a方法近年来受到了相当大的关注，但对于此类存在摩擦的市场，结果却很少。事实上，最近作者证明了一个与模型无关的EMI对偶结果——离散时间内交易成本的静态套期保值[13]。Bayraktar&Zhang[2]和Bouchard&Nutz[5]在有交易成本的市场中研究了资产定价的基本定理。考虑到由一组概率模型给出的质量标准，这些后来的结果是交易成本为3的二元性。据我们所知，在模型不确定性下，交易成本的连续时间半静态套期保值尚未得到研究。在本文中，我们考虑一个连续时间金融市场，它由一个具有连续路径的风险资产组成。在这样一个金融市场中，我们研究给定（路径依赖）欧式期权的两个辅助复制问题。我们假设股票的动态套期保值和静态期权交易都受到交易费用的影响。在第一个问题中，市场模型通过概率测度P给出。然后，优化表m对应于（1.1）的前瞻性扩展。第二个问题是所有连续股票价格过程的模型独立问题，即超级复制。也就是说，在（1.1）中，我们需要不等式ZπT≥ ξ不是几乎肯定地持有P，而是对每一种可能的股价路径持有Rather。

这些定义在第2小节中给出。下文5。我们的主要结果定理2.7表明，如果股票价格过程的分布满足条件完全支持性质，上述两个参数具有相同的值，请参见下面的定义2.6。因此，在存在交易成本的情况下，对模型的了解并不能降低备份复制成本。这就解释了在有摩擦的超级复制上的明显结果，以及为什么这些例子中的最佳对冲是微不足道的。定理2.7是在正则性假设2.1、2.2和无套利条件假设2.3下证明的。然而，我们不会对投资组合设定任何受理条件。此外，我们还提供了在与期权价格一致的连续函数空间上，一致价格系统的相互价值的对偶结果。这种二元性与[13]中离散时间证明的二元性非常相似。定理2.7的证明分为四个主要步骤。首先，我们通过应用Acciao等人[1]和Burkholder[7]早前提出的路径不等式，将问题简化为无边界的支付。第二步，在给定模型的情况下，我们得到了超级复制成本的下界。这一界限表现为交易成本率适当降低的修正模型免费超级复制问题。第三步是推导无模型问题的上限。这一步是通过将Schachermayer[21]的最新结果与我们早期工作[12]中开发的提升程序相结合来完成的。最后一步是上界和下界（渐近行为）相等的概率证明。本文的组织结构如下。主要结果将在下一节中阐述。

在第3节中，我们将问题归结为有界索赔。第4节给出了给定模型中超级复制价格的较低价格。第5节推导了模型免费超级复制价格的上限。最后一节致力于证明上下限相等。4 Y.多林斯基和H.M.索内尔2。初步研究和主要成果2。1.市场和符号。金融市场由一个储蓄账户组成，该账户被标准化为统一账户≡ 1通过disco unting和风险资产St，t∈ [0，T]，其中T<∞ 是到期日。设s:=s>0为初始股价，在不损失一般性的情况下，设s=1。我们假设，风险资产可能是具有这些初始数据的任何连续过程。在续集中，我们使用以下符号。对于s≥ 0，t∈ [0，T），we-setC+s[T，T]：={f:[T，T]→ [0, ∞) | f是连续的，f（t）=s}，C+[t，t]：=[s≥0C+s[t，t]对于s>0，C++s[t，t]：=F∈ C+s[t，t]| f（u）>0，U∈ [t，t],C++[t，t]：=[s>0C++s[t，t]。然后Ohm := C++[0，T]表示所有可能的股票价格或概率空间的集合。我们让=（St）0≤T≤t由St（ω）给出的正则过程：=ωt，对于所有ω∈ Ohm andFt:=σ（Ss，0≤ s≤ t） 成为规范的过滤（这不是正确的连续性）。我们说空间上的概率测度Q(Ohm, F） 是一个鞅测度，如果正则过程（St）Tt=0是关于Q的鞅。进一步我们让d[0，T]：={F:[T，T]→ [0, ∞) | f是c`adl`ag}，是c`adl`ag函数的Skorokhod空间，通常sup normk~nk:=sup0≤T≤T||T|2.2。这种说法及其规律性。我们通过对整个股票价格过程的确定性映射来模拟索赔的责任。的确，对于给定的决定论mapg:D[0，T]→ R+，一种一般路径依赖的欧式期权，其收益ξ=G（S）。

因此，尽管我们只考虑连续的股票价格过程，但我们隐含地假设期权是为所有有界可测映射定义的。我们对支付的规律性假设与[12]中使用的假设相同。为了方便读者，我们简要回顾了这一假设，但参考[12]了解扩展讨论及其与斯科罗霍德度量的联系。特别是，运行最大值上的所有选项和亚洲类型选项都满足它。我们根据G.假设2.1做出以下长期假设。我们假设存在一个常数L>0，满足i.| G（ω）- G（ω）|≤ Lkω- ωk，ω，ω∈ D[0，T]，ii。和| G（|）- G（)~n）|≤ Lk~nknXk=1|tk- ~tk |，每一分段常数函数的交易费用为5的对偶∈ 形式为ΓT=n的D[0，T]-1Xi=0viχ[ti，ti+1）（t）+vnχ[tn，t]（t）和t=n-1Xi=0viχ[~ti，~ti+1）（t）+vnχ[~tn，t]（t），其中t=0<t<tn<T，~T=0<~T<<~tn<T通常为两个隔板tk:=tk- tk-1.~tk:=~tk-~tk-1，χa为特征函数。2.3. 静态位置。接下来，我们将介绍静态选项的用法。我们假设有N个选项f。。。，fN:D[0，T]→ RTAT最初可用于静态对冲。这些选项可能与路径有关。我们假设他们的价格。。。，液态氮∈ R是已知的，我们可以对这些选项采取长期立场。在这种情况下，空头头寸也可以通过包含期权的负数来允许，但这两个（期权及其负数）的价格加起来应该等于正数e，从而限定该期权的买卖价差。SetF（S）：=（1，f（S）。。。，fN（S））和L:=（1，L，…，LN），其中第一个函数等同于一，代表对非风险资产的投资，我们假设投资者在该期权中只能持有长期或短期头寸。

但正如前面所讨论的，我们只允许在其他选项中使用长位置。因此，这些选项中的静态位置由c表示∈ R×RN+表示欧式期权的投资，价格（2.1）L（c）：=c·L，其中·表示RN+1的标准内积。我们假设静态期权满足一些正则性假设，其中一个静态期权具有超二次增长。更准确地说，我们假设如下。假设2.2。函数f。。。，fN-1满足假设2.1。我们还假设，如果FIS是路径依赖的（即不只是依赖于到期时股票的价值），那么它是有界的。对于i=N，我们假设fN（ω）=q（ωT），其中q:R+→ R+是满足| q（x）的凸函数- q（y）|≤ L | x- y|1+q（x）x+q（y）y, x、 y>0和（2.2）lim infx→∞q（x）x>0。由于我们考虑在比例交易成本下进行套期保值，因此合理的做法是使用期权f（S）。。。，fN也受到交易成本的影响。再加上无套利考虑（另见[2,5]），我们得出以下假设。6 Y.多林斯基和H.M.索涅拉斯消费2.3。正则空间上存在一个鞅测度Q(Ohm, F） 因此，eq[fi（S）]<Li，i=1。N、 其中EQdenotes是关于概率测度Q的期望。备注2.4（关于假设的注释）。在本文中，我们假设只有很多静态选项。这个设置不同于[12,13,14]中的设置，当时我们假设静态选项集等于{f（ST）：f:R+→ R} （包括电源选项）。预先发送的假设似乎更现实。

我们仍然假设我们有一个超二次支付的选项。这对于将问题简化为有界索赔以及在我们的离散化过程中处理套期保值和定价误差估计是必要的。事实上，包含一个具有超线性支付的期权是足够的，但是由于计算的含蓄性，我们使用了超二次增长。由于本文的重点是两个不同的超级复制问题之间的等价性，我们不寻求静态选项的最一般假设。在较弱的假设下，主要结果可能成立。特别是，对于有界的c laims，可以避免使用[13]中的二次选项。第二个假设是，存在一个与观察到的期权数据一致的线性定价规则。这尤其意味着在这个市场上没有套利。此外，stric t不平等性意味着期权受制于成比例的交易成本。无套利的等价性和这种度量的存在实际上是一个困难的问题。直到最近，在[2,5]中才证明了这个方向上的几个离散时间结果。2.4. 用交易成本对冲。我们继续在标的资产S.Letκ中描述了按比例交易成本的连续时间交易∈ （0，1）为比例交易成本率。用γt表示在本次交易之前的时刻t，投资组合π中风险资产的份额数。由于交易成本，它必须具有有限的变化。因此，假设过程γ={γt}Tt=0是一个有界变化的适应过程（根据股票价格过程产生的原始过滤），其左连续路径γ=0。设γt=γ+t- γ-将γ分解为正变化和负变化。