具有交易费用的凸对偶

也就是说，γ+tDenotest截至t时购买的股票累计数量，不包括t时的转让方式，分别为γ-t、 表示库存的累计数量，再次soldup到时间t，不包括在时间t进行的转移。设A为所有此类过程的集合。在这个金融市场中，套期保值是一对π=（c，γ）∈^A:=R×RN+×A，到期日T的Corres-ponding投资组合清算价值由zπT（S）：=c·F（S）+[γT给出- κ|γT |]ST+（1- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u，具有交易费用的对偶7，其中上述积分是标准的Stieltjes积分，F（S）如第2.3节所述。请注意-κ|γT |在第一行是由于到期时的清算成本。该投资组合的成本π=（c，γ）等于（2.1）中定义的L（c）。超级——复制问题。在本小节中，我们将介绍两个超级复制问题。对于责任ξ=G（S），无模型超级复制成本定义为vκ（G）：=infnL（c）：π ∈^A=R×RN+×A，因此ZπT（S）≥ G（S）s∈ Ohmo、 对于第二个问题，我们假设正则空间上有一个概率测度POhm 已给出。然后，相应的问题是vpκ（G）：=infnL（c）：π ∈^A=R×RN+×A，因此ZπT（S）≥ G（S）P- a、 所以。本文的主要目的是获得e函数的凸对偶性，并证明如果测度P具有下一小节定义的条件完全支持，则它们是等价的。2.6. 主要结果。为了计算结果，我们需要以下定义。还记得C++[t，t]和规范空间吗Ohm = C++[t，t]在第2.1节中定义。定义2.5。以spac e^为例Ohm := Ohm×C++[0，T]。

设^S=（S（1），S（2））是^上的正则过程Ohm 和^Ft:=σ（^Ss，0≤ s≤ t） 成为标准的过滤。（κ，L）一致价格系统是一个概率测度Ohm 满足：（1）S（2）是关于^F的a^Q鞅；(2) (1 - κ） S（1）t≤ S（2）t≤ （1+κ）S（1）t，^Q–a.S.（3）E^Q金融机构（S（1））≤ 李，尽管我=1，N.所有（κ，L）一致价格系统的集合用Mκ，L表示。接下来我们回顾一下有条件完全支持的通知。通常，可分空间上aa概率测度P的支持度（用SUPPP表示）定义为全测度的最小闭集。定义2.6。我们说概率测度P具有条件全支撑性质，如果对于所有t∈ [0，T）supp P（S |[T，T]| Ft）=C+St[T，T]a.S.其中P（S |[T，T]| Ft）记录了C+[T，T]值和m变量S |[T，T]的Ft-条件分布，这是规范过程对[T，T]的限制。我们准备陈述我们的主要结果。定理2.7。假设假设假设2.1,2.2,2.3成立。假设0<κ<1/8，设P为满足条件完全支持性质的概率测度。那么，VPκ（G）=Vκ（G）=sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））].8 Y.多林斯基和H.M.索内克利里，VPκ（G）≤ Vκ（G）。因此，为了证明定理M2.7，必须证明以下两个不等式：（2.3）VPκ（G）≥ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]和（2.4）Vκ（G）≤ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]。引理6.2证明了下界（2.3），引理6.3建立了上界（2.4）。在续集中，我们总是简单地说，没有明确说明，0<κ<1/8.3。以下结果表明，在这种市场中，人们可以用较小的成本对冲某些索赔。类似地，对于[12,13]，证明是通过结合假设（2.2）和[1]的结果来完成的。引理3。1.

对于任何K>0的情况，考虑欧洲的索赔αK（S）：=| | S | | K+| | S | |χ{124; S||≥K} （S）、S∈ Ohm,其中，如前所述，χAis是特征函数。根据假设2.2，limK→∞Vκ（αK）=0。证据设θ：=θ（S）=0，对于正整数k，我们通过θk:=θk（S）=T来重复定义停止时间∧ inf{t>θk-1:|街- Sθk-1| = 1}.设K:=K（S）=min{K:θK=T}。显然，K<∞ 每一天∈ Ohm. 由（2.2）可知，存在cq>1，因此（3.1）q（x）≥xcq，十、≥ cq。考虑投资组合π=（c，γ），其中γt=-K-1Xi=0max0≤J≤是θjχ（θi，θi+1）（t），t∈ [0，T]和c=（cq，0，…，0，cq），即我们购买cq许多期权q（ST），并投资于无风险资产cq美元。通过对Acciaio等人[1]中命题2.1（另见Burkholder[7]）与交易成本9和（3.1）二元性的部分总结，得出zπT（S）=cq+cqq（ST）-K-1Xi=0最大值0≤J≤是θj（Sθi+1）- Sθi）-κK-1Xi=1Sθimax0≤J≤是θj- max0≤J≤我-1Sθj-κS- κ街max0≤J≤K-1Sθj≥(1 - 8κ）max0≤J≤KSθj.观察| | S | |≤ 1+max0≤J≤KSθj≤ 2最大0≤J≤还有，因为对于一个ny∈ Ohm, S=1，kSk≥ 1.因此，KαK（S）≤ kSk+kSk≤ 2kSk≤ 8 max0≤J≤因此，（回想一下κ<）ZπT（S）≥(1 - 8κ)max0≤J≤KSθj≥K（1）- 8κ）αK（S）。我们的结论是[K（1）的超级复制成本- 8κ）/32]αk不超过该投资组合的成本。因此，（3.2）Vκ（αK）≤(1 - 8κ）cq+CQLN，取K至单位后结果如下。接下来，我们提出了有界定理的约化。引理3。2.在定理2.7的假设下，证明定理2.7对于有界索赔是有效的。证据设L为假设2.1中的Lispschitz常数。对于任何K≥ 1集克（S）：=G（S）∧ [LK+G（0）]，S∈ Ohm.根据假设2.1，可以得出G（S）≤ G（0）+LkSk。

因此，对于所有人≥ 1，G（S）≤ GK（S）+（G（0）+L）αK（S）。因此，Vκ（G）≤ Vκ（GK）+（G（0）+L）Vκ（αK），VPκ（G）≤ VPκ（GK）+（G（0）+L）Vκ（αK）。由于GKis b成立，如果定理2.7适用于这样的主张，根据单调收敛定理，我们将得到vκ（G）=limK→∞Vκ（GK）=limK→∞supQ∈Mκ，LEQ[GK（S（1））]=supQ∈Mκ，LEQ[G（S（1））]。类似的恒等式也适用于VPκ（G），证明了所有证明假设2.1的主要定理。从现在起，我们将假设（不丧失普遍性）存在常数K>0，使得0≤ G≤ K.10 Y.多林斯基和H.M.索内尔4。下界在本节中，我们在定理2.7的假设下，建立下界（2.3）的估计。我们从几个定义开始。回想一下，D[0，T]是所有c`adl`AGF[0，T]函数的集合→ R+。用∧St表示D[0，t]上的正则过程（即∧St（ω）：=ωt）。通常，我们考虑关于sup范数的Borelσ-代数（这个Borelσ-代数与Skorohod拓扑生成的一个代数一致）。设∧Ft=σ{Su | u≤ t} 成为标准的过滤。设>0，n∈ N和T:={T，…，Tn，T}是区间[0，T]的一个划分，即0<T<…<Tn<T。在续集中，我们将始终假设<ln（1+1/L）和<Ti+1- Ti，i=0，1。。。，N- 1.定义4.1。对于任何0<~k<k，设MT，k，Lbe空间D[0，T]上的全概率测度集sQ满足：（1）规范过程s的形式为St=n-1Xi=0Sτ（）kχ[~τ（）k，~τ（）k+1）+Sτ（）nχ[~τ（）k，~τ（）n+1]，其中0=~τ（）≤ ~τ()≤ ...

≤ ττ（）n+1=T和<<S=1。（2） 对于任何k≤ n、 在事件)τ（）k+1<T上，我们有| ln)S)τ（）k+1- ln~S~τ（）k |=。（3） 任何一个≤ K≤ n+1，τ（）k∈ T，~Q-a.s.（4）存在一个（~Q，~F）c`adl`ag鞅{Mt}Tt=0，使得（1）- ~k）~St≤~Mt≤ （1+）κ-St-Q-a.s。；（5） 最后，EQ[fi（~S）]≤ 锂- L^C（e4+）- 1） ，i=1。。。，N- 1，EQ[fN（~S）]≤LN（1）- L（e- 1)) - L^C（e- 1） 1+L（e- 1） 式中，^C:=8qcq+cqLN，cqn在（3.1）中给出。以下结果提供了超级复制价格VPκ（G）的下限。引理4.2。设P是一个概率测度Ohm 满足条件完全支持属性。A假设（4.1）分钟1 + κ1 + ~κ,1 - ~κ1 - κ≥ e2。然后，对于每个划分T={T，…，Tn，T}，VPκ（G）≥ 超级Q∈MT，!κ，LE!Q[G（~S）]- L^C（e4+）- 1).我们总是使用标准约定，即空集上的上确界为minus in finity。交易成本的二元性。固定，>0 κ，T如上所述。如果MT，~nκ，L= 那么这句话就无关紧要了。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们假设MT，!κ，L6=. 我们定义了一个任意的度量Q∈ 我们将展示（4.2）VPκ（G）≥ E~Q[G（~S）]- L^C（e4+）- 1).上述不等式的证明分两步完成。在第一步中，我们使用P的条件完全支持性质，构造了一个一致的价格系统，即“c损失”到Q。在第二步中，我们使用超级复制性质和构造的一致价格系统，以获得价格的下限。第一步：在这一步中，我们以类似于Guasoni、Rasonyi和Schachermayer[15]的方式使用P的条件完全支持性质。设置τ（）：=τ（）（S）=0，对于任何正整数k>0，则依次定义τ（）k:=τ（）k（S）=T∧ infnt>τ（）k-1:|林街- lnsτ（）k-1 |=如前所述，我们用S表示Ohm. 定义一个随机整数，K:=K（S）=min{K:τ（）K=T}-1.那么，很明显0≤ K<∞.

我们还设置，Sk:=Sτ（）k∧K、 一,≤ K≤ n+1和（4.3）σk=min{t∈ T:T≥ τ（）k}。回想一下，正整数n是fixed partitionT={t，…，Tn，t}中的点数。对于δ>0，i=1。。。，n和j=±1，设gi，j:[0，Ti]→ R+，是线性函数satisfyinggi，j=1，和gi，jTi=ej+2δj。我们假设δ足够小，因此gi，jis严格为正。接下来，在Ohm我们定义了事件a（j）i:={sup0≤T≤蒂|街- gi，jt |<δ}，i=1。。。，n、 j=±1A（0）T:={sup0≤T≤T|St- 1| < δ}.鉴于条件完全支持性质，所有这些事件都具有非零概率。此外，观察到对于足够小的δ，对于i=1，n、 j=±1A（j）i B（j）i:={τ（）∈ [Ti- /n，Ti]，Sτ（）=exp（±）}。也是一个（0）T B（0）T:={τ（）=T}。因此，我们得出结论，事件B（0）T，B（j）i，i=1。。。，n、 j=±1也有非零P概率。我们采用归纳法。假设对于给定的k≥ 1和任何j。。。，jk=±1,1≤ 我ik≤ n、 我们已经证明了setsB（j，…，jk）i，。。。，ik:=k\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr））12 Y.多林斯基和H.m.索内兰达（j，…，jk）-1,0）我，。。。，ik-1，T:=k-1\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr）\\{τ（）k=T}具有非零P概率。让j。。。，jk+1=±1,1≤ 我ik+1≤ n、 关于τ（）k事件≤ Tikde Fine therandom，线性函数gik+1，jk+1:[τ（）k，Tik+1]→ R+bygik+1，jk+1τ（）k=exp（kXr=1jr）和gik+1，jk+1Tik+1=exp（k+1Xr=1jr）+2δjk+1。根据Guasoni，Rasonyian和Schachermayer（2008）中的条件完全支持t属性和引理2.9，可以得出任何事件B∈ Fτ（）K条件概率supτ（）k≤T≤Tik+1 |街- gik+1，jk+1t |<δ| B（j，…，jk）i，。。。，ik∩ B> 0，andPsupτ（）k≤T≤T|St- exp（kXr=1jr）<δB（j，…，jk）i，。。。，ik∩ B> 假设P（B（j，…，jk）i，。。。，ik∩ B） >0。

因此，与c ase k=1类似，对于非常小的δ，我们得出以下事件的P概率sb（j，…，jk+1）i，。。。，ik+1:=k+1\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr））和b（j，…，jk，0）i，。。。，ik，T:=k\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr）\\{τ（）k+1=T}为正。这对任何k都适用≤ n+1。回想一下测量Q∈ MT，~nκ，Lthat在证明开始时确定，σk由（4.3）定义。在上述讨论的观点中，通过使用与Guasoni、Rasonyi和Schachermayer（2008）中引理2.4类似的论点，可以得出另一个概率度量^Q<< P使得（S，…，Sn+1，σ，…，σn+1）在^Q下的分布等于（S)τ（）的分布，~S)τ（）n+1，τ（）。。。，Q下的τ（）n+1），以及任何i≤ n、 我们有（4.4）^Q（Si+1，σi+1 | Fτ（）i）=^Q（Si+1，σi+1 | S，…，Si，σ，…，σi），^qa.S。我们还观察到，从我们的构造可以得出，对于任何k，（4.5）|σk- τ（）k|≤n、^Q a.s.和（4.6）Sk+1e-2≤ 圣≤ Sk+1e2，T∈ [τ（）k，τ（）k+1]qa.s.现在，我们进入证明的第二步。交易成本的二元性13第二步：自∈ MT，~nκ，L，这个集合的定义意味着存在一个相关的鞅{MT}Tt=0，它满足（1- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St，t∈ [0，T]~qa.s.那么，对于任何k≤ n+1存在一个可测函数ψk:Rk×T→ R+，使得△M△τ（）k=ψk（△S△τ（），~S)τ（）k，)τ（）。。。，τ（）k）。此外，（4.7）（1）- ~k）~S~τ（）k≤~M~τ（）k≤ （1+）κ~S~τ（）k，k≤ n+1Q a.s.然后，打开Ohm 我们用mk=ψk（s，…，Sk，σ，…，σk）简单地定义了随机过程。考虑到（4.4）anf（4.7），可以得出，对于任何k，（4.8）E^Q（Mk+1 | Fτ（）k）=Mk和（4.9）（1）- ~k）Sk≤ Mk≤ 现在，让π=（c，γ）几乎肯定是P的超复制组合。

通过（4.1），（4.6）-（4.9）和部分求和，可以得出e^QγTST- κ|γT | ST+（1）- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u！(4.10)≤ E^QγTMn+1+（1- ~kκ）nXk=0Sk+1Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ-U-E^Q（1+～κ）nXk=0Sk+1Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ+u！≤ E^QγTMn+1+nXk=0Mk+1Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ-U-Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ+u！！=E^Q（nXk=1γτ（）k（Mk+1- Mk=0。接下来，我们介绍随机过程{St}Tt=0by，~St:=n-1Xk=0Skχ[σk，σk+1）（t）+Snχ[σn，t]（t），其中我们设置σ=0。从我们的构造可以看出，{St}Tt=0在^Q下的分布（在空间D[0，T]）与^Q下的分布相等。因此，（4.11）E^QG（)S）=E^QG（)S）和E^Qfi（^S）=E^Qfi（)S），i≤ N.14 Y.多林斯基和H.M.索内尔接下来将介绍假设2.1和属性（4.5）-（4.6）。其结果是以下不等式，它们支持^qa.s.，|G（~s）- G（S）|≤ L（e4+）- 1） kSk，（4.12）|fi（~S）- 菲(S)≤ L（e4+）- 1） kSk，因为我≤ N- 1.根据假设2.2，对于任何正实数x，y | lnx- 在y|≤  => q（y）≤q（x）（1+L（e）- 1） ）+L（e- 1） x1- L（e- 1).我们的结论是（4.13）fN（S）≤fN（S）（1+L（e）- 1） ）+L（e- 1） | | | | S | 1- L（e- 1） 根据（3.1），假设2.2和Doob不等式，可以得出E^Q[kSk]=EQ[kSk]≤ 4E~Q[k~Mk]≤ 16E~Q[~MT]≤ 64E~Q[~ST]≤ 64[cq+cqLN]=^C，其中常数^C和cq如定义4.1所示。此外，Holder不等式得出（4.14）E^Q[k＠Sk]≤^C.最后（4.11）–（4.14）以及∈ MT，^κ，跛行的E^Qfi（S）≤ 李，以前我≤ N.因此，使用（4.10）-（4.14）和关系^Q<< 我们到达atL（c）≥ E^Q[c·f（S）]≥ E^Q[G（S）]≥ E~QG[（~S）]- L^C（e4+）- 1).由于上述不等式几乎肯定适用于每个P的超复制策略π=（c，γ），这证明了不等式（4.2）并完成了这个引理的证明。5.

上界的估计在本节中，我们在定理2.7的假设下，建立了上界证明中使用的估计。我们∈ （0，ln（1+1/L））并从两个定义开始。定义5.1。函数F∈ D[0，T]属于D（），如果满足以下条件，（1）F=1。（2） F是分段常数，在t。。。，tn，其中t=0<t<t<tn<T.（3）对于任何k=1。。。，n、 |ln Ftk- 在Ftk-1| = .（4） 对于任何k=1。。。，n、 tk- tk-1.∈ U（）k，其中U（）k：=i/（2k）：i=1，2，∪/（i2k）：i=1，2，,是两个连续跳跃时间之间可能存在的差异集。我们强调，在第四种情况下，集合U（）k的依赖性较大，跳跃时间取一个更细的网格中的值。交易成本的二元性15定义5.2。对于∧κ，λ>0，设M，λ∧κ，Lbe空间D[0，T]上的所有概率测度集qo，这样就成立了：（1）在集合D（）上支持概率测度Q。（2） 存在一个c`adl`ag（~Q，~F）marting ale{Mt}Tt=0，这样（1）- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St~Q a.s.（3）Le t^C与定义4.1相同，L与假设2.1相同。Se tB:=L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ+2L（e）- 1） LN+对于任何i<N，E ~Q[fi（~S）]≤ Li+B，andE~Q[fN（~S）∧ ∧（~ST+1）]≤ LN+B。下面的结果为模型提供了一个上限——自由超级复制价格Vκ（G）。引理5。3.假设（5.1）分钟1 + ~κ1 + κ,1 - κ1 - ~κ≥ e4。ThenVκ（G）≤超级Q∈M∧!κ，LE!Q[G（~S）]++ L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ).同样，我们使用了标准约定，即空集的上确界为minus in finity。特别是，如果M，∧κ，Lis为空，那么上面的引理表示vκ（G）≤ L（e2+）- 1） ^C2（1）-8κ).证据证明分两步完成。

在第一步中，我们将应用处理“类ical”超级复制的结果，并按比例计算交易成本。第一步：因为D（）是可数的，所以存在一个概率测度!∈ D（）。考虑过滤概率空间（D[0，T]，{Ft}Tt=0，~Ft，~P）。用M~κ表示所有一致pric e系统inD（）的集合。也就是说，Q∈ 如果?Q等价于?P，并且存在一个c`adl`ag鞅{Mt}Tt=0（关于?Q和?F），那么- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St~pa.s.设X:=X（~s）为随机变量，该随机变量是可测量的，并且从下方以1+~St.集（5.2）c:=supQ的倍数为界∈根据Schachermayer[21]中的定理1.5，可以得出存在一个可预测的有界变差{γt}Tt=0的随机过程，使得＠γ=＠γt=0和C+（1）- ~k）Z[0，T]~Sud ~γ-U- （1+/κ）Z[0，T]~Sud~γ+u≥ 十、 因此，存在一个可预测的映射γ：D（）→ L∞[0，T]对于任何F∈ D（）γ（F）=γT（F）=0和（5.3）c+（1）- ~k）Z[0，T]Fud~γ-u（F）- （1+/κ）Z[0，T]Fud~γ+u（F）≥ X（F），其中L∞[0，T]是区间[0，T]上所有有界函数的集合。接下来，选择（c，…，cN）∈ RN+并考虑随机变量X=X（~S）=G（~S）-N-1Xi=1cifi（~S）- cN（fN（~S）∧ ∧（ST+1））。回想一下，在假设2.2中，我们假设如果fi是路径依赖的，那么它是有界的。加上fi的Lipschitz连续性，i=1。。。，N- 1.产量f（~S）。。。，fN-1（~S）以1+~ST的倍数为界，因此X也以1+~ST的倍数为界。设（c，|γ）（5.2）和（5.3）为真。接下来，我们将交易策略γ提升为spa c e上的交易策略Ohm. 我们开始做一些准备。