模糊厌恶投资者的鲁棒默顿问题

初等优化表明，μu最小，因为它在Pσ中具有最小的点态Rn范数：kμut（ω）k=mineP∈Pσk~nt（ω）kdt dP^u，σ- a、 e.因此，Υσ漂移上的椭球模糊度可以被改写为a（非凸！）以不确定性的市场价格为条件，即u∈ Υσi ff mineP∈Pσk~nt（ω）k≤ dt dP^u，σ- a、 e.这应该与文献中普遍存在的条件（参见[9]，[3]）形成对比，这些条件要求在凸集中对不确定性的市场价格进行估值。（3）的分辨率基于验证定理的下一个稳健版本。尽管针对集合P，Υ进行了公式化，但其有效性是一般性的，不依赖于先前模型集合的任何特定参数化。定理1：简而言之，把ν=（u，σ）称为Υ的一般元素。假设：1。存在一个函数V:[0，T]×R+→ R、 它在[0，T]×R+上是连续的，在[0，T）×R+上是C1,2，验证V（T，）=u（T，）；2.对于任意（θ，c）存在一个最优解ν（θ，c）∈ （3）中的内极小的Υ，使得yt=Y（θ，c）t≡ V（t，wt）+Ztu（s，cs）ds（4）是Pν（θ，c）-上鞅；3.存在一些（\'θ，\'c）∈ Arob（w）使得相应的Y是Pν（°θ，\'c）-鞅。然后（°θ，’c）对于问题（3）是最优的，V（0，w）是最优值函数，即uOpt（w）=V（0，w）。证明：该证明是对Davis Varaiya鞅最优控制原理的简单修正[20，定理1.1]。实际上，根据Y在Pν（θ，c）和byV（T，）下的上鞅性质u（T，），我们有：Eν（θ，c）[YT]=Eν（θ，c）[ZTu（s，cs）ds+u（T，wT）]≤ Y=V（0，w）。取Arob（w）上的上确界可得到uopt（w）=supArob（w）Eν（θ，c）[RTu（s，cs）ds+u（T，wT）]≤V（0，w）。

由于通过对一些ν=（\'θ，\'c）的假设，过程Y是Pν（\'θ，\'c）下的一个鞅，那么Eν[YT]=Y=V（0，w），结论立即出现。现在，使用验证定理来解决规避歧义投资者的问题是非常直观的。给定一个特定的效用函数，我们寻找一个满足定理前提的函数V。使用它的公式，任何过程Y如（4）中所示，在以下SDE下验证：dYt={u（t，ct）+Vt+Vw（rwt+θt（ut- r1）- ct）+θt∑tθtVww}dt+VwθtσtdW。（5） 使Y在每一个Pν（θ，c）下为上鞅，并使Y在某些Pν（θ）下为鞅*,C*), （θ，c）上的最大值∈ ν最小值的Rn×R+∈ Υ必须等于零。此时，在完全不完全市场情况下，必须假设σ的其他特定结构，例如，依赖于[9]中的相关非交易资产。然而，在本文的其余部分，我们将重点放在完整的市场情况上，即我们假设σisa平方矩阵。然后，一个极大极小非线性偏微分方程由（5）：极大（θ，c）产生∈Rn×R+minσ∈S、 u∈U(σ)u（t，c）+Vt+Vw（rw+θ（u）- r1）- c） +θ∑θVww= 0，属于汉密尔顿·雅可比·贝尔曼·艾萨克斯类型。在下文中，我们简单地将其称为鲁棒HJB方程。σ固定的漂移最小化为：minu∈Rn{θu：（u）- ^u)Σ-1(u - ^u) ≤ },这是Karush-Kuhn-Tucker在必要和充分条件下的一个简单练习。当θ6=0时，最优解为u（θ）=^u- Σθ√θΣθ.将其替换回健壮的HJB，我们得到max（θ，c）∈Rn×R+minσ∈su（t，c）+Vt+Vw（rw+θ）- r1）- √θΣθ - c） +θ∑θVww= 也包括θ=0的情况。由于财富w中的值函数V将增加（并且是凹的），我们正在最小化S:minσ上的凹函数∈s-大众汽车√θ∑θ+Vwwθ∑θ. （7） 请注意，要优化的函数仅通过二次型θ∑θ依赖于σ，其导数wrt y:=θ∑θ在Vw>0，Vww<0时为正。

因此，优化器在总体上并不是唯一的，S的紧凑性至关重要。实际计算取决于S的规格，当集合S被精确地定义为二次型上的约束时，可能非常容易，如我们在第4节所示。让我们用‘∑（θ）表示优化器，其中‘∑（θ）是最优Varcov矩阵∑（θ）的Cholesky分解。由于二次型θ∑（θ）θ的最佳值不取决于∑（θ）的具体选择，因此可以得到PDEmax（θ，c）∈Rn×R+u（t，c）+Vt+Vw（rw+θ）- r1）- qθ∑（θ）θ- c） +θ∑（θ）θVww= 0，（8）在我们在第3节和第4节中介绍的主要应用中，∑（θ）=∑，即常数。在这种情况下，上述方程等效地被视为源于最坏情况（\'u，\'σ），其中，\'σ是∑，\'u=^u的Cholesky分解- Σθ√θ∑θ，并使用财富方程中的最短偶：dwt=（rwt+θt（^ut）- r1）- qθt∑θt- ct）dt+θt′σdW。（9） 因此，当漂移中仅存在（椭球）不确定性时，一般问题（3）等价于鲁棒效用最大化。然后，用于解决（8）的技术是标准的，并且依赖于对解决方案形式的有根据的猜测。如果可以明确地找到鲁棒HJB的解V，那么它就是我们要寻找的价值函数。最后，为了得出V确实是价值函数的结论，必须检查它是否验证了定理1.3中的第1、2和3项，即具有非模糊σ的鲁棒幂效用问题。我们在本节中假设投资者具有幂效用函数，并且（常数）平方波动率矩阵上存在确定性，即S={σ}。考虑到平均收益率比波动率受更高程度的影响，波动率中缺乏不确定性可能在经验上是合理的。

我们提供明确的解决方案，无论是在规划期内还是在规划期内。为了避免符号重载，对于第4节中的下一个用法，我们对σ进行了讨论。此外，我们还表示byU:= {uprogr meas |ut（ω）∈ U（σ） 对于所有ω}，Eu表示Pu下的预期，σ.3.1表示最终水平规划3。1.1稳健HJB等式的解决让我们假设投资者拥有跨期消费的CRRA电力公司：u（t，x）=e-ρtx1-R1- R、 其中ρ和R6=1为正常数，分别模拟时间不耐烦率和相对风险规避。在有限地平线的情况下，我们希望找到以下解：uopt（w，) = sup（θ，c）∈Arob（w）infu∈UEuZ∞E-ρsc1-Rs1- 无线电数据系统, （10） 当问题是适定的，即当它有一个确定的值时。假设目前情况是这样的，并且两个内界（对于固定值（θ，c））∈ 获得了Arob（w））和外层。这个问题的性质意味着，与经典情况完全一样，对值函数的猜测采用形式v（t，w）=γ-Ru（t，w）。当S={σ}时，我们注意到Arob（w）与经典的可容许平面集σ（w）重合。正常数γ必须确定，我们使用 作为下标，突出显示对模糊半径的依赖. 有了这个猜测，让我们来解（8）。对c的优化通常会导致“c=γ”w、 用maxC{u（t，c）- cVw}=e-ρtR1- R（γ）w） 一,-R.剩余优化ismaxθE-ρtR1- R（γ）w） 一,-R+Vt+Vw（rw+θ）- r1）- √θ∑θ）+θ∑θVww.要最大化的函数在θ上是凹的，在Rn\\{0}上是光滑的。因此，一阶条件对于θ6=0的最优性是必要的和有效的。因此，通过将梯度等于零，我们得到：θ（s）=-sVwsVww- 大众汽车Σ-1(^u - r1），其中s：=√θΣθ . 我们只剩下s=θ（s）∑θ（s）SetH:=p（^u）- r1）∑-1(^u - r1），H:= H- .上述方程有一个正根，由以下公式得出：\'\'s=-VwHVwwif且仅当H> 0

如果H≤ 0时，最优解必然是θ=0。最后，如果H+表示H的正部分, 以下是在这两种情况下编写最佳解决方案的简洁方法：\'θ=wH+RH∑-1(^u - r1）现在，γ通过将这些c和θ代入（8）并求解常数，可以得到。直接计算结果为：γ=ρ+（R）- 1） （r+（H）+)R） R（11）代表什么 = 0回到常数γ=ρ+（R-1） [r+HR]经典案例。因此，问题的值函数V为V（t，w）=γ-Ru（t，w）。这当然能维持多久> 0，这是鲁棒Merton问题适定性的必要和充分条件。3.1.2与经典默顿问题的验证和比较命题1平均收益椭球模糊下的有限水平稳健默顿问题：uopt（w，) = sup（θ，c）∈Arob（w）infu∈UEuZ∞E-ρsc1-Rs1- 无线电数据系统,适定的充要条件是γ在（11）中，绝对是肯定的。在这种情况下，最佳值为Uopt（w，) = V（0，w）=γ-R（w） 一,-R1- R、 最优控制为：\'θt=\'wtπ, \'ct=γ“-wt，最佳投资组合比例向量由π给出:=H+RH∑-1(^u - r1）最坏情况下的漂移是恒定的：\'u：=u（\'θ）=^u- ∑pπΣππ,最优财富过程有Pu，σ动力学，由wt=wexp给出πσWt+（r+（H）+)（2R）- 1） 2R- γ)T. （12） 证明：证明分为两个步骤。1.如果γ≤ 0然后uopt（w，) = ∞. 首先请注意，这种情况只能在0<R<1时发生。这里的证明严格遵循[20，第1.6节]。1-a）假设γ< 0

然后，考虑两个都与财富成比例的控制：θt=wtπ，ct=λwt，λ>0。如果我们把它们代入（7），那么解决方案就是正财富WT=wexp（r+π（^u）- r1）- √πΣπ - λ -π∑π）t+π∑Wt因此：uopt（w，) ≥ Eu（θ）[Z∞E-ρtλ1-R1- R（ewt）1-Rdt]。随机Fubini定理的一个应用表明，后者是成比例的∞经验T-ρ + (1 - R） （R+π（^u）- r1）- √πΣπ - λ -Rπ∑π）dt。如果存在指数为正的（π，λ），则积分发散，值函数为有限。对于固定λ，π=π的指数中π上的最大值, 价值是-ρ + (1 - R） （R+（H）+)2R- λ) = -Rγ- λ(1 - R） ，对于足够小的λ为正。1-b）如果γ= 取θt=wtπ, 对于某些常数k>0，ct=k1+Twt。这是一个选择（w，) ≥Z∞E-ρt1- Rk1-R（1+t）1-REu（θ）[（ewt）1-R] dt。现在，Eu（θ）[（ewt）1-重新-ρt]=e-(1-R） Rtk1+sds=e-(1-R） k ln（1+t）=（1+t）k（1）-R） 当t→∞. 因此，被积函数渐近到（1+t）-（k+1）（1）-R） 因此，如果k=1，积分会发散-R- 1.2. 如果γ> 0，则最优过程/值如命题陈述所示。将候选最优控制（\'θt，\'ct）代入（9），并求解候选最优财富（12），可进一步简化为：\'wt=wexpπWt+R（R）- ρ -（H）+))T过程“w”是几何布朗运动的确定标度，以及过程“vt:=（“wt”）1-R.现在，（1）- R） \'\'Yt:=（1）- R） [V（t，\'wt）+Ztu（s，\'cs）ds]=γ-RE-ρt’vt+Zte-ρs（γ）)1.-R’VSD。在每一个紧致[0，T]中都有可积的极大泛函，并且通过构造有零漂移项。

从今以后，Y是Puσ鞅。对于与其他容许控制（θt，ct）有关的，过程y=V（t，wt）+Ztu（s，cs）dsw，如（9）中所示，通过构造一个微分，其符号与（1）相同- R） ，且在Pu（θ），σ下具有非正漂移如果0<R<1，那么任何这样的Y都是正的。通过在Pu（θ）下写出（5），σ，可以立即意识到Y是正局部鞅的正的、递减的标度，即过程X的Dol′eans指数，定义为：X:=Z·γ-RE-ρsYsw-RsθsσdW。从今以后，Y是Pu（θ），σ-上鞅。此外，V(∞, ·) = u(∞, ·) = 0，从而满足验证定理1的条件，并且在这种情况下的证明是完整的如果R>1，任何Y都是负的。对刚才在0<R<1情况下使用的参数进行简单的修改，只表明Y是一个局部上鞅。因此，在这种情况下，我们用另一种方式展示了（（\'θ，\'c），\'u）的最优性。为此，请注意，如上所述的“Y”的鞅性质，以及标准的极大极小不等式，给出了“u[Z”∞E-ρt（\'ct）1-R1- Rdt]=γw1-R1- R≤ uopt（w，) ≤≤ infu∈UsupArob（w）Eu[Z∞E-ρt（ct）1-R1- [Rdt]≤ infu∈UsupArob（w）Eu[Z∞E-ρt（ct）1-R1- 因此，如果我们证明左边的第一个值等于RHS最后一个值，我们就完成了。这是一项相当容易的任务。事实上，对于固定常数u∈ U内上确界是标准的默顿问题。因此，sup（θ，c）∈Arob（w）EuZ∞E-ρt（ct）1-R1- Rdt= (γ(u))-R（w）1-R1- 我们提出的Rinγ（u）：=ρ+（R-1） （r+（H（u））r，其中H（u）：=p（u）- r1）∑-1(u - r1）。剩余极小化：infu∈U(γ(u))-R（w）1-R1- Ris然后是一个简单的练习，最小值为¨u，因此γ（u）=γ（¨u）=γ, 这就是证据。让我们注意到，最优投资组合θ保持了默顿互惠定理的形式。

事实上，最优投资组合包括两个固定共同基金之间的分配，即无风险资产和风险资产基金，由∑给出-1(^u -r1）。在每个时间点，财富的最佳相对分配现在取决于投资者的模糊厌恶，以及他/她通过系数H的风险厌恶+嗯。上述分配自然会被分解为默顿分配 = 0.如果歧义半径 如果大于或等于市场夏普比率H，则最优控制策略是完全不投资于风险资产。从那时起+右≤R、 稳健的Merton投资组合π相对于经典的默顿投资组合，其绝对价值头寸较小。也就是说，相对于模糊中性投资组合，多头和空头头寸都会缩水。正如引言中所预期的，决策的稳健性降低了对股权的最佳需求，从而为股权溢价之谜的可能解释提供了理论基础。模糊厌恶情况下的消耗可能会增加或减少，具体取决于R的符号- 1.事实上，当经典问题及其模糊性厌恶与 > 0都是适定的，如果0<R<1，则为γ> γ> 0，而如果R>1，则相反的不等式链成立。3.2非模糊σ的有限期规划现在投资者在T<∞:u（t，w）=e-ρtw1-R1- Rfor 0≤ t<t和u（t，w）=Aw1-R1- Rin，其中A是固定的正常数。在这里，我们将CRRApower实用程序的确定性缩放设置为与无限期情况相同，以更好地强调相似性，但如果e-ρt被一个可积、正、确定性函数h（t）所代替。

然后，我们希望找到：uopt（w，) = sup（θ，c）∈Arob（w）infu∈U中兴通讯-ρsc1-Rs1- Rds+Aw1-RT1- R#，（13）使用CRRA实用程序的缩放特性，对值函数的猜测形式为v（t，w）=f（t）w1-R1-r对于满足f（T）=A的正可微函数，HJBequation（8）现在看起来像是max（θ，c）∈Rn×R+E-ρtc1-R1- R+f（t）w1-R1- R+f（t）w-R（rw+θ）-r1）-√θΣθ-c）-射频（t）w-R-1θΣθ=0.如前一节所述，我们得到\'c（t，w）=wE-ρtf（t）1/R′θ=wπ.将上述内容替换回HJB方程，得到f:（f（t）+k的一阶常微分方程f（t）+Re-ρRt（f（t））1-R=0f（T）=Awithk:= (1 - R）r+π(^u - r1）- pπΣπ-RπΣπ= (1 - R） （R+（H）+)2R）。通过替换f（t）=g（t）R，常微分方程可以线性化并容易求解：g（t）=ARexpKR（T）- （t）+ E-KRtZTtexpK- ρRsds。与[20，第2.1节]的解相比，唯一的变化是：1）常数k,其中His替换为（H+)2）最优投资组合配置，与前一节的稳健配置案例相同。显然对于一个模棱两可的中立投资者来说 = 0我们回到默顿问题的最终解决方案。让我们总结一下刚刚发现的结果，把验证留给读者。命题2 meanshuopt（w，) = sup（θ，c）∈Arob（w）infu∈U中兴通讯-ρsc1-Rs1- Rds+Aw1-RT1- R#总是适定的，并且允许最优控制：\'θt=\'wtH+RH∑-1(^u - r1）=wtπ“ct=”wte-ρRtg（t），其中g（t）=ARexpKR（T）- （t）+ E-KRtZTtexpK- ρRsD和k= (1 - R） （R+（H）+)2R）。

最佳的¨u=u（¨θ）=^u- Σ√πΣππ, 最优富裕过程w在Pu下有动力学，σ由以下公式给出：\'wt=wexp\'r+（H+)2R（R）- 1)t+Zte-ρRsg（s）ds+πσWt#。4个σ不明确的例子在以下所有例子中，波动率是平方、满秩、矩阵。例1（不相关情况）假设估计的波动率矩阵^σ是对角的。也就是说，风险资产的回报（瞬间）是不相关的。此外，我们假设歧义不影响相关性，即歧义集S是对角线矩阵的歧义集，其对角线∑位于某种乘积[σ，σ]×。[σn，σn]，infiσi>0和σi≤ ^σi≤ σi.这正是Lin和Riedel[19]所研究的情况，其中通过G-布朗运动技术处理问题。对于固定的模糊半径 > 0在漂移时，最大-最小HJB（6）中σ上的剩余内极小值的解对于这种对角不确定度规范来说变得微不足道。唯一的最坏情况波动率是常数，它是“最高”波动率，\'σ=Diag（σ，…，σn），不依赖于θ。因此，一般问题（3）等价于一个鲁棒效用最大化问题，其波动率为σ，且漂移仅为椭球不确定性，半径为. 为了给出一个明确的例子，在幂效用的情况下，我们最终用σ=？σ求解（10）或（13）。很明显，这些验证与前一节中刚刚看到的验证完全相同。由此产生的最优相对投资组合也是常数：π（\'）σ）=H+相对湿度（∑）-1(^u - r1）其中H=q（μu）- r1）∑-1(^u - r1），H+= （H）- )+.例2（二次型∑的上界）这个例子可以看作是前一个例子的放松，在这个意义上，我们不单独对∑的每个特征值施加约束，也不假设∑是对角的。