具有不可观测市场参数和确定性的最优投资组合

LetbF（y）= F（py、 bλ），D= (0, + ∞ )d×[0，T），设b（y，T）：d→Rd×n，使得b的第i行是yiθi（t）. 然后dy（t）=b（y（t），t）Q（t）deR和（27），（29）变成五、t（y，t）+tr[五、y（y，t）b（y，t）Q（t）b（y，t）] = 0，V（y，t）→bF（y）as t→ T- 0y、 请注意，该方程通常是退化的，因此可能不容易求解。然而，该定理给出了V的最优策略。例3。在此，ea（t）演化为一个单位值马尔可夫过程的函数。对于隐式，设n=1。假设ea（t）=A（t，θ（t），R（t））和σ（t）=α（t，R（t）），其中过程θ（t）是一个随机马尔可夫过程，使得P（θ（t）∈ ∧=1，∧={θi:i=1，…，d}是给定的有限集，d>1是整数。我们假设A（t，·）：λ×R→ R和α（t，·）：R→ R是满足假设2.1的可测函数。我们得到了θ（0）的初始d分布，也就是说，我们得到了“yi”= P（θ（0）=θi），我们得到了有界函数lij（·）：[0，T]→ R使得pij（t，s）=δij+ZtsdXk=1lki（τ）pkj（τ，s）dτs≤ t、 其中pij（t，s）= P（θ（t）=θi |θ（s）=θj），其中δij是K ronecker三角洲，参见Liptser and Shiryaev（2001），Lemm a 9.1。这是规格。设M= d+2，y（t）= （y（t）。。。，yM（t））, 图1（t）= P（θ（t）=θi | FR，rt），i=1。d、 yd+1（t）=eR（t）；yd+2（t）=\'Z（t）。根据Liptser和Shiryaev（2001）第355页的定理9.1，我们得到dyi（t）=Pdk=1lki（t）yk（t）dt+yi（t）α（t，eR（t））-2.A（t，θi，eR（t））-Pdk=1A（t，θk，eR（t））yk（t）德（t）-Pdk=1A（t，θk，eR（t））yk（t）dt,yi（0）=yi，i=1。d、 （34）为了保持线性界，我们引入了有界光滑函数ψ（·）∈ C∞（R） 使得ψ（x）=x(十、∈ [0,1]）（显然，存在这样一个函数）。易建联∈ [0,1]，i=1，d、 根据需要，我们可以用ψ（yi）替换此类yi。

然后我们有了a（t）= E{ea（t）|FR，rt}=dXi=1A（t，θi，yd+1（t））yi（t）=dXi=1A（t，θi，yd+1（t））ψ（yi（t）），因此（20）和（34）再次暗示dyi（t）=Pdk=1lki（t）yk（t）dt+yi（t）α（t，eR（t））-2.A（t，θi，eR（t））-Pdk=1A（t，θk，eR（t））ψ（yk（t））德（t）-Pdk=1A（t，θk，eR（t））ψ（yk（t））dt,dyd+1（t）=deR（t），dyd+2（t）=yd+2（t）Pdi=1A（t，θi，yd+1（t））ψ（yi（t））α（t，yd+1（t））-2deR（t），yi（0）=yi，i=1。d、 yd+1（0）=0，yd+2（0）=1。（35）显然，方程组（34）-（35）可以写成（26）的形式，相应的f，`b满足要求的条件，并且满足定理6.1的所有假设，并且可以从相应的方程（27），（29）中得出最优策略。7附录：证明首先我们证明命题2.1。为此，工程师*（t）=Ztα（τ，eR）*（·））dw（τ），ea*（t）= A（t，Θ，eR）*（·）|[0，t]），Z*= expZT（α（t，eR*(·))-1ea*（t） )dw（t）-ZT |α（t，eR*(·))-1ea*（t） ）|dt！。命题7.1存在一个可测函数ψ：C（[0，T]；Rn）×B（[0，T]；Rn）→R以至于*= ψ（eR）*（·），ea*Z=ψ（eR（·），ea（·））a.s.此外，Z（θ，T）=ψ（eR（·），a（·，θ，eR））。证据定义（t，f）= α（t，f）α（t，f）. （37）Thenlog Z=ZTea（t）Q（t，eR（·）|[0，t]）德（t）-ea（t）dt, （38）andlog Z*=ZTea*（t）Q（t，呃）*（·）|[0，t]）德*（t）-ea*（t） dt.这定义了ψ。由于z（t，θ）满足（38），EA（·）被A（·，θ，eR）取代，最后的结果如下。让我们*=ZTdν（θ）ψ（eR）*（·），A（·，θ，eR*(·)))=ψ（eR）*(·)). （39）从命题7.1得出，\'Z=\'ψ（eR（·））。最后，由于Θ独立于w，r，因此ofeR*, r、 接下来就是“Z”*= E（Z）*|呃*, r） 。命题7.2设φ：C（[0，T]；Rn）×B（[0，T]；Rn）×B（[0，T]；R）→ R是Eφ这样的函数-（eR（·）、ea（·）、r（·））<+∞ 设bφ是一个类似的函数，但不依赖于a。ThenEφ（eR（·），ea（·），r（·））=EZ*φ（eR）*（·），ea*（·），r（·）），（41）Ebφ（eR（·），r（·））=E\'Z*bφ（eR）*（·），r（·）），（42）E*bφ（eR（·），r（·））=Ebφ（eR*（·），r（·））。（43）证据。

假设Θ独立于w（·）。通过DBP/dP=Z定义概率测量值BP*. 然后E{Z*|Θ}=1和d证明（41）必须证明φ（eR（·）、ea（·）、r（·））Θ= EZ*φ（eR）*（·），ea*（·），r（·））Θ=是φ（eR）*（·），ea*（·），r（·））Θa、 因此，在下一段中，在不失去普遍性的情况下，我们假设Θ=θ是确定的，因为对于Θ的每个值，我们可以构造ΘR，ΘR*, ~a，~a*英国石油公司。由Girsanov的TheEorem，TheProcessBW（t）= w（t）-Ztα（s，eR）*(·))-1ea*（s） DSBP是一个维纳过程。由此和（3）我们得到了（t）=A（t，Θ，eR（·）|[0，t]）dt+α（t，eR（·）|[0，t]）dw（t），deR*（t） =A（t，Θ，eR）*（·）|[0，t]）dt+α（t，eR*（·）|[0，t]）dbw（t）。然后对于Θ的每个值，processeseR（·）andeR*（·）在分别由P和BP定义的概率空间上具有相同的分布，和（44），因此（41）如下。此外，（42）后面接（41）中的条件期望。最后，使用命题7.1和（41），E*bφ（eR（·），r（·））=EZ-1bφ（eR（·），r（·））=Eψ（eR（·），ea（·））-1bφ（eR（·），r（·））=EZ*ψ（eR）*（·），ea*(·))-1bφ（eR）*（·），r（·））=Ebφ（eR*（·），r（·））。命题2.1的证明。有必要证明*φZ=E*φ′Z表示所有FR，rT可测量函数φ。这些函数的形式是bφ（eR，r）。但是（42），（43）意味着*φZ=Eφ=Ebφ（eR，r）=E′Z*bφ（eR）*, r） =E*\'Zbφ（eR，r）=E*φ′Z。备注2.3可通过类似技术进行验证。仅用σ（t，ω）代替α（t，·），而不是α中的参数。由（4）可知，存在一个函数Q，使得Q（t，ω）=Q（t，eR（·ω））=Q（t，eR）*(·, ω)). 如果A也依赖于r，那么¨ψ还依赖于r。为了获得定律的唯一性，我们现在在P位置证明7.2中对Θ，σ，r进行条件化。现在我们来看定理4.1。定义ξ*= F（\'Z*,bλ）。如果我们将φ定义为bξ=φ（eR（·）），那么bξ*= φ（eR）*(·)).定理4.1的证明。让我们展示一下欧盟-（bξ）<∞ 因此，EU（bξ）是明确的。

Fork=1，2。。。，介绍随机事件Ohm（k）*= {-K≤ U（bξ）*) ≤ 0}, Ohm（k）= {-K≤ U（bξ）≤ 0}，以及它们的指示符，χ（k）*和χ（k）。数字bξ*提供函数“Z”的唯一最大值*U（ξ）*) -bλξ*超负荷，和X∈因此，通过命题7.2，我们得到，对于所有的k=1，2。。。，Eχ（k）U（bξ）- Eχ（k）*bλbξ*= Eχ（k）*\'Z*U（bξ）*) -bλbξ*≥ Eχ（k）*\'Z*U（X）-bλX= Eχ（k）U（X）-bλXP(Ohm（k）*) ≥ -|U（X）|- |bλX |>-∞.此外，我们还有E | bξ*| = E*|bξ|<+∞. 因此欧盟-（bξ）<∞.现在观察任何π∈ 我们可以将（42）和（43）应用于U（eXπ（T））（并使用（39））得到eu（eXπ（T））=E*{ZU（eXπ（T））}≤ E*{ZU（eXπ（T））-bλeXπ（T）}+bλX≤ E*{ZU（bξ）-bλbξ}+bλX=E*\'ZU（bξ）=EU（bξ）。因此（ii）符合（iii）的要求。注th:Fwt=FeR*tsobξ*= φ（w（·）），这里wφ（·）：B（[0，T]；Rn）→ R是可测函数。根据鞅表示定理，bξ*= Ebξ*+ZTf（t，w（·）|[0，t]）dw（t），其中f（t，·）：B（[0，t]；Rn）→ R是一个可测函数，使得rt | f（t，w（·）|[0，t]）|dt<+∞ a、 这里存在一个唯一的可测函数f（T，·）：B（[0，T]；Rn）→ R使得f（t，w（·）|[0，t]）≡ f（t，eR）*（·）|[0，t]）。因此，bξ*= Ebξ*+ZTf（t，eR）*（·）|[0，t]）dw（t）=Ebξ*+ZTf（t，eR）*（·）|[0，t]）α（t，eR）*)-第1条*（t） 。（45）命题7.2暗示Ebξ*= E*bξ=X，bξ=X+ZTf（t，eR（·）|[0，t]）σ（t）-1deR（t）。因此，策略bπ（t）= B（t）f（t，eR（·）|[0，t]）σ（t）-1重复B（T）Bξ。它属于A；特别地，eXbπ（t）=X+Rtf（t，eR（·）|[0，t]）σ（t）-1deR（t）=E*（bξ| FeRt）∈bD因为bD是凸的。HenceeXbπ在下面有界。这就完成了定理4.1的推导。推论5.1（ii）的证明。我们应该使用符号Y（t，π）= 日志eXπ（t）+δX+δ. 把所有过程的集合设为a（t）：[0，t]→ Rn是关于FR、Rt逐步可测量的，因此ERT|a（t）|dt<+∞.

对于任何a（·）∈ B、 定义π（t）=（X′π（t）+δB（t））’a（t）Q（t）其中X′π（t）= B（t）eX（t）andeX（·）是从（9）us-ingπ中发现的=B（eX+δ）`aQ.ThenY（t，\'π）=Zt\'a（s）Q（s）deR（s）-Zt\'a（s）Q（s）–a（s）ds, （46）andEY（T，\'π）=EZT-|σ（t）-1（a（t）-ea（t）|+ea（t）Q（t）ea（t）dt。（47）设置a′（t）= E{ea（t）|FR，rt}。自E | K（Θ，σ（·），σ（·）, r（·））|<∞, 那么Jensen的不等式意味着a′（·）∈ B.考虑相应的str策略π′（t）= （Xπ′（t）+δB（t））a′（t）Q（t）。（48）众所周知，EY（T，π′）≥ EY（T，\'π），所以策略（48）在所有对应于\'a（·）的\'π（·）上是最优的∈ B.然后（19）和推论遵循ifba（·）∈ B.让我们展示一下。对于任何K>0，设置tk= inf{t∈ [0，T]：Zt|ba（s）|ds>Zt|a′（s）|ds+K}。像往常一样，如果集合为空，则取TK=T。注意e log（eXbπ（TK）+δ）≥ E对数（eXπ′（TK）+δ）K>0，（49），因为如果（49）失败，那么EY（T，πK）>EY（T，bπ），其中πK（T）=（π′（t）t≤ TKbπ（t）t>TK。此外，让χK（t）表示事件{t<TK}和let\'aK（·）的指示函数=χK（·）×a（·）∈ B、 eaK（t）= χK（t）ea（t）。如（47）所示，我们有（TK，\'-π）=EZTK-|σ（t）-1（a（t）-ea（t）|+ea（t）Q（t）ea（t）dt（50）=EZT-|σ（t）-1（aK（t）-eaK（t）|+eaK（t）Q（t）eaK（t）dt。然后过程E{eaK（t）|FR，rt}=χK（t）E{ea（t）|FR，rt}=χK（t）a′（t）给出了最大值of ey（TK，\'π）。由（49）可知，对于t，χK（t）ba（t）=χK（t）a′（t）∈ [0，T]和K>0。因此，对于任何K>0，TK=ta.s，而a′（·）=ba（·），ba（·）∈ B.然后（19）和（ii）跟随。定理5.1的证明。根据条件3.1和3.2，F（z，λ）=λ-lzl，所以我们想要复制B（T）（X/E）*“Zl”）Zl。首先，让我们为“Zl”找到一个代表。\'-Zl=RTldν（θ）·dν（θl）expPlk=1RTθk（t）Q（t）deR（t）-Plk=1RTθk（t）Q（t）θk（t）dt=RTldν（θ）·dν（θl）γ（θ，…，θl）zPlk=1θk，T=R′Td′ν（θ）z（θ，T）G*“\'Zl=G，因为E*z（θ，T）=E*ψ（eR，θ）=Eψ（eR）*, θ） =1，因为ψ（eR）*, θ） isap鞅。现在我们必须证明exbπ（T）=X′Zl/G。

但是x\'ZlG=XZ\'Td\'ν（θ）z（θ，T）=X1+ZTZ\'Td\'ν（θ）z（θ，T）θ（T）Q（t）deR（t）=用（22）定义的bπ表示eXbπ（T）。现在（23）和（22）中的等式来自（9）和（6）。最后（24）跟在e{Zl后面-1} =E*{Zl}=G。推论5.3的证明。如果我们取T={θo}，那么T={lθo}，所以（22）意味着在完全观测的情况下，最佳策略是π（T）=lXπ（T）Q（T）ea（T），因此（25）中的函数如下。这和（22）、（23）imp-lylba（t）=R′Td′ν（θ）z（θ，t）θ（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）。将其与推论5.1（i）和（16）进行比较，我们发现lba（t）是与U（x）问题等价的过滤器≡ 对数x，且Θ=ea（·）的先验分布由T上的Θ表示。根据推论5.1（ii），ba（t）=l-1 `E{ea（t）| FR，rt}。命题6.1的证明。需要证明命题中定义的策略确实存在且可接受。假设C（·）在一个开放域inRM中有一个有限的支持，并让函数C（·）足够平滑。集合V（x，s）= E*C（yx，s（T）），其中yx，s（·）是dy（t）=f（y（t），t）dt+\'b（y（t），t）deR（t），y（s）=x（51）。然后可以证明V（x，s）是问题（27）-（28）的经典解。因此，V（x，t）是（27）-（28）的经典解。塞特斯*（t） =V（y）*（t） ，t）。从（27）和它^o\'sLemma开始，它遵循thateX*（T）=eX*（t） +ZTt五、y（y）*（s） ，s）b（y）*（s） ，s）dw（s）。接下来就是那个*（0）=V（y）*（0，0）=电动汽车（y）*（T，T）=xandex*（t）=五、y（y）*（t） ，t）\'b（y）*（t） ，t）deR*（t） ，前*（T）=C（y）*（T））。（52）TheneX*（t） =ψ（t，eR）*) 对于一些可测的ψ，如果我们观察到给定π的exπ（t）=ψ（t，er），结果如下。为了继续，我们需要一些先验估计。设ζ（t）= α（t，eR（t））π（t）。定义π*以显而易见的方式。考虑给定r（·）的条件概率空间。

关于条件概率sp ace，从（52）中可以看出：德克斯*（t） =B（t）-1ζ*（t）dw（t），eX*（T）=C（y）*（T））。（53）解决方案（Z）*（t） ，前*（t） stoch-astic后向方程（53）是一个过程inL（[0，t]，L(Ohm, F、 P）×C（[0，T]，L(Ohm, F、 （参见El Karoui等人（1997）或Yongand Zhou（1999），第7章，定理2.2）。注意等式（53）是线性的。因此，再次使用Yong和Zhou（1999）的第7章C中的定理2.2，可以证明存在一个常数C，与C（·）无关，例如*（t） | | r（·）o+ERT|ζ*（t） |dtr（·）≤ 总工程师C（y）*|r（·）a、 s.HencesuptE | eX*（t） |+EZT|ζ*（t） |dt≤ cEC（y）*（T））。（54）设C（·）是一个一般的可测函数，满足建议中规定的条件。然后，存在一个序列{C（i）（·）}，其中C（i）（·）在开放域内有一个有限的支撑，并且足够光滑，例如|C（i）（y）*（T）- C（y）*（T）|→ 0就像我→ ∞.LeteX（一）*（·），π（i）*V（i）是相应的过程和功能。通过（54）和（53）的线性度，它遵循了supte | eX（i）*（t）-eX（j）*（t） |+ERT |π（i）*（t）- π（j）*（t） ）|dt≤ cE | C（i）（y）*（T）- C（j）（y）*（T）|→ 0就像我→ ∞.从（43）开始，它紧随其后*|eX（i）（t）-eX（j）（t）|+E*ZT |π（i）（t）- π（j）（t））|dt→ 0就像我→ ∞.因此，{eX（i）（·）}，{π（i）（·）}是空间C（[0，T]，L]中的柯西序列(Ohm, F、 P*))和L（[0，T]，L(Ohm, F、 P*)) 相应地，可以证明相应的极限性（·），π（·）存在，并且属于这些空间。同样地，Dokuchaev和Zhou（2001）也从Ythat V（i）（·）的定义中得出结论，V（i）是和Y中的柯西序列。这是一个完整的证明。定理6.1的证明。在上面的证明中，可以证明ex（t）=V（y（t），t，bλ）是某个方程（52）的解，即它是标准化财富。

接下来就是证据。致谢这项工作得到了澳大利亚研究委员会（Australian Research Council，简称DP120100928）对作者的资助。参考布伦南，M.J.（1998）：学习在动态投资组合决策中的作用。《欧洲金融评论》1295-306。Cvitani\'c，J.，Ali Lazrak，Martellini，L.，和Zapatero，F.（2002）：关于部分信息的portfolioselection注释：功率效用和高斯先验。工作文件。Chen，R.-R.，和Scott，L.（1993）：利率期限结构多因素均衡模型的最大似然估计。《固定收益杂志》第4期，第14-31页。Dettempte，J.B.（1986）：不完全信息经济中的资产定价。《金融杂志》41369–382。Dokuchaev，N.G.和Haussmann，U.（2001）：不完全市场中的最优投资组合选择和压缩。定量金融1（3），336-345。Dokuchaev，N.G.和Teo，K.L.（2000）：具有附加约束的组合投资问题的最优套期保值策略。连续、离散和脉冲系统的动力学7385–404。Dokuchaev，N.G.和Zhou，X.Y.（2001）：具有边界风险、通用设施和目标实现的最优投资策略。《数学经济学杂志》35（2），289-309。N.G.多库恰耶夫和Savkin，A.V.（2002年）。具有不可观测参数的市场的有界风险策略。保险：数学与经济学，30243-254。Dokuchaev N.G.（2002）动态投资组合策略：不完整信息的定量方法和经验规则。克鲁沃学院普布利舍，波士顿。Dokuchaev，N.G.（2005年）。通过卡尔曼滤波器生成的线性抛物线方程来优化投资问题。《控制与优化杂志》第44期，第4期，第1239-1258页。多库恰耶夫，N.（2007）。均值回归市场模型：投机机会和非投机。应用数学金融14，iss。4, 319-337.美国多坦和费尔德曼。

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