GMxB合同最优bang-bang控制的存在性

让我们≡ {Sα}α∈Abe是T的非空子集的索引族。让我们≡Sα∈安度≡ {sup Sα}α∈A.那么，只要S在上面有界，sup S=sup U。证据假设A是空的。那么S和U都是空的，因此表达式一致。假设它是非空的，它就在上面。因为它在上面有界，它的上界是αuSαSαTsup Sαuαuα∈ TU{uα}α∈A. Tuα6 uαuUAnonempty，Uis非空且Henceuh为最小上界∈ Twithu6 u.Letx∈ S.Thenx∈ Sββx 6 uβ6 uuSsup Suu 6 uu=u。参考文献[1]切换。在R.Mamon和R.Elliot主编的《金融学第二卷：进一步发展和应用》中，第503-528页。斯普林格，纽约，2014年。[2] A.R.巴西内洛、P.米洛索维奇、A.奥利维耶里和E.皮塔科。可变年金：一种统一的估值方法。保险数学。经济。，49(3):285–297, 2011.[3] 可变年金。ASTIN Bulletin非寿险精算研究，38（2）：621–6512008。[4]51(5):1573–1610, 1996.[5] B.边和P.关。完全非线性抛物型积分微分方程的保凸性。方法应用。《肛门》，2008年15:39-51。[6] 它对婴儿潮一代退休收入的潜在影响。《社会保障公报》，2009年第69期。[7] 保证最低提取福利的年金（GMWB）。数字。数学109:535–569, 2008.[8] 陈志强、维扎尔和福赛斯。建模参数对GMWB担保价值的影响。保险数学。经济。，43(1):165–173, 2008.[9] 戴先生、郭永康先生和宗先生。可变年金中保证的最低提款收益。数学《金融》，18（4）：595-6112008。[10] P.A.福赛斯和K.R.维扎尔。一个最优随机控制框架，用于确定可变年金的边际成本。J.经济。迪纳姆。对照，44:29–532014。[11] A.弗里德曼。抛物型偏微分方程。1964年[12]M·G·加罗尼和J·L·梅纳尔迪。

二阶抛物积分微分问题的格林函数。皮特曼研究所的数学笔记。爵士。1992年，英国哈洛朗曼科技公司275号。[13] D.Holz、A.Kling和J.Russ。GMWB for life是对终身提款担保的分析。Zeitschriftfür die gesamte Versicherungswissenschaft，101（3）：305–3252012年。[14] 黄和P.A.福赛斯。分析了为保证最低提款额度（GMWB）定价的惩罚方法。伊玛·J·努姆。肛门。，32:320–351, 2012.[15] 黄永泰和郭永康。分析退出担保产品中的最优动态退出策略。J.经济。发电机。，45:19–43, 2014.[16] 方程式，206（1）：182–226，2004年。[17] 巴勒莫马特马蒂科，24（1）：275-3171907。[18] M.A.米列夫斯基和T.S.索尔兹伯里。保证最低提取福利的财务估值。保险数学。经济。，38(1):21–38, 2006.[19] A.Ngai和M.Sherris。人寿和可变年金的长寿风险管理：使用长寿债券和衍生品进行静态对冲的效果。保险数学。经济。，49(1):100–114, 2011.[20] 2005年，在佛罗里达州奥兰多举办的“活到100岁及以后”研讨会上。[21]G.皮斯科波和S.哈伯曼。保证终身提款受益权的估值在2011年有所变化。[22]R.T.罗卡费拉。凸分析。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，新泽西州，1997年。[23]王杰和P.A.福赛斯。汉密尔顿-雅可比-贝尔曼偏微分方程在金融领域最大限度地利用中央差异。暹罗J.努尔。肛门。，46(3):1580–1601, 2008.