交易对手风险估值调整的理性多曲线模型

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英文标题：
《Rational Multi-Curve Models with Counterparty-Risk Valuation Adjustments》
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作者：
Stephane Crepey, Andrea Macrina, Tuyet Mai Nguyen, David Skovmand
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We develop a multi-curve term structure setup in which the modelling ingredients are expressed by rational functionals of Markov processes. We calibrate to LIBOR swaptions data and show that a rational two-factor lognormal multi-curve model is sufficient to match market data with accuracy. We elucidate the relationship between the models developed and calibrated under a risk-neutral measure Q and their consistent equivalence class under the real-world probability measure P. The consistent P-pricing models are applied to compute the risk exposures which may be required to comply with regulatory obligations. In order to compute counterparty-risk valuation adjustments, such as CVA, we show how positive default intensity processes with rational form can be derived. We flesh out our study by applying the results to a basis swap contract.
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中文摘要：
我们开发了一个多曲线项结构设置，其中建模成分由马尔可夫过程的有理泛函表示。我们对伦敦银行同业拆借利率互换期权数据进行了校准，结果表明，合理的双因素对数正态多曲线模型足以准确匹配市场数据。我们阐明了在风险中性度量Q下开发和校准的模型与在现实世界概率度量P下的一致等价类之间的关系。一致P定价模型用于计算可能需要遵守监管义务的风险敞口。为了计算交易对手风险估值调整，例如CVA，我们展示了如何推导出有理形式的正违约强度过程。我们将研究结果应用于基差互换合约，从而充实了我们的研究。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Rational_Multi-Curve_Models_with_Counterparty-Risk_Valuation_Adjustments.pdf (584.64 KB)

2022-5-7 18:29:30 上传

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关键词：Mathematical counterparty relationship Quantitative Adjustments

交易对手风险估值调整的理性多曲线模型SST’ephane Cr’epey，Andrea Macrina 2,3，Tuyet Mai Nguyen，David Skovmandalaboratoroire de Math’ematiques et Mod’elisation d’Evry，法国数学系，伦敦大学学院，联合王国精算学系，开普敦大学，南非金融系，哥本哈根商学院，Denmark 2015年2月27日摘要我们开发了一个多曲线项结构设置，其中建模要素由马尔可夫过程的有理泛函表示。我们对LIBORswaptions数据进行了校准，结果表明，合理的双因素对数正态多曲线模型足以准确匹配市场数据。我们阐明了在风险中性度量Q下开发和校准的模型与其在现实世界概率度量P下的一致等价类之间的关系。一致的P-Pricing模型用于计算可能需要遵守监管义务的风险敞口。为了计算交易对手风险估值调整，例如CVA，我们展示了如何推导出有理形式的正违约强度过程。我们将研究结果应用于基差互换合同，从而完善了我们的研究。关键词：多曲线利率期限结构、远期伦敦银行同业拆借利率过程、理性定价模型、校准、交易对手风险、风险管理、马尔可夫函数、基差互换。1简介在这项工作中，我们致力于开发多曲线利率模型，以一致的方式将其扩展到Counterparty风险模型。其目的是对金融工具进行定价和风险管理，其价格模型能够以多种利率（如OIS和LIBOR）贴现，并允许对资产估值方案进行修正，从而调整交易对手风险，包括信贷、债务和流动性风险。

因此，我们提出了（i）隔夜指数掉期（OIS）利率，（ii）伦敦银行间同业拆借利率（LIBOR），以及（iii）双边衍生品交易中两个交易对手的违约强度的因子模型。这三个要素有一个共同特点：速率和强度模型都是潜在因素过程的理性函数。在选择这类模型时，我们会考虑一些我们希望模型展示的特性。考虑到所有金融资产都需要贴现，且没有任何证券与交易对手风险隔离，它们应该足够灵活，以允许对一系列金融资产进行定价。由于我们考虑了资产的定价以及风险敞口的管理，我们还需要在各种概率度量下保持价格一致性的设置中工作。例如，我们希望通过使用风险中性度量Q对衍生品定价，同时分析真实世界度量P下的风险敞口统计数据。当我们根据衍生品数据校准利率模型时，这一点尤其重要，例如（隐含）波动率，然后应用经校准的模型计算交易对手风险估值调整，以符合监管要求。提出的理性模型使我们能够开发一个全面的模型，该模型从OIS模型开始，演变为构建IBOR过程的方法，包括固定收益资产的定价和模型校准，分析风险敞口，并得出一个信用风险模型，该模型可导致对反合作风险估值调整（XVA）的分析。如何对多曲线利率进行建模，并将交易对手风险评估调整纳入定价框架，这一问题引发了大量研究。

例如，关于多曲线利率建模的研究发表在Kijima、Tanaka和Wong（2009）、Kenyon（2010）、Henrard（2007、2010、2014）、Bianchetti（2010）、Mercurio（2010b、2010a、2010c）、Fujii、Shimada和Takahashi（2011、2010）、Moreni和Pallavicini（2014）、Bianchetti和Morini（2013）、Filipovi\'c和Trolle（2013）以及Cr\'epey、Grbac、Ngor和Skovmand（2014）中。关于交易对手风险估值调整，我们提到了Brigo、Morini和Pallavicini（2013）和Cr’epey、Bielecki和Brigo（2014）最近出版的两本书；随着我们的继续，会给出更多的参考资料。以前也出现过理性形式的定价模型。Flesaker和Hughston（1996）开创了此类定价模型，特别是引入了所谓的贴现债券价格的理性对数正态模型。关于这方面的进一步贡献和研究，我们参考了Rutkowski（1997）、D¨oberlein和Schweizer（2001）以及Hunt和Kennedy（2004）。关于理性定价模型的最新研究包括博迪和休斯顿（2004年）、休斯顿和拉斐利迪斯（2005年）、布罗迪、休斯顿和麦基（2012年）、阿卡霍里、久田、泰奇曼和筑屋（2014年）、菲利波维奇、拉尔森和特罗尔（2014年）、麦克里纳和帕尔布胡（2014年）、阮和塞弗里德（2014年）。然而，据我们所知，本论文是首次将此类模型应用于多曲线设置，以及Nguyen和Seifried（2014），他们开发了一个基于多重复制价差的理性多曲线模型。它是唯一一个处理XVA计算的。我们将看到，尽管这些模型很简单，但它们在这些方面的表现与Cr’epey、Grbac、Ngor和Skovmand（2014）或Moreni和Pallavicini（20132014）的模型相当。

其他最近的相关研究包括菲利波维奇、拉尔森和特罗尔（2014年）的非计划波动性及其监管影响研究、库奇罗、凯勒·雷斯兰·泰奇曼（2012年）的金融应用中的矩计算研究，以及由随机波动性建模推动的郑安德兰奇（2014年）。我们对本文进行了简要概述。在第2节中，我们介绍了多曲线期限结构的理性模型，在此模型中，我们通过在现实世界的概率测度下对远期利率协议进行定价来推导远期伦敦银行同业拆借利率过程。在此过程中，我们应用了apricing内核模型。然后，假设定价核心过程产生的短期利率模型是OIS利率的代理模型。考虑到后续交易中的衍生品定价，我们还从风险中性测度出发，推导了多曲线利率模型。我们称这种方法为“自下而上的风险中性方法”。在第3节中，我们对伦敦银行同业拆借利率上的互换期权进行了所谓的“清洁估值”，并分析了OIS-LIBOR动态的三种不同特征。我们解释了一个人从伦敦银行同业拆借利率过程的霍森“码本”中获得的优势，我们将其建模为一个理性函数，其中分拆器实际上是与使用的概率度量相关联的随机贴现因子。在第4节中，我们对三个特定的多曲线模型进行了校准，并对其进行了评估，以确定模型的质量以及利率和利差的积极性。最后，我们选择了一个双因素对数正态OIS-LIBOR模型，该模型具有令人满意的校准性能和可接受的可处理性水平。在第5节中，我们在不考虑交易对手风险的情况下，以封闭形式对基差掉期进行定价，也就是说，我们再次进行“清洁估值”。在这一节中，我们借此机会展示了在我们的设置中，在同等度量下的定价与真实世界度量之间的明确关系。

我们计算与持有基差掉期相关的风险敞口，并绘制两种概率度量下的分位数，以进行比较。例如，我们应用列维随机桥来描述P下因素过程的动态。这使我们能够将P下风险敞口的重新加权解释为可能与中央银行提供的“前瞻性指导”相关的影响。在最后一节中，我们用有理形式给出违约强度过程，并计算XVA，即由于信用、债务和流动性风险而进行的估值调整。2.合理的多曲线期限结构我们通过过滤概率空间对金融市场进行建模(Ohm, F、 P，{Ft}0≤t） ，其中p表示真实概率测度，{Ft}0≤这是市场过滤。价格过程为{StT}0的一般（非股息支付）金融资产的无风险定价公式≤T≤T、 以固定日期T的现金流为特征，即givenbyst=πtEP[πTST T|Ft]，（2.1），其中{πT}0≤T≤UI是体现跨期贴现和风险调整的定价核心，参见Hunt和Kennedy（2004）。一旦定价核的模型被指定，OIS贴现债券价格过程{PtT}0≤T≤T≤通过PTT=πtEP[πT | Ft]确定的公式（2.1）的特殊情况下的Uis。（2.2）通过t=-(Tln PtT）| T=T，（2.3），其中假设贴现债券系统的到期参数不同。如果定价核{πt}是上鞅，反之亦然，则速率{rt}是非负的。接下来，我们将推导以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）为基准的金融衍生品的定价公式。在此过程中，我们还导出了一个价格过程（2.6），我们认为它决定了远期伦敦银行同业拆借利率的动态，或者我们将其称为伦敦银行同业拆借利率过程。

正是这个LIBOR过程的公式揭示了所谓的多曲线期限结构的本质，即OIS利率和不同期限的LIBOR利率被视为不同的贴现率。2.1通用多曲线利率模型我们从远期利率协议（FRA）的估值开始，推导以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）为基准的证券的多曲线定价模型。我们考虑0≤ T≤ T≤ T≤ ··· ≤钛≤ ··· ≤ Tn，其中T，Ti，t为固定日期，N为概念，K为罢工率，δi=Ti- 钛-1.FRA合同的固定航段由N Kδi给出，且在时间Ti由Nδi（Ti；Ti）建模时，应付的拖欠航段由N Kδi给出-1，Ti），其中随机率（Ti；Ti）-1，Ti）是FTi-1-可测量。然后，我们将FRA合同到期日的净现金流定义为beHTi=Nδi[K- L（Ti；Ti）-1.Ti）]。（2.4）FRA价格过程由（2.1）的应用给出，即0≤ T≤ 钛-1，byHtTi=πtEPπTiHTi英尺= Nδi[kpti- L（t，Ti）-1，Ti）]，（2.5）其中我们定义了（远期）伦敦银行同业拆借利率流程-1，Ti）：=πtEPπTiL（Ti；Ti）-1，Ti）英尺. （2.6）FRA在t时的公平价差（t时的K值，使得HtTi=0）用L（t；Ti）表示-1，Ti）byKt=L（t；Ti）-1，Ti）PtTi。（2.7）对于Ti之前（含）的时间-1.我们的伦敦银行同业拆借利率流程可以按照FTi的传统预期编写-1-可测随机变量。事实上，对于t≤ 钛-1，EPπTiL（Ti；Ti）-1，Ti）英尺= 以弗所πTiL（Ti；Ti）-1，Ti）FTi-1.Fti（2.8）=EPhEPπTiFTi-1.L（Ti；Ti）-1，Ti）Fti（2.9）和thusL（t，Ti-1，Ti）=πtEPhEPπTiFTi-1.L（Ti；Ti）-1，Ti）Fti。（2.10）（危机前）LIBOR建模的经典方法定义了FRA byHtTi=N的价格过程{HtTi}（1+δiK）PtTi- PtTi-1., （2.11）参见亨特和肯尼迪（2004）。

通过与（2.5）等价，我们发现经典的单曲线LIBOR模型是在特殊情况下得到的，其中l（t；Ti-1，Ti）=δiPtTi-1.- PtTi. （2.12）备注2.1。在正常市场条件下，人们预计正的利差关系（t；t，t+δi）<L（t；t，t+δj），即期限δj>δi将保持。我们将在第4节中回到这种关系，其中校准了各种模型规格，并检查了价差的正性。伦敦银行同业拆借利率期限利差在基差掉期的定价中起到了一定作用，基差掉期是一种以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）为一种期限，以另一种期限（LIBOR）为另一种期限（见第5节）。关于多曲线模型的最新研究，我们参考了Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2014）。2.2带有理formIn的多曲线模型，以构建明确的LIBOR过程、定价核{πt}和随机变量L（Ti；Ti）-1.Ti）需要在定义（2.6）中具体说明。随着本文的深入，我们选择应用Macrina（2014）中提出的rational pricingmodels的原因将变得显而易见。这些模型赋予价格过程一种合理的形式，这里的目的是“求和商”（稍微滥用通常指“多项式商”的术语）。这解释了本文中的术语，指的是多曲线期限结构的类别，或一般资产价格模型，以及交易对手风险估值调整的模型。我们考虑的一般金融资产的基本理性定价模型（简称“理性定价模型”）由TT=S0T+b（T）a（2）T+b（T）a（3）tP0t+b（T）a（1）T（2.13）给出，其中S0是T=0时的资产价值。分子中可能有更多的bA项，但两个（最多）就足以满足我们在这项工作中的所有目的。

为了0≤ T≤ T和i=1，2，3，bi（T）是确定性函数，A（i）T=Ai（T，X（i）T）是鞅过程，不一定在P下，而是在等价鞅测度M下，它们由M-马尔可夫过程{X（i）T}驱动。Macrina（2014）展示了表达式（2.13）如何从公式（2.1）推导而来的细节，尤其是如何构造{A（i）t}的显式示例。这里我们只给出了与价格过程（2.13）相关的定价核模型，即πt=πMhP0t+b（t）A（1）tiMt，（2.14），其中{Mt}是P-鞅，该P-鞅导致测度从P变为辅助测度M，在该辅助测度M下{A（i）t}是鞅。确定性函数P0tandb（t）的定义使得P0t+b（t）A（1）是一个非负的M-上鞅（参见示例2.1），因此{πt}是一个非负的P-上鞅。通过方程式（2.2）和（2.3），可以直接看出，ptt=P0T+b（T）A（1）tP0t+b（T）A（1）T，rt=-˙P0t+˙b（t）A（1）tP0t+b（t）A（1）t，（2.15）其中“点符号”表示相对于时间t的差异。让我们回到理性多曲线期限结构的建模，特别是（远期）LIBOR过程的定义。把方程（2.6）和（2.1）联系起来，我们可以看到模型（2.13）在考虑的设置中自然地作为LIBORprocess（2.6）的模型。由于（2.13）通过构造满足（2.1），LIBOR模型（t；Ti）也满足（2.1）-1，Ti）=L（0；Ti-1，Ti）+b（Ti-1，Ti）A（2）t+b（Ti）-1，Ti）A（3）tP0t+b（t）A（1）t（2.16）满足鞅方程（2.6），特别是t的（2.10）≤ 钛-1.Macrina（2014）提供了一种基于加权热核的方法，用于显式构造M-鞅{a（i）t}i=1,2，进而用于显式LIBOR过程。

该方法允许发展伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）流程，如果金融市场的情况需要，通过构造，LIBOR流程始终采用正值。2.3自下而上风险中性方法由于我们也处理交易对手风险估值调整，我们提出了另一种构建LIBOR模型的方案，我们称之为“自下而上风险中性方法”。顾名思义，我们通过使用风险中性度量（通过辅助度量M）对多曲线期限结构进行建模，而与价格的P动态的联系可以在稍后阶段重新引入，这对风险敞口的计算及其管理很重要。“自下而上”指的是，短期利率将首先建模，然后是贴现债券价格和伦敦银行同业拆借利率过程。同样，在第6.1节中，将首先对合同违约的风险率过程进行建模，然后对交易对手风险资产的价格过程进行推导。我们使用符号E[…|Ft]=Et[…]。在自底向上的设置中，我们以（2.15）中右边的方式直接建模短期无风险利率{rt}，即rt=-˙c（t）+˙b（t）A（1）tc（t）+b（t）A（1）t，（2.17）通过假设（i）非递增的确定函数b（t）和c（t）与c（0）=1（之后的c（t）将被视为与P0t重合），以及（ii）一个（{Ft}，M）-鞅A（1）与A（1）=0，使得ht=c（t）+b（t）A（1）t（1）t（2.18）对于所有t>0，都是正的（{Ft}，M）-上鞅。例2.1。设A（1）t=S（1）t-1，其中{S（1）t}是S（1）=1的正M-鞅；例如指数L’evy鞅。