交易对手风险估值调整的理性多曲线模型

如果0<b（t），则对于任何给定的t，上鞅（2.18）都是正的≤ c（t）。与supermartingale（2.18）相关，我们通过M-密度过程{ut}0来描述（风险中性）定价度量Q≤T≤T、 由uT=dQdM给出Ft=EZ·b（t）dA（1）tc（t）+b（t）A（1）t-!, （2.19）取正（{Ft}，M）-鞅。此外，我们用Dt=exp表示-Rtrsds与风险中性度量相关的贴现因子Q.引理2.1。h=Dtut.证明。伊藤半鞅公式应用于φ（t，A（1）t）=ln（c（t）+b（t）A（1）t）=ln（ht）和ln（Dtut）给出了以下关系：c（t）+b（t）A（1）t= -rtdt+b（t）dA（1）tc（t）+b（t）A（1）t--b（t）d[A（1），A（1）]ct2（c（t）+b（t）A（1）t-)+ dXs≤T 自然对数c（t）+b（t）A（1）t-b（t）A（1）tc（t）+b（t）A（1）t-!,（2.20）其中（2.17）用于第一行，且d ln（Dtut）=d ln Dt+d lnut=-rtdt+dutut--d[u，u]ct2（ut-)+ dXs≤T ln（ut）-utut-= -rtdt+b（t）dA（1）tc（t）+b（t）A（1）t--b（t）d[A（1），A（1）]ct2（c（t）+b（t）A（1）t-)+dXs≤T ln（ut）-b（t）A（1）tc（t）+b（t）A（1）t-!（2.21）在哪里 ln（ut）=lnutut-= ln1+b（t）A（1）tc（t）+b（t）A（1）t-!= lnc（t）+b（t）A（1）tc（t）+b（t）A（1）t-!=  自然对数c（t）+b（t）A（1）t.因此，d ln（ht）=d ln（Dtut）。此外，h=Du=1。因此，ht=Dtut。因此，到期日为t的OIS贴现债券的价格过程可以用PTT=EQt表示DTDt=DtutEM[DtuT | Ft]=EMthTht=c（T）+b（T）A（1）tc（T）+b（T）A（1）T，（2.22）为0≤ T≤ 因此，过程{ht}在度量M下扮演着与OIS市场相关的定价核心的角色。特别是，我们注意到，对于T，c（T）=p0t∈ [0，T]和rt=-(Tln PtT）| T=T≥ 0.受上述OIS债券公式启发的构造导致了区间内普遍存在的伦敦银行同业拆借利率的理性模型[Ti]-1，Ti）。

埃夫蒂-1-可测量的即期伦敦银行同业拆借利率L（Ti；Ti）-1，Ti）是用{A（1）t}来建模的，在本文中，至多还有两个M-鞅{A（2）t}和{A（3）t}在Ti上求值-1:L（Ti；Ti）-1，Ti）=L（0；Ti-1，Ti）+b（Ti-1，Ti）A（2）Ti-1+b（Ti）-1，Ti）A（3）Ti-1P0Ti+b（Ti）A（1）Ti-1.（2.23）然后通过应用风险中性估值公式（相当于P下的定价公式（2.1））定义（远期）伦敦银行同业拆借利率流程，如下所示。对于t≤ 钛-我们让-1，Ti）=DtEQt[DTiL（Ti；Ti-1，Ti）]=EMtDTiuTiDtutL（Ti；Ti-1，Ti）（2.24）=EMt“EMTi-1[hTi]LTi；钛-因此，通过应用（2.18）和（2.23），L（t；Ti-1，Ti）=L（0；Ti-1，Ti）+b（Ti-1，Ti）A（2）t+b（Ti）-1，Ti）A（3）tP0t+b（t）A（1）t.（2.26）因此，我们恢复了与（2.16）中相同的模型（和表达式）。伦敦银行同业拆借利率模型（2.26）（或（2.16））与HJM多曲线设置相兼容，根据Heath、Jarrow和Morton（1992）的精神，初始期限结构为p0tian和L（0；Ti）-1.Ti）由施工部门完成。例2.2。设A（i）t=S（i）t- 1，其中S（i）是S（i）=1的正M-鞅。例如，当i=2，3时，可以考虑一个单位初始化的指数L’evy鞅定义为M-L’evy过程{X（i）t}的函数。这样的结构不会产生负的伦敦银行同业拆借利率if0≤ b（Ti）-1，Ti）+b（Ti-1，Ti）≤ L（0；Ti）-1，Ti）。（2.27）如果不满足这一条件，则伦敦银行同业拆借利率模型可被视为一个转移模型，其中伦敦银行同业拆借利率可能以正概率变为负。对于我们参考的多曲线期限结构文献中使用的不同类型的变化，例如Mercurio（2010a）或Moreni和Pallavicini（2014）。3清洁估值我们要解决的下一个问题是围绕伦敦银行同业拆借利率衍生品的定价及其对市场数据的校准，尤其是伦敦银行同业拆借利率互换期权，这是流动性最强（非线性）的利率衍生品。

由于市场数据通常反映完全抵押交易的价格，这些交易是以最能代表OIS利率的抵押物报酬率进行融资的，因此我们在本节中从模型校准的角度考虑，忽略交易对手风险的清洁估值，并假设以rt利率融资。利率互换（例如，见Brigo and Mercurio（2006））是两个交易对手之间的协议，其中一个未来利息支付流根据特定的名义金额交换另一个。流行的利率掉期是在连续时间间隔结束时，固定利率（合约掉期利差）与伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）的交换[Ti-长度δ的1，Ti]。这样的交换也可以被视为n个forwardrate协议的集合。时间t的互换价格≤ 由以下独立于模型的公式给出：Swt=NδnXi=1[L（t；Ti-1，Ti）- [KPtTi]。掉期期权是双方在到期日Tk（期权到期日）进行掉期的期权。它在时间t的价格≤ Tkis由以下M-pricingformula给出：SwntTk=NδhtEM[hTk（SwTk）+Ft]=NδhtEM“hTknXi=k+1[L（Tk；Ti-1，Ti）- KPTkTi]+Ft#=NδP0t+bA（1）tEMhmXi=k+1L（0；Ti）-1，Ti）+b（Ti-1，Ti）A（2）Tk+b（Ti）-1，Ti）A（3）Tk- K（P0Ti+b（Ti）A（1）Tk）+Fti（3.28），使用PTK和L（Tk；Ti）的公式（2.22）和（2.26）-1，Ti）。特别是，t=0时的互换期权价格可以通过使用A（i）t=S（i）t重写- 所以swn0tk=NδEMcA（2）Tk+cA（3）Tk- cA（1）Tk+c+= NδEMcS（2）Tk+cS（3）Tk- cS（1）Tk+~c+,（3.29）式中c=mXi=k+1b（Ti-1，Ti），c=mXi=k+1b（Ti-1，Ti），c=KmXi=k+1b（Ti），c=mXi=k+1[L（0；Ti）-1，Ti）- KP0Ti]，~c=c+c- C- c、 正如我们将在几个感兴趣的例子中看到的，这些期望值可以通过各种数值格式高效、高精度地计算出来。备注3.2。

LIBOR过程建模的优势{L（t；Ti）-1，Ti）}由分母为折扣因子（定价核）的有理函数，与雇佣定价测度（在本例中为M）相关联的是：（i）L（t；Ti）的有理形式-当与折扣因子{ht}相乘时，{PtTi}的}和{PtTi}的}也在M-鞅驱动{a（i）t}中产生一个线性表达式。这与其他类似的定价公式形成了对比，在这些公式中，因子以指数和的形式出现，如Crèepey、Grbac、Ngor和Skovmand（2014），等式（33）。（ii）LIBOR过程与OIS贴现因子{ht}或P-测度下的定价核{πt}之间的依赖结构是明确的。{L（t；Ti）的分子-1，Ti）}仅由影响LIBOR过程动态的特殊随机因素驱动。我们可以将这种驱动因素称为“利伯风险因素”。在我们的模型示例{A（1）t}中，对“OIS风险因素”的依赖性仅由LIBOR过程的分母产生。（iii）通常，FRA过程kT=L（t；Ti）-1，Ti）/PTTII直接建模，更常用于开发多曲线框架。然而，对于这样的模型，并不能保证可以推导出简单的公式，如（3.28）。我们认为，所考虑的示例中的“代码本”（2.6）和（2.26）更适合于开发一致、灵活且易于处理的多曲线模型。3.1单变量傅立叶定价由于当前市场上没有流动交易的OIS衍生品，因此没有可用的数据，一个实用的简化是假设确定性OIS利率rt。也就是说a（1）t=0，因此b（t）也不起作用，因此可以假设它等于零。此外，首先，我们假设a（3）t=0和b（t）=0，以及（3.29）简单的toSwn0Tk=NδEMcA（2）Tk+c+= NδEMcS（2）Tk+~c+,在这里，c=c-C

对于c>0，价格仅为Swn0Tk=Nδc。对于c<0，并且在指数-L′evy鞅模型的情况下，s（2）t=eX（2）t-tψ（1），其中{X（2）t}是一个具有累积量ψ的L′evy过程，使得ehezx（2）ti=exp[tψ（z）]，（3.30）我们得到了n0tk=Nδ2πZRc1-四、-RM（2）Tk（R+iv）（R+iv）（R+iv）-1） dv，（3.31），其中m（2）Tk（z）=eTkψ（z）+zln（c）-ψ(1)R是一个任意常数，确保v的M（2）Tk（R+iv）的完整性∈ R.有关详细信息（3.31），我们参考Eberlein、Glau和Papapantoleon（2010）。3.2在{A（1）t}={A（3）t}=0且{A（2）t}为形式（2）t=exp的情况下，单因素对数正态模型aX（2）t-在- 1，（3.32）其中{X（2）t}是一个标准布朗运动，ais是一个实常数，通过简单的计算，可以得出∧c=c的交换期权价格- c、 bySwn0Tk=NδEMcA（2）Tk+c+（3.33）=NδcΦaT- ln（~c/c）a√T！+~cΦ-在- ln（~c/c）a√T（3.34）其中Φ（x）是标准正态分布函数。3.3双因素对数正态模型我们回到价格公式（3.29），考虑鞅{A（i）t}给定的情况，对于i=1，2，3，byA（i）t=expaiX（i）t-美国在台协会- 1，（3.35）对于实常数A和标准布朗运动{X（1）t}={X（3）t}和{X（2）t}，相关系数ρ。接下来就是swn0tk=EM塞克斯√特卡-aTk+ceY√特卡-aTk- 塞伊√特卡-aTk+~c+, （3.36）其中X~ N（0，1），Y~ N（0,1），（X | Y）=Y~ N（ρy，（1）- ρ)).

因此，Swn0Tk=Z∞-∞Z∞-∞（cex）√特卡-aTk- K（y））+f（x | y）f（y）dxdy=ZK（y）>0Z∞-∞（cex）√特卡-aTk- K（y））+f（x | y）dxf（y）dy+ZK（y）<0Z∞-∞（cex）√特卡-aTk- K（y））+f（x | y）dxf（y）dy，其中k（y）=c（ea√Tky-aTk- 1) - c（ea）√Tky-aTk- 1) - c、 f（y）=√2πe-y、 f（x | y）=p2π（1）- ρ） e-（十）-ρy）2（1）-ρ).该表达式可以进一步简化，以获得Wn0Tk=ZK（y）>0“cea√Tkρy+aTk（1-ρ） Φρy+a√Tk（1）- ρ） +ln（c）-aTk- K（y）p1- ρ!-K（y）Φρy+ln（c）-aTk- K（y）p1- ρ!#f（y）dy+ZK（y）<0cea√Tkρ（y）-A.√Tkρ- K（y）f（y）dy。然后，互换期权价格的计算简化为计算两个一维积分。由于积分区域没有明确的已知性，因此必须对K（y）的根进行数值求解，K（y）可能有两个根。然而，通过这个公式，一个完整的SwaptionMile可以在一小段时间内计算出来。4校准交易对手风险估值调整，简称为XVAs（CVA、DVA、LVA等），可被视为基础合同的长期期权。在他们的计算中，波动率和期限结构的影响很重要。此外，对于第6节中多曲线产品的计划XVA计算，有必要将建议的定价模型校准为基础期限为δ=3m和δ=6m（最具流动性期限）的金融工具。与Cr\'epey、Grbac、Ngor和Skovmand（2014）类似，我们利用2011年1月4日的欧元市场彭博社数据来校准我们的模型：一方面是EONIA、三个月欧元银行同业拆借利率和六个月欧元银行同业拆借利率初始期限结构，另一方面是三个月和六个月期掉期期权。

正如Cr’epey、Grbac、Ngor和Skovmand（2014）的HJM框架一样，在这方面读者可以参考该框架的更多细节，初始术语结构是通过我们的设置中的构造来完成的。关于掉期期权校准，首先，我们将非到期/期限相关参数校准为9×1年掉期期权的掉期期权微笑，期限为三个月。市场的微笑对应于罢工的载体[-200, -100, -50, -围绕基础掉期利差25,0,25,50,100,200]个基点。然后，我们在三个月期和六个月期的期内掉期中使用至少一次的货币掉期期权，所有期限均为十年，但到期期限为一至九年。在第6节中，aview针对XVA应用选择了这种共终端程序，其中考虑了与十年终端的基差互换。特别是在单因子{a（2）t}设置中：1。首先，我们将驱动鞅{A（2）t}的参数校准为9×1年期选择的微笑，期限δ=3m。校准程序的这一部分还给出了b（9,9.25）、b（9.25,9.5）、b（9.5,9.75）和b（9.75,10）的值，这些值被认为是相等的。2.接下来，我们考虑co终端， × (10 - ), 自动取款机交换选项 = 1, 2,. . . ,9年。这些都写在三个月和六个月的利率上。我们一次校准骨成熟度的剩余值，从3个月期限的8×2年开始，从6个月期限的9×1年开始。这是在假设参数是分段常数的情况下完成的，这样b（T，T+0.25）=b（T+0.25，T+0.5）=b（T+0.5，T+0.75）=b（T+0.75，T+1）对于每个T=0，1，8和b（T，T+0.5）=b（T+0.5，T+1）保持每一个=0，1。

，9.4.1单因素对数正态模型的校准在第3.2节的单因素对数正态规范中，我们使用基于定价公式（3.33）的程序“lsqnonlin”（如果<<c<0，否则Swn0Tk=Nδc），使用Matlab校准参数A和b=b（9.25,9.5）=b（9.5,9.75）=b（9.75,10）。该校准结果为：a=0.0537，b=0.1107。在这种特殊情况下，强制基础伦敦银行同业拆借利率为正意味着限制B≤ L（0；9.75，10）=0.0328（参见（2.27））。受约束的校准结果为：a=0.1864，b=0.0328。由此产生的两个微笑可以在图1中找到，在图1中，我们可以看到无约束模型实现了相当好的校准。然而，由于高斯模型在这种情况下不能产生向下的倾斜英里数，因此强制执行正性具有高度的限制性。罢工。02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065隐含挥发性0。150.160.170.180.190.20.210.220.230.24掉期选项9Y1Y 3m期限市场volLognormal 1Lognormal 1d-正性约束图1：对数正态单因素校准接下来，我们根据3个月和6个月期限的ATM掉期选项期限结构校准B参数。结果如图2所示。当不强制执行正性时，该模型可以在ATM终端期权的市场报价没有错误的情况下进行校准。然而，从图中可以看出，正性约束不允许B函数获取必要的值，因此对所获得的数据的拟合度非常差，尤其是对于较短的到期日。考虑到这一点，自然的问题是积极性约束是否过于严格。与市场参与者的非正式讨论表明，对于模型而言，负利率的正概率并不是一个关键问题。只要负值的概率质量不是很大，它就是一个可以接受的特征。

事实上，给这一事件分配一个小概率甚至可能是现实的。为了研究备注2.1中提到的负利率和利差的重要性，我们计算了即期利率的较低分位数，以及无正性约束校准模型的即期利差。如图3所示，速率的较低分位数无关紧要。事实上，在三年的时间范围内，利率低于1%概率的-14个基点，这很难被认为是病态的。同样，关于即期价差，下分位数实际上在所有时间范围内都是正的。进一步计算表明，八年期即期价差为负的概率为1.1×10-5而nineyear是0.008——这也很难被认为是病理性的高。与2014年底以来的EONIA或危机中的瑞士利率一样。我们发现，尽管采用单因素对数正态分布，但该模型的性能出奇地好。虽然利率和利差没有达到正的水平，但该模型只赋予负的概率很小。然而，用这种节俭的模型拟合微笑的能力并不令人满意（参见图。

1） ，这是我们下一个专业的动机。到期年份12 3 4 5 6 7 8 9 TM掉期期权隐含波动性0。170.180.190.20.210.220.230.240.250.260.27校准到3m ATM交换选项-隐含波动性市场容量校准容量校准容量-b200的正性约束值。050.10.150.20.25对3m ATM交换选项进行校准-b2参数校准b2（T，T+0.25）校准b2（T，T+0.25）-在12 3 4 5 6 7 8 9TM交换选项隐含波动率1年中的正性约束试验0。170.180.190.20.210.220.230.240.250.26校准到6m ATM交换选项-隐含挥发性市场容量校准容量校准容量-b200的正性约束值。050.10.150.20.25校准至6m ATM交换选项-b2参数校准b2（T，T+0.5）校准b2（T，T+0.5）-正性约束图2：单因素对数正态校准。（左）适用于ATM掉期结构。（右）B参数的校准值。（顶部）δ=3m。（底部）δ=6m。图3：单因素对数正态校正。分位数降低1%。2指数正态逆高斯模型的校准由高斯因子{a（2）t}驱动的单因子模型能够捕捉波动率的水平。然而，模型隐含的偏差与市场偏差略有不同。为了克服这个问题，我们现在考虑一个由aricher L’evy过程家族驱动的单因素模型。现在假定过程{A（2）t}是指数正态逆高斯（NIG）M-鞅（2）t=expX（2）t- tψ（1）- 1，（4.37）其中，{X（2）t}是一个累积量ψ（z）的M-NIG过程，参见（3.30），用Cont和Tankov（2003）的参数化（ν，θ，σ）表示为ψ（z）=-νpν- 2zθ-zσ- ν, （4.38）式中，ν，σ>0和θ∈ R